Диссертация (1137416), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Покажем, что если это не так, то не выполнено ни одно из трех условийтеоремы.Условие 3 заведомо не выполнено, так как оно влечет |Er − El | = O(ε).Покажем, что условие 2 не может быть справедливо, если не выполненопредположение |Er − El | = O(ε). Пусть |Er − El | =6 O(ε).Определим ui = σi (x)ψi (x), i = l, r.

Тогда(Ĥ − Ei )ui = O(ε), i = l, r.Из теоремы 2.8 следует, что существует собственное значение Ẽi оператора Ĥтакое, что|Ei − Ẽi | = O(ε), i = l, r.Соответствующие собственные функции имеют асимптотику (см. теорему 2.9)ψ̃i = ui + O(ε∆−1 ),где ∆ — расстояние между двумя близкими точками спектра оператора Ĥ.Следовательно, справедлива оценка∆ = |El − Er | + O(ε).Получаем, что отношение ∆/ε неограниченно, и условие 2 не выполнено.49Рис. 2.2Предположим, что справедливо условие 1 теоремы 2.1, то есть имеет местодвойная локализация. Из двойной локализации следует существование предела µ2 6= 0 для отношения вероятностей Pr (~)/Pl (~).

Поскольку отношение ∆/εнеограниченно, то ψ̃i будет близка к ui при некоторых сколь угодно малых значениях ~. Получаем, что предел отношения вероятностей, если он существует,равен либо 0, либо ∞, что противоречит двойной локализации. Таким образом,теорема полностью доказана.2.2Случай энергии, близкой к минимуму потенциалаАналог теоремы 2.1 справедлив и для нижних энергетических уровней, ноздесь необходимо пересчитать величины Ci и соответственно изменить δ(~) (см.лемму 2.3 ниже).

Следует разделять случаи, когда оба локальных минимума потенциала V (x) соответствуют одной энергии и когда значения V (x) в локальныхминимумах не совпадают. Для примера рассмотрим случай совпадения значений V (x) в точках локальных минимумов.Пусть ξl,r – координаты двух невырожденных локальных минимумов двуямного потенциала V (x) (см. рис. 2.2). Предположим, что потенциал V (x) является гладким. Пустьωi2 2V (ξi + x) =x (1 + O(x)), i = l, r.2(2.17)Тогда несложно доказать следующее предложение (см., например, [1]).Предложение. Пусть справедливы оценки (2.17). Тогда ωi с точностью O(~)50равна частоте классических колебаний в соответствующей потенциальнойяме при малых значениях энергии E = O(~).Доказательство.

Для определенности рассмотрим левую потенциальную яму,то есть x в окрестности точки ξl . Пустьpu(x) = sign(x)2V (x + ξl ),ωlгдеsign(x) =1, при x > 0,0, при x = 0, −1, при x < 0.Тогда, учитывая (2.17), получаем, чтоu(x) = x + O(x2 ),u0 (x) = 1 + O(x).Замена u = u(x) является гладкой и невырожденной в некоторой фиксированной окрестности точки x = ξl .Пусть Ωl (E) — частота классических колебаний в левой яме потенциала V (x)для энергии E.

ТогдаIZ √2E/ωl2πdxx0 (u)dup==2 √=Ωl (E)p(x)2E − ωl2 u2− 2E/ωl!√Z12 12π2E√=x0z dz =+ O(~).ωl −1 1 − z 2ωlωlЧлен порядка√E не возникает, так какZ 1zdz√= 0.1 − z2−1Следовательно, справедлива оценкаΩl (E) = ωl + O(~),что и требовалось доказать.Определим потенциалы Vi (x) и операторы Ĥi , i = l, r, как в разделе 2.1.Тогда потенциал Vi (x) имеет единственный глобальный минимум в точке ξi иявляется одноямным для малых энергий E, i = l, r.51Приведем хорошо известные результаты о асимптотике спектра и стационарных состояний в окрестности невырожденного минимума (см, например, [35,43,80,105]), это так называемое “анзацное приближение”.

Для определенности рассмотрим левую потенциальную яму Vl (x).Теорема 2.2. Для любого n < N и достаточно маленького ~ < ~0 (N ) суще(n)(n)ствует пара El , ψl (x), удовлетворяющая уравнению:(n)Ĥl ψl(n)(n)= E l ψl ,(2.18)при x ∈ [ξl − a, ξl + a], для некоторого a > 0, не зависящего от ~, и(n)ψl (x) = pAy 0 (x)Dn [~−1/2 y(x)],(2.19)(n)где A — нормировочная константа, индексы у функции y(x) = yl (x), здесь идалее, опущены для наглядности, а Dn — функция Эрмита:z2Dn (z) = e− 2 Hn (z),(n)Для энергии ElHn (z) = (−1)n ez2dn −z2e .dz nсправедлива асимптотическая формула:(n)El= ~ωl (n + 1/2) + O(~2 ),(2.20)а для функции y(x) справедливо асимптотическое разложение:y(x) = y0 (x) + ~y1 (x) + O(~2 ).(2.21)Асимптотическое разложение (2.21) справедливо равномерно по x из отрезка[ξl − a, ξl + a], и это разложение можно дважды дифференцировать.

Формулы для y0 и y1 можно получить, подставляя (2.19), (2.20) и (2.21) в уравнение (2.18) и приравнивая члены при равных степенях ~.Для первых двух членов разложения (2.21) справедливы формулы:1/2 R px, при x ≥ ξl ,2 ξl 2V (t)dty0 (x) = R p1/2 − 2 ξl 2V (t)dt, при x ≤ ξl ;x−1Zxy1 (x) = |y0 |ξ1n + 1/2p(ψ00 (t))2 − ωl dt.2V (t)(2.22)(2.23)52Теорема 2.2 позволяет получить асимптотику точного решений уравненияШредингера (2.18) в окрестности точки x = ξl — минимума потенциала Vl (x).(n)Доопределим функцию ψl (x) на всю ось x.

Из формул (2.21) и (2.22) следует,что y 0 (x) ≥ const > 0 при x ∈ [ξl − a, ξl + a]. Гладко доопределим функциюy(x) на всю ось x с сохранением оценки для y 0 (x). Тогда, поскольку функцияDn [~−1/2 y(x)] экспоненциально мала при ~ → 0 вне малой окрестности точки ξl ,(n)то функция ψl(2.19) будет квазимодой для уравнения (2.18) на всей оси x сэкспоненциальной точностью.Известно, что у оператора Ĥl нет других точек спектра в O(~) окрестности минимума потенциала, кроме решений, описанных в теореме 2.2. Следовательно, расстояние между соседними точками спектра оператора Ĥl в некоторой окрестности энергии E = 0 имеет порядок ~.

Заметим, что энергетиче(n)ские уровни El(2.20) удовлетворяют правилу дискретизации Планка-Бора-Зоммерфельда (1.3) с σ = 2, хотя движение в окрестности положения равновесия не является квазиклассическим. Теорема 2.2 применима также и к Ĥr ,необходимо только заменить ξl на ξr , n на m, ωl на ωr .Таким образом, волновые функции стационарных состояний оператора Ĥlи Ĥr для малых энергий порядка ~ удовлетворяют асимптотическим формулам ВКБ приближения (2.3) в области барьера, а в некоторой фиксированнойокрестности соответствующей потенциальной ямы для них справедливо асимптотическое разложение (2.19) . Согласование этих асимптотик позволяет найтинормировочные константы Ci из формулы (2.3) и соответственно определитьвеличину δ(~) по формуле (2.7).Теорема 2.3.Пусть n-ый энергетический уровень оператора Ĥl близок кm-ому энергетическому уровню оператора Ĥr c точностью O(~2 ).

Тогда длявеличины δ(~) справедлива формула n+m2√ √ωl ωr2n+1/2 m+1/2JlJr×δ(~) = 2 ~ √πn!m! ~Z1 ξr pexp −2V (x)dx [1 + O(~)] , (2.24)~ ξl53гдеJl =Jr =√(dx(t − ξl ) exp ωlωl limt→ξl +0√cZZt(ξr − t) exp ωrωr limt→ξr −0,p2V (x)t(!)cdx(2.25)!)p2V (x).Для пределов Jl,r справедливы также следующие формулы:! )(Zc√ωl1pdx ,Jl = ωl (c − ξl ) exp−2V (x) x − ξlξl(Z! )ξr√1ωrpJr = ωr (ξr − c) exp−dx .2V (x) ξr − xc(2.26)Доказательство.

Для начала найдем нормировочную константу A для состо(n)яния ψl(2.19). Можно считать, что функция y(x) определена на всей оси x иy 0 (x) > const > 0. Тогда, сделав замену y = y(x), получаем, чтоZ ∞Z ∞−102−1/2(y (x)) Dn ~y(x) dx =f (y)Dn2 ~−1/2 y dy,−∞−∞где f (y) = (y 0 (x))−2 |x=x(y) — гладкая ограниченная функция.Хорошо известны следующие свойства функций Эрмита:Z ∞√Dn2 (x)dx = 2n n! π,−∞Dn (z) = e−z2 /2(2z)n 1 + O(z −2 ) , при z → ∞,(2.27)Dn (−z) = (−1)n Dn (z).Следовательно,Z∞√√f (y)Dn2 ~−1/2 y dy = ~f (0)2n n! π[1 + O(~)].−∞Найдем асимптотику значения f (0).

Из формулы (2.22) следует, чтоp2V (x)0y0 (x) =,|y0 (x)|y0 (x) =√ωl (x − ξl ) [1 + O(x − ξl )] ,Следовательно, f (0) = ωl−1 + O(~).y00 (x) =√ωl + O(x − ξl ).(2.28)(2.29)54Таким образом, нормировочная константа A имеет вид:√ωl√A=[1 + O(~)] .(π~)1/4 2n n!(n)Вычислим асимптотику ψl (x) при фиксированном x таком, что xl < x <xl +a. Подставляя асимптотику функции Эрмита (2.27) и формулу (2.28) в (2.19),получаем:(n)ψlZn+1/2y01 xpn −n/2=A2V (s)ds [1 + O(~)] .2 ~exp −y0 y1 −(2V (x))1/4~ ξlИспользуя формулы (2.23), (2.28) и (2.29), упростим выражение:!Z xn+1/2n+1/2n+1/2p(y00 (s))2 − ωl ds =y0exp(−y0 y1 ) = y0exp2V (s)ξl(!)Z xn + 1/2pexplim (n + 1/2) ln y0 (x) −(y00 (s))2 − ωl ds.t→ξl +02V (s)tТак какZxt1p2V (s)(y00 (s))2 dsZx=ty0 (x)y00 (s)ds= ln,y0 (s)y0 (t)получаем:(n+1/2y0exp(−y0 y1 ) = limxZy0 (t) exp ωlt→ξl +0!)n+1/2ds.p2V (s)tСледовательно, применяя оценки (2.29), получаем:n+1/2(n)ψl (x)2n ~−n/2 Jl=A(2V (x))1/4×(n)expEl~Zcx1p−2V (s) ~dsZx!p2V (s)ds [1 + O(~)] ,ξlгдеJl =√(ωl limt→ξl +0Z(t − ξl ) exp ωltc!)dxp2V (x).Для описания туннельного резонанса (см.

раздел 2.1) в двойной яме необходимо найти константу Cl , определяемую из формулы (2.3):!Z xr C1l(n)(n)ψl (x) =exp −2 V (x) − El dx [1 + O(~)] .(2V (x))1/4~ aОчевидно, что константа Cl зависит от выбора точки a. Пусть, для определенности, a = c. Тогда, учитывая, чтоZ xpZZ xr (n)(n)2 V (s) − El ds =2V (s)ds − Elcccxdsp+ O(~2 ),2V (s)55получаем:√Cl =ωl√(π~)1/4 n/2Z21 cpn+1/22V (x)dx .Jlexp −~ ξln! ~Аналогично находим формулу для Cr : m/2Z√ωr21 ξr pm+1/2√exp −Cr =Jr2V (x)dx ,~ c(π~)1/4 m! ~гдеJr =√(Zt(ξr − t) exp ωrωr limt→ξr −0!)dxp2V (x)c.Подставляя асимптотики величин Cl и Cr в определение δ(~) (формула (2.7)),получаем формулу (2.24). Остается только показать, что для пределов Jl,r , определенных по формуле (2.25), справедливы формулы (2.26).Действительно,Jl =√((t − ξl ) exp ωlωl limt→ξl +0√= ωl (c − ξl ) expZt(cZlimt→ξl +0√= ωl (c − ξl ) exp(Ztωlp2V (x)!)dxp2V (x)ω dxp l−2V (x)cξlc−Ztc=!)dx=x − ξl! )1x − ξldx .Аналогично можно получить формулу для Jr .

Следовательно, лемма 2.3 полностью доказана.Теорема 2.4. Пусть выполнены условия леммы 2.3. Тогда для оператора Шредингера Ĥ в случае нижних энергетических уровней, при условии (2.17), справедлива теорема 2.1 — критерий туннельного резонанса, где величина δ(~)имеет вид (2.24).Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 2.1.(m)Заметим, что если выполнены условия теоремы 2.1, то |Er(n)− El | экс-поненциально мало, следовательно, совпадают первые члены разложения по ~(m)энергий Er(n)и El :ωl (n + 1/2) = ωr (m + 1/2).56Таким образом, отношение частот колебания классической частицы в левойи правой яме рационально.

Однако, сама по себе рациональность отношения(резонанс) частот является лишь слабым необходимым условием резонансноготуннелирования и из нее не следует, например, возникновение эффекта двойнойлокализации стационарных состояний.Амплитуда расщепления в терминах решения системы в вариацияхСледуя методу работы [24], выразим пределы Jl и Jr (2.25) через асимптотику решения системы в вариациях.Рассмотрим гамильтонову систему, определяющую инстантон: q̇ = p, ṗ = V 0 (q),(2.30)с граничными условиями q(−∞) = ξl , q(0) = c, q(∞) = ξr . Система (2.30)соответствует гамильтониану p2 /2 − V (x), который отличается заменой знакапотенциальной энергии от гамильтониана, определяющего классическое движение.Решение системы (2.30) можно задать неявной формулой:Z qdxpt=.2V (x)cРассмотрим систему в вариациях, отвечающую системе (2.30) (см.

[24, 25,32]):z̈ = V 00 (q(t))z;z(±∞) = 0; z(0) = 1.(2.31)Ее решение имеет видsz(t) =V (q(t)).V (c)(2.32)Найдем асимптотику решения системы в вариациях (2.32) при t → −∞.Получаем, чтоz(t) ∼ (V (c))−1/2 ωl (q − ξl ).Из определения Jl (формула (2.25)) следует, что!Z qdx−1/2−1/2pq − ξl ∼ Jl ωlexp ωl= Jl ωl eωl t .2V (x)c(2.33)(2.34)57Тогда, из формул (2.33) и (2.34) получаем√ωl 2ωl tz(t) ∼ Jl pe .V (c)Аналогично получаем асимптотику решения системы в вариациях (2.31) приt → +∞:√ωr −2ωr tz(t) ∼ Jr pe.V (c)Таким образом, найдена связь пределов Jl,r с асимптотикой решения системыв вариациях для инстантона.2.3Сравнение амплитуд расщепления для высоких и низких энергетических уровнейФормула (2.24) задает величину δ(~) для нижних энергетических уровней,то есть для конечных n и m, а формула (2.8) задает величину δ(~) для высокихэнергетических уровней, то есть для n и m порядка 1/~ при ~ → 0.

Характеристики

Список файлов диссертации