Диссертация (1137416), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для определенности предположим, что носитель функции f (x) лежит справа от потенци-71Рис. 2.7альной ямы (см. рис. 2.7):suppf (x) = [a, b],x2 < a < b.Для нормированной волновой функции ψ0 (x) при x ∈ [a, b] справедливо ВКБразложение:Z1 xCψ0 (x) = p exp −|p|dx [1 + O(~)] .~ x2|p|Следовательно,Zb22(Ĥ − E0 )ψ0 = kf (x)ψ0 k = f 2 (x)ψ02 (x)dx = ε2 ,aи для ε справедлива оценкаSε ≤ C1 exp −~,где S — действие по инстантону от точки поворота до носителя функции f (x):Z ap2(V (x) − E0 )dx.S=x2Из данной оценки получаем, что у оператора Ĥ есть точка спектра E (см.лемму 2.1), расстояние от которой до E0 экспоненциально мало (не превосходитε). Если после добавления f (x) потенциал остается одноямным для энергий,близких к E0 , то расстояние между E и соседними энергетическими уровнямиоператора Ĥ имеет порядок ~.
Тогда ψ0 может служить приближением длясобственной функции оператора Ĥ (см. теорему 2.9).72Найдем следующий член разложения E по ε. Поскольку функция f (x) непредполагается малой, формулы обычной теории возмущений не применимы.Получена только слабая оценка:|E − E0 | ≤ ε.Идея построения асимптотики E состоит в применении теории возмущенийдля поиска спектра оператора Ĥ, где в качестве невозмущенного операторабудет рассматриваться не исходный оператор Ĥ0 , а некоторый специально построенный оператор.
Данные идеи близки к идеям доказательства теоремы 2.10.Теорема 2.6. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], f (a) = 0 иf (x) не меняет знак в некоторой окрестности точки x = a. Тогда для энергииE оператора Ĥ справедлива асимптотическая формулаE − E0 = hf (x)ψ0 , ψ0 i [1 + o(1)] .(2.49)Доказательство.
Пусть Π — проектор на ψ0 , а Π0 = 1 − Π. Рассмотрим операторы:A = Ĥ0 + Π0 f (x)Π0 ,B = f (x)Π + Πf (x) − Πf (x)Π.Следовательно,A + B = Ĥ0 + f (x) = Ĥ,Aψ0 = E0 ψ0 ,Bψ0 = f (x)ψ0 .Оператор B конечномерен и для нормы оператора B справедлива оценка:kBk = O(ε).Если предположить, что потенциал V (x) + f (x) остается одноямным дляэнергий, близких к E0 , то у оператора Ĥ существует единственная точка спектра E, экспоненциально близкая к E0 , а остальные точки спектра находятсяна расстоянии порядка ~. Следовательно, для поиска асимптотики E можноприменить формулу теории возмущений для изолированной точки спектра: 3+∞XhBψ0 , φk i2εE = E0 + hBψ0 , ψ0 i ++O,E0 − λk~2k=173где ψ0 , φ1 , φ2 , .
. . — ортонормированный набор собственных функций оператораA, а E0 , λ1 , λ2 , . . . — соответствующие собственные значения. Члены суммы, длякоторых энергии λk близки к E0 , не дают вклада в асимптотику, поскольку дляних функции φk экспоненциально малы на носителе f (x).
Следовательно,E = E0 + hf (x)ψ0 , ψ0 i + O(ε2 ).Остается доказать, чтоε2 = hf (x)ψ0 , f (x)ψ0 i = o (hf (x)ψ0 , ψ0 i) .Данные оценки верны, поскольку вклад в интеграл hf (x)ψ0 , f (x)ψ0 i дает толькомалая окрестность точки a и функция f (x) мала в этой окрестности.Приведем строгое доказательство данной оценки. Легко видеть, что искомаяоценка после подходящей замены координат принимает вид:Z 1Z 1−x/~−x/~g2 (x)edx , при ~ → 0,g1 (x)edx = o00где gi (x) — непрерывные функции такие, что gi (0) = 0, gi (x) ≥ 0, gi (x) не равнотождественно нулю в некоторой окрестности точки x = 0 иg1 (x) = o(g2 (x)), при x → 0.Пустьx(~) = −~ ln I(~),где1Zg1 (x)e−x/~ dx > 0.I(~) =0Очевидно, для интеграла I(~) справедлива оценка сверху:I(~) ≤ ~ max g1 (x) = O(~).x∈[0,1]Для любого C > 0 и достаточно малых ~ > 0 справедлива оценка снизу:I(~) > e−C/~ ,так какZ1I(~) ≥C0g1 (x)e−x/~ dx = ~g1 (C0 )e−C0 /~ [1 + O(~)] > e−C/~ ,74где 0 < C0 < min(C, 1) и g1 (C0 ) 6= 0.Следовательно,0 ≤ x(~) < C,для любого C > 0 при достаточно малых ~.
Получаем, чтоx(~) → 0, при ~ → 0.Покажем, что основной вклад в интеграл I(~) дает интегрирование по малому отрезку [0, x(~)]. Действительно, справедлива оценкаZ 1g1 (x)e−x/~ dx = O(~)e−x(~)/~ = O(~I(~)).x(~)Следовательно,x(~)Zg1 (x)e−x/~ dx.I(~) = (1 + O(~))0Учитывая, что gi (x) > 0, получаем оценкуZx(~)−x/~g1 (x)ex(~)Zdx =00g1 (x)g1 (x)g2 (x)e−x/~ dx ≤ max0≤x≤x(~) g2 (x)g2 (x)Zx(~)g2 (x)e−x/~ dx.0Поскольку g1 (x) = o(g2 (x)) при x → 0 и x(~) → 0 при ~ → 0, получаем, чтоg1 (x)= o(1), при ~ → 0.0≤x≤x(~) g2 (x)maxТогдаZ!x(~)g2 (x)eI(~) = o−x/~dxZ1=o−x/~g2 (x)edx ,00что и требовалось доказать.Из данной теоремы можно получить несколько важных следствий.Следствие 2.4. Формула для главного члена асимптотики совпадает с формулой классической теории возмущений, но величина поправки может бытьмного больше величины малого параметра ε и существенно зависит от того,как функция f (x) стремится к 0 при x → a.Следствие 2.5.
Справедлива оценка2S + o(1)E − E0 = exp −~.(2.50)75Оценка (2.50) была получена ранее в работе [93] (см. обзор в разделе 1.2) припомощи вероятностных методов. Формула (2.49) позволяет не только получитьпростую оценку для показателя экспоненты (2.50), но и полностью вычислитьглавный член асимптотики величины возмущения энергии E.Например, если известно, что f (a + x) ∼ x при x → a, x > a, то из (2.49)несложно получить оценку:ω~212SE − E0 =[1 + o(1)].exp −4π (2(V (a) − E0 ))3/2~2.8Применение метода туннельного возмущенияКак показано в разделе 2.7, изменение потенциала в классически запрещенной области приводит к экспоненциально малому возмущению спектра.
Данные поправки представляют интерес, если в исходной задаче присутствует экспоненциальное квазивырождение спектра, поскольку тогда малое возмущениеэнергий может привести к существенному изменению собственных функций, аследовательно, и динамики системы. Простейшей подобной системой являетсядвуямный потенциал. Учитывая результаты раздела 2.1, исследование двуямного потенциала можно свести к исследованию пары одноямных потенциалов,для которых применима теорема 2.6.Для начала рассмотрим влияние деформации потенциального барьера натуннелирование.
Пользуясь полученными результатами, построим контрпример к работе [108]. После приведем независимое доказательство корректностиусловия 3 теоремы 2.1, опирающееся на оценки следствия 2.5.Рассмотрим влияние деформации потенциального барьера на резонансноетуннелирование в двойной потенциальной яме. Пусть двуямный потенциал V (x)удовлетворяет требованиям теоремы 2.1, E1,2 — пара квазивырожденных собственных значений оператора Ĥ и соответствующие собственные функции билокализованы. Добавим к потенциалу V (x) функцию f (x) такую, что носительf (x) лежит между центром потенциального барьера и точкой поворота. Дляопределенности можно считать, что возмущается правая сторона барьера.Тогда, используя результаты теоремы 2.1 и 2.6, получаем следующую теорему.76Теорема 2.7.
При гладкой деформации одной, для определенности — правой,стороны потенциального барьера разрушается двойная локализация собственных функций, и для величины расщепления справедлива формула:∆ = hf (x)ψr , ψr i [1 + o(1)].(2.51)Подобная задача в случае симметричного потенциала рассматривалась вработе [93] (см. также [73, 82]), где был получен только показатель экспоненты,такой же, как в оценке из следствия 2.5.Теперь покажем, используя формулу для туннельного возмущения, что результаты, приведенные в работе [108], неверны.В работе [108] рассматривается двуямный несимметричный потенциал дляэнергий, близких к положениям равновесия потенциала. Предполагается, чтопотенциал является в точности квадратичным в некоторой окрестности областей классического движения, то есть в некоторых конечных окрестностяхминимумов потенциала. Для вычисления величины расщепления применяетсяметод двухуровневой аппроксимации.
В качестве потенциалов левой и правойпотенциальных ям были выбраны осцилляторы с соответствующими частотами. Ошибка состоит в том, что при таком выборе потенциалов левой и правойпотенциальных ям полученный результат для величины расщепления оказывается меньше величины погрешности данного метода. Из такого подхода следует, что локализация собственных функций и величина расщепления не зависятот выбора гладкого участка потенциального барьера, соединяющего те области, где потенциал квадратичен. Подобные вычисления приводят к неверномурезультату, поскольку деформация потенциального барьера вне областей квадратичности потенциала приведет к разрушению туннелирования (теорема 2.7).Величина расщепления будет экспоненциально больше, чем полученная в работе [108].
В качестве контрпримера можно рассмотреть любой симметричныйдвуямный потенциал, удовлетворяющий всем условиям работы [108], к которому добавлено несимметричное возмущение потенциального барьера.Далее приведем независимое доказательство корректности условий теоремы 2.1, используя формулы туннельного возмущения спектра. Условие 3 теоремы 2.1 сформулировано в терминах спектров операторов Ĥl,r с одноямнымипотенциалами Vl,r (x). Выбор потенциалов Vl,r не является однозначным, как77видно из условий, наложенных на потенциалы Vl,r .
Иначе выбранные потенциалы Wl,r могут отличатся от исходных Vl,r только в классически запрещеннойобласти. Как следует из теоремы 2.1, условие о том, что существует число λтакое, что |Er − El | = δ(~)[λ + O(~)], не зависит от свободы в выборе Vl,r и характеризует двуямный потенциал V (x). Докажем этот факт непосредственно,используя формулу для туннельного возмущения.Пусть~2 d2+ Wi (x), i = l, r.2 dx2K̂i = −Пусть для собственных значений El,r операторов Ĥl,r справедливо условие 3теоремы 2.1, то есть существует λ такое, что|Er − El | = δ(~)[λ + O(~)].Пусть ψl,r — собственные функции, соответствующие собственным значениямEl,r . Нужно доказать, что у операторов K̂l,r существуют собственные значенияkl,r , близкие к El,r , и такие, что|kr − kl | = δ(~)[λ + O(~)].Введем обозначение:fi (x) = Wi (x) − Vi (x), i = l, r.Тогда из условий, наложенных на потенциалы Vi и Wi , следует, чтоfl (x) ≡ 0, x ≤ b,fr (x) ≡ 0, x ≥ a.ПустьZb|p(x)|dx,Sl =xlZxr|p(x)|dx.Sr =aПрименяя оценку из следствия 2.5, получаем:2Si + o(1)ki − Ei = exp −.~78Поскольку точки a и b выбраны так, что a < c < b, а точка c является центромпотенциального барьера с точки зрения действия:ZxrZc|p|dx =xl|p|dx,cполучаем, что |ki − Ei | экспоненциально меньше, чем величина δ(~).
Следовательно,|kr − kl |/δ = |Er − El |/δ + O(~) = λ + O(~),что и требовалось доказать.2.9Некоторые свойства линейных операторовВ данном разделе приведен ряд утверждений из теории линейных операторов, относящихся к теории возмущения дискретного спектра.Следующие утверждения: лемма 2.1, теоремы 2.8 и 2.9 широко известны(см., например, [28, 41, 80]) и представлены здесь для удобства ссылок.Лемма 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
