Диссертация (1137416), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Семинар лаборатории “Математические методы естествознания” НИУ ВШЭ,Москва, 2014.9. Семинар профессора О. Г. Смолянова, мехмат МГУ, Москва, 2015.10. Семинар лаборатории “Механика природных катастроф”, Институт проблем механики РАН, Москва, 2015.Тезисы докладов опубликованы в [10–15].Состав диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главепредставлен обзор литературы, изложены известные результаты и открытыепроблемы, а также основные методы исследования. Во второй главе представлены новые научные результаты, полученные автором в задаче о координатном13туннелировании в несимметричном двуямном потенциале. В третьей главе настоящей диссертации изложен общий операторный метод вычисления туннельного расщепления в задачах динамического туннелирования и представленыновые научные результаты, полученные автором в задаче об импульсном туннелировании частицы на окружности.14Глава 1Туннельные эффекты в одномерных системах сдискретным спектром.
Обзор результатов ипроблемОдной из простейших моделей, где возникает нетривиальный туннельныйэффект, является одномерный оператор Шредингера с потенциалом, имеющимвид двойной ямы, в общем случае — несимметричной. Задача об аналитическомописании спектра и волновых функций в двуямном потенциале имеет богатуюисторию: первые результаты, носящие качественный характер, содержались ещев работе [91] 1927 года.Другим проявлением туннельного эффекта является отражение квантовойчастицы при движении выше потенциального барьера, которое также можнорассматривать как туннелирование через классически запрещенную область(барьер) в импульсном представлении [92, 98].
Это частный случай общего эффекта туннелирования между двумя различными траекториями в фазовом пространстве — так называемое динамическое туннелирование. Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханических моделях и активноизучается в последнее время [61,84,85,95]. Важный пример динамического туннелирования дает задача о движении частицы по окружности под действиемпотенциального поля в случае, если ее энергия выше максимума потенциала(роторный режим).Обе модели туннелирования: квантовая частица в двуямном потенциале идинамическое туннелирование частицы на окружности, — объединяет наличиепары периодических траекторий классического движения для заданного уров-15ня энергии E.
Для двуямного потенциала — это движение в левой и правойпотенциальной яме, а для частицы на окружности — это движение в одномиз двух возможных направлений. В классической механике частица движетсятолько по одной из этих траекторий, в зависимости от начальных данных (положения и скорости), а в квантовой механике возможно туннелирование междусоответствующими состояниями.Даже для простейших моделей не удается построить описание туннелирования точно и аналитически в общем виде. Аналитическое описание влияниятуннельных эффектов на спектр и стационарные состояния оператора Шредингера удается получить только в квазиклассическом приближении, то естьасимптотически при ~ → 0, где ~ — эффективная (полученная после перенормировки и обезразмеривания задачи) постоянная Планка.В этом приближении в ряде случаев удается аналитически описать эффектытуннельного расщепления дискретного спектра и билокализацию стационарныхсостояний.
В данной главе приведен обзор сответствующих результатов и описываются проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертационнаяработа.1.1Квазиклассическое приближение без учета туннелированияВ данном разделе изложены хорошо известные результаты, полученные припомощи стандартных методов квазиклассического приближения (методов ВКБ).Подробное изложение этих методов представлено в книге [34], а также в [29,31,46, 80].Рассмотрим квазиклассическую асимптотику дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного уравнения Шредингера:−~2 d2 ψ+ V (x)ψ = Eψ,2 dx2(1.1)где V (x) — достаточно гладкий действительный потенциал. Соответствующийоператор обозначим через Ĥ:~2 d2Ĥ = −+ V (x).2 dx2(1.2)16В диссертации рассмотрены две основных модели: координатное туннелирование в двуямном потенциале на прямой x ∈ R и динамическое туннелированиечастицы на окружности x ∈ S.Квазиклассическое приближение устанавливает соответствие между некоторыми последовательностями (спектральными сериями) приближенных собственных значений оператора Ĥ и семействами инвариантных торов классической системы с гамильтонианом H = p2 /2 + V (x) (см.
[34]). В одномерномслучае невырожденные инвариантные торы сводятся к периодическим траекториям движения и определяются линиями уровня {H(x, p) = E} классическогогамильтониана (см., например, [2]).Приближенные собственные значения, с точностью O(~2 ), определяются правилом дискретизации Планка-Бора-Зоммерфельда [29, 34]:I1pdx = ~(n + σ/4),2π(1.3)где σ — индекс Маслова, n ∼ 1/~ — целое число, а интеграл берется по периодической траектории классического движения на уровне энергии E.
Для частицыв потенциальной яме на прямой σ = 2 (см., например, [29]), а для частицы,движущейся по окружности в роторном режиме, σ = 0 (см., например, работы [46, 56, 64] и в разделе 3.2 данной диссертации). Из правила (1.3) следует,что соседние уровни заданной серии находятся на расстояниях порядка ~ другот друга.Для каждой энергии E = En , удовлетворяющей правилу (1.3), можно построить квазимоду ψn — приближенное решение стационарного уравнения Шредингера (1.1), локализованное вблизи соответствующей периодической траектории.
Квазимоды и их роль при построении приближенных решений уравнений,включающих симметрии, были рассмотрены в работах [3, 35].Предположим теперь, что каждому значению энергии E из некоторой фиксированной области соответствует пара периодических траекторий, то есть множество {H(x, p) = E} состоит из двух компонент связности, дифеоморфныхокружности. Следовательно, классическая частица, обладающая заданной энергией E, движется по одной из двух периодических траекторий, в зависимостиот начальных условий. На рисунке 1.1 представлена пара периодических траекторий для случая двуямного потенциала на прямой.17Рис.
1.1(1)(1)Правило дискретизации (1.3) определяет две спектральные серии En , ψn(2)(2)и Em , ψm . Спектр оператора Ĥ в окрестности энергии E совпадает с объединением этих серий с точностью O(~2 ). При таком объединении энергетическийуровень из одной серии может приближенно совпасть с энергетическим уровнемиз другой серии:(2)En(1) − Em= O(~2 ).(1.4)Тогда в спектре оператора Ĥ присутствует пара близких собственных значений,при этом говорят, что произошло квазивырождение, то есть совпадение двухточек спектра в рамках точности рассматриваемого приближения.Заметим, что в одномерном случае на прямой дискретный спектр оператораШредингера невырожден, если потенциал непрерывен [6, 29]. Пример двуямного потенциала с особенностью в области барьера, для которого спектр оператора Шредингера оказывается вырожденным, разобран в книге [44].
В задачеоб импульсном туннелировании частицы на окружности подобное вырождениеспектра возможно и в случае аналитического потенциала [26, 55, 90, 97].Если квазивырождения не происходит, то есть расстояние от фиксированно(i)го уровня E = En одной серии до ближайшего уровня из другой серии многобольше ~2 , то в O(~2 ) окрестности точки E существует единственная точкаспектра оператора Ĥ, а соответствующая волновая функция близка (с точно(i)стью до множителя) к ψn . В этом случае стационарное состояние практическиполностью локализовано вблизи только одной из двух траекторий периодического движения.
Таким образом, если квазивырождение не происходит, то для18построения асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Ĥ достаточно построить асимптотические серии собственных значений и соответствующие квазимоды. В этом случае туннельные эффекты не играют существеннойроли при описании спектра и соответствующих стационарных состояний.Вырождение спектра также означает отсутствие туннелирования, так какв этом случае состояния, локализованные вблизи только одной классическойтраектории, будут близки к стационарным.С другой стороны, в случае квазивырождения точные собственные функции(1)(2)близки к некоторым линейным комбинациям состояний ψn и ψm , то есть онимогут быть локализованы вблизи сразу двух различных периодических траекторий.
Подобные стационарные состояния называются билокализованными.Такие состояния приводят к туннелированию квантовой частицы с одной траектории периодического движения на другую (см. раздел 2.4), в этом случаеговорят, что наблюдается туннельный резонанс между соответствующими периодическими траекториями.1.2Двуямный потенциал на прямойДвуямный потенциал на прямой является простейшей моделью, где возможен туннельный резонанс. Ниже приведена постановка основных задач, возникающих при изучении туннелирования в симметричном и несимметричномдвуямном потенциале, и дан обзор основных классических результатов и методов исследования.В дальнейшем будет рассматриваться не весь спектр оператора Ĥ, а толькочасть спектра в окрестности фиксированной энергии E.
Предполагается, чтовещественный потенциал V (x) имеет вид двойной ямы (см. рис. 1.2), то естьклассическая область движения частицы (V (x) < E) состоит из двух конечныхинтервалов. Между двумя ямами находится потенциальный барьер и энергияE не близка к вершине потенциального барьера. Хорошо известно, что тогдаспектр оператора Ĥ в некоторой окрестности E является дискретным и невырожденным (см., например, [6, 40, 74]).Впервые качественное исследование спектра оператора Шредингера с двуямным потенциалом было проведено в работе Хунда [91]. Показано, что если19Рис. 1.2адиабатически увеличивать потенциальный барьер, разделяющий две ямы, тоспектр оператора Шредингера распадется на две серии значений: “отдельные”спектры правой и левой потенциальных ям.
Увеличение потенциального барьера приводит к полному отсутствию туннелирования между ямами, так как наволновые функции налагается условие Дирихле (ψ = 0) в некоторой окрестности вершины потенциального барьера. Тогда спектр исходного оператора Ĥприближенно является объединением двух спектральных серий, соответствующих разделенным ямам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
