Диссертация (1137416), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Например, как показано ниже, из формулы (3.1) можно получить формулу85Херринга (1.6) для многомерного симметричного двуямного потенциала, есливзять σ̂ = σ(x̂), где функция σ(x) равна единице с одной стороны от плоскостисимметрии и нулю — с другой.В общем случае (в том числе и многомерном) туннелирования между различными областями фазового пространства оператор σ̂ должен “отделять” состояния, локализованные в одной области фазового пространства, от состояний,локализованных в другой симметричной области.
Тогда несложно показать, чтодля знаменателя в (3.1) справедлива приближенная формула:hσ̂ψ1 , ψ2 i ' α/2,|α| = 1,(3.2)где фазовый множитель α определяется выбором фаз состояний ψi . Выражениев числителе формулы (3.1) можно упрощать, используя известные формулы длякоммутатора псевдодифференциальных операторов [31].Операторная формула (3.1) при соответствующем выборе оператора σ̂ позволяет выразить величину расщепления ∆ через асимптотику волновых функцийстационарных состояний ψ1 и ψ2 . Для получения явных асимптотических формул для величины расщепления в конкретных задачах необходимо также дополнительно построить достаточно точные асимптотики состояний ψ1,2 в “туннельных” областях фазового пространства.Формула для расщепления в случае симметричного двуямного потенциалаВ качестве примера применения формулы (3.1) рассмотрим задачу о туннельном расщеплении спектра в двуямном симметричном потенциале V (x) =V (−x) на прямой (см.
обзор этой задачи в разделе 1.2). Если взять σ̂ = θ(x̂),где θ(x) — функция Хевисайда, то~2 d2~2d0[Ĥ, σ̂] = −, θ(x) = −δ (x) + 2δ(x),2 dx22dxгде δ(x) = θ0 (x) — дельта-функция Дирака. Учитывая, что dhδ ψ1 , ψ2 i = −ψ1 ψ2 ,dxx=0h2δψ10 , ψ2 i = 2ψ10 ψ2 x=0 ,086получаем, что~2ψ10 ψ2 − ψ1 ψ20 x=0 .(3.3)2Если ψ1,2 (x) — действительные функции, ψ1 (x) — четная, а ψ2 (x) — нечетнаяh[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i = −функция, то~2h[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i = ψ1 (0)ψ20 (0).2Найдем асимптотику выражения hσ̂ψ1 , ψ2 i, необходимую для применения формулы (3.1).
Поскольку задача обладает симметрией, волновые функции стационарных состояний ψ1,2 могут быть представлены в следующем виде (см.формулу (1.8)):1ψ1 (x) = √ (ϕ(x) + ϕ(−x)) + O(~),21ψ2 (x) = √ (ϕ(x) − ϕ(−x)) + O(~),2где ϕ(x) — действительная нормированная функция, локализованная в областиx > 0. Следовательно,1hσ̂ψ1 , ψ2 i = hϕ(x), ϕ(x) − ϕ(−x)i + O(~) = 1/2 + O(~).2Применяя операторную формулу (3.1), получаем асимптотическую формулудля величины туннельного расщепления:∆ = ~2 ψ1 (0)ψ20 (0)[1 + O(~)].(3.4)Таким образом, мы получили альтернативное доказательство известной формулы (1.9) (см.
обзор в разделе 1.2). Аналогично можно получить и многомернуюформулу Херринга (1.6).Если в формулу (3.4) подставить туннельную ВКБ асимптотику состоянийψ1,2 , то получим асимптотическую формулу для величины туннельного расщепления (формула (1.12)) в случае симметричного двуямного потенциала:Zω~1 a|p|dx [1 + O(~)],exp −∆=π~ −aгде a > 0 — точка поворота, ω — частота классических колебаний.Применение операторной формулы в несимметричном случаеЗадача о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале уже была подробно рассмотрена в главе 2 настоящей диссертации с помощью метода двухуровнего приближения. Приведем ряд замечаний, касающихся87возможности применения операторной формулы (3.1) для исследования этойзадачи.Предположим, что ψ1,2 — билокализованные стационарные состояния оператора Шредингера Ĥ с двуямным несимметричным потенциалом V (x), отвечающие паре квазивырожденных энергетических уровней E1,2 .
Тогда, учитываяортогональность и нормированность состояний ψ1,2 , получаем, что при соответствующим выборе фазовых множителей стационарные состояния ψ1,2 имеютвид:ψ1 = cos(α)ψl + sin(α)ψr + O(~),ψ2 = − sin(α)ψl + cos(α)ψr + O(~),где ψl и ψr — некоторые приближенные волновые функции (квазимоды), локализованные в левой и правой потенциальной яме соответственно, а угол α ∈(0, π/2) не зависит от ~. Угол α можно считать не зависящим от ~, посколькуволновые функции ψ1,2 предполагаются билокализованными (см. определениев разделе 2.1).
Состояния ψl,r действительны и нормированы, а волновая функция ψ1 (x) > 0 в области потенциального барьера.Выберем оператор σ̂ так же, как и в симметричном случае:σ̂ = σ(x̂),σ(x) = θ(x − x0 ),где точка x0 лежит в области барьера между точками поворота xl и xr . Тогдаполучаемhσ̂ψ1 , ψ2 i = sin(α) cos(α) + O(~).Учитывая формулу (3.1) и (3.3), получаем, что∆ = ~21 + O(~)(ψ 0 ψ1 − ψ1 ψ20 )|x=x0 .2 sin(α) cos(α) 2(3.5)Определим предельные вероятности pl и pr обнаружить состояние ψ1 в левойи правой потенциальной яме при ~ → 0 также, как и в разделе 2.1. Тогдаформула (3.5) примет вид:∆ = ~21 + O(~)(ψ1 ψ20 − ψ10 ψ2 )|x=x0 .√2 pl pr(3.6)Следовательно, используя операторный метод, можно получить формулудля величины туннельного расщепления ∆, выраженную через асимптотику88стационарных состояний в области барьера и вероятности pl,r . Учитывая, чтоизвестна асимптотика амплитуд состояний ψ1,2 в левой и правой яме (она определяется величиной α), и используя правила согласования ВКБ асимптотик впростых точках поворота (см., например, [29, 46, 100]), можно построить асимптотику стационарных состояний ψ1 и ψ2 под барьером с экспоненциальной точностью при ~ → 0.
Получаем, чтоZrωl1 xψ1 = cos(α)exp −|p|dx [1 + O(~)] +2π|p|~ xlZrωr1 xrexp −|p|dx [1 + O(~)], (3.7)sin(α)2π|p|~ xZr1 xωlexp −ψ2 = − sin(α)|p|dx [1 + O(~)] +2π|p|~ xlZrωr1 xrcos(α)|p|dx [1 + O(~)]. (3.8)exp −2π|p|~ xАсимптотические формулы (3.7)–(3.8) применимы равномерно на некоторомотрезке, лежащем в области потенциального барьера, и они допускают дифференцирование. Несложно видеть, что сохранение обоих слагаемых в этих асимптотических формулах имеет смысл только в окрестности точки x = c — центрапотенциального барьера, определяемого по формуле (2.1).
Подставляя асимп0тотики состояний ψ1,2 и соответствующие асимптотики для производных ψ1,2в формулу (3.6), получаем, что асимптотику величины расщепления ∆ можно найти только в том случае, если x0 = c, иначе остаточные члены O(~) изформул (3.7) и (3.8) становятся доминирующими членами в асимптотическомразложении величины ∆.
Возьмем x0 = c, тогда формула (3.5) переходит вформулу (2.15):δ(~)∆= √[1 + O(~)] ,2 pl prполученную нами ранее методом двухуровневого приближения.Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.Теорема 3.1. Пусть стационарные состояния ψ1,2 оператора Шредингера Ĥ сдвуямным несимметричным потенциалом V (x), соответствующие паре квазивырожденных энергетических уровней E1,2 , билокализованы.Тогда для величины расщепления ∆ справедлива асимптотическая формула (2.15).89Следовательно, применяя операторный метод вычисления расщепления, можно частично получить результат критерия двойной локализации (теорема 2.1),доказанного методом двухуровневого приближения. А именно, мы показали,что из двойной локализации пары стационарных состояний следует, что расщепление пары соответствующих квазивырожденных точек спектра являетсяэкспоненциально малым при ~ → 0 и справедлива асимптотическая формула (2.15).
С другой стороны, применение метода двухуровневого приближенияпозволяет наглядно представить стационарные состояния в виде определенныхлинейных комбинаций базовых состояний ψl и ψr с экспоненциальной точностьюпо ~ (см. формулу (2.13)), что приводит к естественному построению полногокритерия резонансного туннелирования, в том числе к доказательству утверждения, обратного к теореме 3.1 (см.
теорему 2.1).Таким образом, метод двухуровневого приближения дает более полный результат в задачах несимметричного туннельного резонанса. Метод, основанныйна операторной формуле (3.1), может быть успешно применен в задачах с симметрией, где асимптотика стационарных состояний известна априори (они симметричны и антисимметричны), или в задачах, где построение “правильного”базиса для двухуровневого приближения, то есть выбор волновых функций ψlи ψr , представляет трудности.3.2Общая структура спектра для частицы на окружностиРассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера на окружности:−~ 2 d2 ψ+ V (x)ψ = Eψ,2 dx2(3.9)где ~ — малый параметр квазиклассического приближения, а V (x) ∈ C 2 (R) —периодический потенциал:V (x + 2π) = V (x).На решения уравнения (3.9) наложим условие периодичности:ψ(x + 2π) = ψ(x).(3.10)90Соответствующий оператор Шредингера имеет видĤ =p̂2+ V (x).2Известно, что спектр оператора Шредингера на окружности Ĥ являетсядискретным.
В общем случае спектр оказывается невырожденным, хотя потенциалы, для которых все точки спектра, за исключением конечного числа,вырождены (кратность равна двум), имеют большое значение для теории нелинейных уравнений (см., например, в [26, 55]).При построении квазиклассического приближения для спектра оператораШредингера на окружности Ĥ возникают различные асимптотические режимы в разных областях спектра, то есть для различных характерных значенийэнергии E. Естественно выделить следующие случаи:1. Энергия существенно меньше максимума потенциала.2.
Энергия близка к максимуму потенциала.3. Энергия существенно больше максимума потенциала.Ниже приведено качественное описание квазиклассического спектра оператора Ĥ, учитывающее туннелирование для энергий меньше и больше максимума потенциала. Случай энергий близких к максимуму потенциала, то естьотвечающих движению в окрестности сепаратрисы, подробно изложен, например, в работе [59].Энергия существенно меньше максимума потенциалаРассмотрим спектр оператора Ĥ в окрестности энергии E, меньшей максимума потенциала. В этом случае уравнение V (x) = E имеет действительные корни — точки поворота, классическая частица движется в потенциальнойяме между соответствующими точками поворота и не может совершить полный оборот по окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
