Диссертация (1137416)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет "Высшая школа экономики"На правах рукописиВыборный Евгений ВикторовичМатематическое обоснование расщепленияспектра и билокализации состояний прикоординатном и импульсном туннелировании водномерных квантовых системахСпециальность 01.01.03 — Математическая физика(физико-математические науки)Диссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Карасев М. В.Москва — 20152ОглавлениеВведение41 Туннельные эффекты в одномерных системах с дискретнымспектром. Обзор результатов и проблем141.1Квазиклассическое приближение без учета туннелирования . .
. . 151.2Двуямный потенциал на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3Динамическое туннелирование на окружности . . . . . . . . . . . . 291.4Постановка задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Туннелирование в несимметричной двойной яме352.1Критерий билокализации волновых функций . .
. . . . . . . . . . 362.2Случай энергии, близкой к минимуму потенциала . . . . . . . . . 492.3Сравнение амплитуд расщепления для высоких и низких энергетических уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4Динамика частицы в случае резонансного туннелирования . . . . 602.5Примеры резонансного туннелирования в несимметричном потенциале . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6Эффект туннельного захвата состояния . . . . . . . . . . . . . . . 652.7Туннельное возмущение спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.8Применение метода туннельного возмущения .
. . . . . . . . . . . 752.9Некоторые свойства линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . 783 Туннелирование в импульсном пространстве833.1Операторная формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2Общая структура спектра для частицы на окружности . . . . . . 893.3Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом на прямой9333.4Туннельное расщепление энергий для частицы на окружности .
. 953.5Квантовый маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Заключение105Литература1084ВведениеТема исследования и ее актуальностьТуннельный эффект является одним из базовых квантово-механических эффектов и играет существенную роль в различных областях современной физики, в том числе в квантовой теории поля, спектроскопии молекул, а также вквантовой химии и некоторых вопросах биологии.
Задача об аналитическомописании туннельных эффектов для различных квантово-механических моделей имеет богатую историю, которая берет свое начало с момента становления квантовой механики [91, 110]. Детальный обзор классических результатови приложений изложен, например, в книгах [20, 51, 54, 103]. Современный ростинтереса к изучению квантового туннелирования связан также с прогрессомв наноэлектронике (см., например, [22]), где возникает возможность использования квантовых эффектов для качественно новых технологий, например,туннелирование в управляемом двуямном потенциале часто используется какмодель построения кубитов [65, 69, 72].Одним из проявлений туннельного эффекта является проникновение квантовой частицы через потенциальный барьер, разделяющий две области классического движения в конфигурационном пространстве, — так называемое координатное туннелирование.
Например, в симметричном двуямном потенциалетуннелирование через потенциальный барьер приводит к малому расщеплениюэнергетических уровней и двойной локализации волновых функций стационарных состояний квантовой частицы.Другим проявлением туннельного эффекта является отражение квантовойчастицы при движении выше потенциального барьера, которое также можнорассматривать как туннелирование через классически запрещенную область(барьер) в импульсном представлении [64,92,98]. Одним из проявлений импульс-5ного туннелирования является малое расщепление спектра оператора Шредингера квантовой частицы, движущейся в потенциальном поле по окружности вроторном режиме, то есть с энергией, превышающий максимум потенциала.Координатное и импульсное туннелирование являются частными случаями общего эффекта туннелирования между двумя различными траекториямив фазовом пространстве — так называемого динамического туннелирования.Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханическихмоделях и активно изучается в последнее время [61, 84, 85, 95].
Очень интересные динамические случаи туннелирования связаны с присутствием магнитногополя [8, 56, 63]. Исследование влияния туннелирования на структуру спектрапроводилось также с использованием методов адиабатического приближениядля оператора Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом [67, 68].Поскольку точное аналитическое описание туннельных эффектов удаетсяпостроить только в простых модельных случаях, для исследования данногокруга задач обычно применяются асимптотические методы.В настоящей диссертационной работе туннельный эффект анализируетсядля одномерного оператора Шредингера с действительным потенциалом:Ĥ = −~2 d2+ V (x),2 dx2в приближении по малому параметру квазиклассического приближения ~ > 0.Общая спектральная теория оператора Шредингера Ĥ хорошо развита длядостаточно обширного класса потенциалов (см., например, [6, 40, 74]). В даннойдиссертационной работе рассматривается дискретный спектр оператора Ĥ, апотенциал V (x) предполагается достаточно гладким там, где это необходимо.Объект исследования — дискретный спектр и стационарные состоянияодномерного оператора Шредингера Ĥ.
В качестве основных моделей рассмотрена квантовая частица на прямой в двуямном потенциале и квантовая частицав потенциальном поле на окружности в роторном режиме.Предмет исследования — влияние туннельных эффектов на стационарные состояния и спектр оператора Ĥ в квазиклассическом приближении.Целью диссертационного исследования является построение математического обоснования квазиклассического расщепления спектра и билокализациистационарных состояний при координатном и импульсном туннелировании для6одномерного оператора Шредингера в случае общего вида потенциалов (не симметричных, не типа Матье).Ниже во введении дано краткое изложение основных известных результатовв этой области и обсуждаются открытые вопросы, изучению которых посвященанастоящая диссертация. Детальный обзор литературы, известных результатови нерешенных проблем, а также основных методов исследования будет представлен в главе 1 диссертационной работы.Координатное туннелированиеОдной из базовых моделей координатного туннелирования является движение квантовой частицы в двуямном потенциале на прямой.Хорошо известны результаты для случая зеркально-симметричного двуямного потенциала.
В этом случае спектр состоит из пар экспоненциально (при~ → 0) близких точек, а соответствующие волновые функции стационарных состояний являются симметричными и антисимметричными. Следовательно, состояние, локализованное только в одной из двух потенциальных ям, не являетсястационарным, а представляется в виде линейной комбинации пары стационарных состояний с близкими значениями энергий. Это приводит к эффекту туннельной транспортации. Состояние начинает совершать туннельные переходымежду ямами и в определенные моменты времени становится практически полностью локализованным в другой потенциальной яме, чем яма, в которой онобыло сосредоточено в начальный момент времени (см., например, [20, 54, 60]).Подобный эффект также называют резонансным туннелированием, так как вотличие от обычного туннелирования, когда лишь малая часть волны проходитчерез потенциальный барьер, в этом случае наблюдается полный переход состояния через потенциальный барьер.
Частота подобных туннельных переходовопределяется величиной малого расщепления энергетических уровней спектраоператора Шредингера.Асимптотическая формула для величины туннельного расщепления в случае симметричного потенциала была получена в работе [62] для высоких энергетических уровней и в работе [43] для случая нижних энергетических уровней (см. также [29, 35, 48, 71, 75, 101]). Величина туннельного расщепления пары7нижних энергетических уровней найдена также и в случае многомерного симметричного потенциала [25, 80, 81, 106].С физической точки зрения большой интерес представляет также случайнесимметричного потенциала [20, 22, 23, 45, 54, 69].
Тогда задача существенноусложняется, однако примеры, рассмотренные численно, по-прежнему демонстрируют возможность возникновения резонансного туннелирования при определенных настройках потенциала [23, 44, 60, 99, 103].Одной из основных задач настоящей диссертационной работы является построение и строгое обоснование асимптотики спектра и стационарных состоянийоператора Шредингера Ĥ с несимметричным двуямным потенциалом и определение условий, при которых эти состояния являются билокализованными, тоесть условий туннельного резонанса. Данные вопросы были рассмотрены нафизическом уровне строгости в работах [20, 45, 60, 91], а некоторые строго обоснованные результаты были получены в [80, 93, 106].
Подробное изложение известных результатов и открытых проблем в случае несимметричного двуямногопотенциала приведено в главе 1 настоящей диссертации (см. раздел 1.2).Важный пример туннельного резонанса возникает при рассмотрении несимметричного потенциала, зависящего от внешнего параметра. Предположим, чтоодна из потенциальных ям двуямного потенциала является фиксированной “физической” потенциальной ямой, а вторая — является варьируемой пробной ямой,ее глубина и ширина являются внешними управляемыми параметрами.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
