Диссертация (1137416), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для каждого фиксированного λ существует два значенияµ = µ1,2 , где µ1 = µ−12 , они отвечают паре собственных функций, соответствующих паре близких собственных значений оператора Ĥ. Из существования одной билокализованной собственной функции с µ = µ1 следует наличие41второй с обратным показателем µ = µ2 = µ−11 . Если одна собственная функция больше локализована в левой яме (µ1 < 1), то другая больше локализованав правой (µ2 > 1), и наоборот.Если λ = 0, а следовательно, µ = 1, то стационарные состояния равномерно распределены между двумя ямами pl = pr = 1/2 (см. формулу (2.5)), иимеет место полная туннельная транспортация, как показано в разделе 2.4.Тогда, для величины расщепления справедлива асимптотическая формулаZ√ωl ωr1 xr|p|dx [1 + O(~)] .∆=~exp −π~ xlСледствие 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то для собственныхзначений E1,2 и соответствующих волновых функций ψ1,2 с экспоненциальнойточностью при ~ → 0 справедливы следующие приближенные формулы:El + Er 1 p−(El − Er )2 + δ 2 ,22El + Er 1 p(El − Er )2 + δ 2 ,E2 '+22E1 '(2.12)ψ1 ' cos(α)ψl + sin(α)ψr ,(2.13)ψ2 ' − sin(α)ψl + cos(α)ψr ,гдеEl − Ertg(α) '+δs1+El − Erδ2,(2.14)α ∈ (0, π/2).Исключая константу λ из формул (2.9) и (2.10), можно найти уравнениесвязи между расщеплением энергетических уровней ∆ = E2 −E1 и величиной µ:11µ+δ(~) [1 + O(~)] ,∆=2µсправедливое при резонансном туннелировании.

Выражая µ через вероятностиpl и pr (2.5), получаем:δ(~)∆= √[1 + O(~)] .2 pl pr(2.15)Заметим, что величина µ + µ−1 = (pl pr )−1/2 не зависит от того, для какой издвух собственных функций она вычислена.Если подставить явный вид величины δ(~) из (2.8) в (2.15), то придем кследующей формуле.42Следствие 2.3. Для величины расщепления энергетических уровней справедлива формула~∆=2πrZωl ωr1 xr|p|dx [1 + O(~)] .exp −pl pr~ xl(2.16)Формула (2.16) позволяет определять характер локализации собственныхфункций по величине расщепления соответствующих энергетических уровней.Из (2.15) следует, что с ростом расщепления ∆ быстро исчезает двойная локализация собственных функций, то есть одна из вероятностей pl,r стремится к 0.При этом минимальное расщепление ∆ = δ(~)[1 + O(~)] соответствует максимальной билокализации с pl = pr = 1/2.Также заметим, что теорема 2.1применима не только в случае гладкого двуямного потенциала и высоких энергетических уровней, а может быть обобщена на случай произвольной двойной ямы или на случай туннельного резонанса между двумя соседними ямами многоямного потенциала.

Тогда необходимоследить за справедливостью положений I и II, вычислить нормировочные константы Cl,r и, соответственно, определить величину δ(~) по формуле (2.7).Аналогично можно рассмотреть случай когда потенциал зависит от ~. Такаязависимость может возникнуть, например, неявно при зависимости потенциалаот внешнего параметра.Доказательство теоремы 2.1Пусть a0 , b0 не зависят от ~ иxl < a < a 0 < c < b 0 < b < x r .Определим две гладкие срезающие функции σl,r (x) так, что справедливы условия:σl (x) ≡ 1, x ≤ b0 ;σl (x) ≡ 0, x ≥ b;σr (x) ≡ 1, x ≥ a0 ;σr (x) ≡ 0, x ≤ a.43Тогда пересечение носителей σl,r вложено в [a, b] и заведомо содержит отрезок[a0 , b0 ], а следовательно, и точку c.

Из определения Vl,r следует, что:σi (x) [V (x) − Vi (x)] ≡ 0, i = l, r,hiσi (x) Ĥ − Ĥi = 0, i = l, r,где в последнем равенстве σi (x) понимается как оператор умножения на функцию.Для начала докажем вспомогательное утверждение.Предложение. Справедливость любого из трех условий теоремы 2.1 влечетналичие квазивырождения, то есть существование Ei в спектре Ĥi , i = l, r,таких, что расстояние между ними экспоненциально мало.Доказательство предложения. Пусть справедливо условие 1 и ψ — билокализованная собственная функция оператора Ĥ, а E — соответствующие собственное значение.

Пусть1ui (x) = √ σi (x)ψ(x), i = l, r.piТогдаZ+∞Zb11|σl ψ|2 dx = Pl (~) + |σl ψ|2 dx = 1 + O(~),kul k2 =plpl−∞cпоскольку pl > 0, так как ψ билокализована, а интеграл по [c, b] экспоненциально мал. Аналогично имеемkur k = 1 + O(~).Покажем, что ui являются квазимодами для операторов Ĥi с экспоненциальной точностью. Меняя порядок операторов дифференцирования и умноженияна функцию σi (x), легко получить выражение для невязки.

Действительно,iσi 1 hĤi − E ui = √Ĥi − E ψ + √Ĥi , σi (x) ψ.pipiПервое слагаемое в правой части равно нулю, так какσi Ĥi − E ψ = σi Ĥ − E ψ = 0,а второе слагаемое имеет вид: 2i~2d~21 h000 dψ.Ĥi , σi (x) ψ = − √, σi (x) ψ = − √σi + 2σi√pi2 pi dx22 pidx44Таким образом,~2Ĥi − E ui = − √2 piσi00+2σi0ddxψ.Поскольку носители функций σi0 (x) и σi00 (x) вложены в отрезок [a, b], гдефункция ψ(x) и ее производная экспоненциально малы, получаем, что ui являются квазимодами для Ĥi .

Применяя лемму 2.1, получаем, что из условия 1теоремы 2.1 следует квазивырождение спектра с экспоненциальной точностью.Пусть справедливо условие 2, существуют экспоненциально расщепленныесобственные значения E1,2 оператора Ĥ, а ψ1,2 — соответствующие собственныефункции. Можно считать, что обе функции ψi не являются билокализованными, иначе было бы справедливо условие 1, из которого следует квазивырождение. Функции ψi не могут быть локализованы в одной яме, поскольку этопротиворечит их ортогональности. Пусть, для определенности, ψ1 локализована в левой яме, а ψ2 — в правой яме. Тогда вместо ψ1,2 и E1,2 будем писать ψl,rи El,r соответственно.Определим функцииui (x) = σi (x)ψi (x), i = l, r.Тогда ui являются квазимодами для Ĥi с экспоненциальной точностью:kui k = 1 + O(~),~2000 dĤi − Ei ui = −σi + 2σiψi .2dxПрименяя лемму 2.1 получаем, что квазивырождение следует также и из условия 2 теоремы 2.1.Для доказательства данного предложения остается рассмотреть случай, когда справедливо условие 3 теоремы 2.1.

Тогда квазивырождение, очевидно, имеет место, поскольку величина δ(~) экспоненциально мала.Предложение полностью доказано.Мы доказали, что справедливость любого из трех условий теоремы влечетналичие квазивырождения. Предположим, что для некоторого λ справедливохотя бы одно из условий данной теоремы. Пусть Ei — собственное значениеоператора Ĥi , а ψi — соответствующая собственная функция, i = l, r. Следовательно, величина |Er − El | экспоненциально мала.45Введем ортонормированные функции:ul (x) = γ1 σl (x)ψl (x),ur (x) = γ2 (σr (x)ψr (x) + γ3 σl (x)ψl (x)) ,hul , ur i = 0,hul , ul i = hur , ur i = 1.Учитывая нормированность ψi (x), i = l, r, получаем, чтоγ1,2 = 1 + O(~).Из условия ортогональности u1 и u2 получаем:Z b0 = hul , ur i = γ1 γ2σl σr ψl ψr dx + γ2 γ3 γ1−1 ,aγ3 = O (δ(~)) .Следовательно, при x ∈ (a, b) справедливы асимптотические формулы:ul (x) = σl (x)ψl (x)[1 + O(~)],ur (x) = σr (x)ψr (x)[1 + O(~)].Покажем, что ui являются квазимодами для оператора Ĥ, вычислив асимптотику невязки:Ĥ − El~2 d2ul = −,σ(x)γψ(x)+σ(x)γĤ−Eψl (x) =l1ll1ll2 dx2Zp1 x0= ~σl (x)Cl |p| exp −|p|dx [1 + O(~)] .~ xlАналогично для ur (x):Ĥ − Er ur =−~σr0 (x)CrZp1 xr|p| exp −|p|dx [1 + O(~)] .~ xПусть"1ε = max Cl exp −~Zb0xl!#Z1 xr|p|dx , Cr exp −|p|dx .~ a0Заметим, что величина ε является экспоненциально малой, а ε2 экспоненциально меньше, чем δ(~):ε2 << δ << ε.46Таким образом, справедлива оценка(Ĥ − Ei )ui = O(ε), i = l, r.Следовательно, ul и ur действительно являются квазимодами для оператора Ĥс экспоненциальной точностью при ~ → 0.Теперь дополнительно предположим, что|Er − El | = O(ε).Тогда можно воспользоваться теоремой 2.10.

Ниже будет показано, что если этопредположение не выполнено, то все три условия теоремы 2.1 не выполняются.Введем обозначения:L(~) = (Er − El )/δ,E = (El + Er )/2.Следовательно, имеет место оценка |E − E | rlkui k = O(ε), i = l, r.(Ĥ − E)ui ≤ (Ĥ − Ei )ui +2Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.10.Вычислим матричные элементы:EDmi,j = Ĥ − E ui , uj , i, j = l, r,ml,l = (El − Er )/2 + O(ε2 ),ml,rmr,r = (Er − El )/2 + O(ε2 ),Z bZ1 xrδ0= ~Cl Crσl (x) exp −|p|dx [1 + O(~)] dx = − [1 + O(~)] .~ xl2b0Получаем−L−1 + O(~)δ + O(ε2 ).m= 2 −1 + O(~)LСобственные значения матрицы m равныµ1,2 = ∓δ√1 + L2 .2Соответствующие собственные вектора (ненормированные) имеют вид: √L + 1 + L2−1, .√21L+ 1+L47Множитель 1 + O(~) опущен для наглядности.

ОпределимEr + El δ √−1 + L2 ,22Er + El δ √+Ẽ2 = E + µ2 =1 + L2 .22Ẽ1 = E + µ1 =По теореме 2.10 для энергии Ẽi можно построить квазимоду ũi , для которой 2Ĥ−Ẽi ũi = O ε /~ .С точностью до нормировки главные члены квазимод ũ1 и ũ2 равны:√v1 = L + 1 + L2 ul + ur ,√v2 = −ul + L + 1 + L2 ur .Таким образом, в O(ε2 /~) окрестности Ẽ1 и Ẽ2 есть по одной точке спектраоператора Ĥ. Расстояние между этими точками можно оценить как∆=√1 + L2 δ [1 + O(~)] + O(ε2 /~) =√1 + L2 δ [1 + O(~)] .Величина O (ε2 /~) может быть отброшена, так как величина ε2 /δ экспоненциально мала.

Малость ε2 /δ обеспечивается выбором точки c.Пусть φi — собственная функция оператора Ĥ, соответствующая точке спектра, близкой к Ẽi с точностью O(ε2 /~). Тогда из теоремы 2.9 следует, что дляфункции φi справедлива асимптотическая формулаφi = vi (x) + O(~∞ ).Следовательно, φ1,2 являются билокализованными, только если существует число λ такое, чтоL(~) = λ + O(~).Тогда величина µ для φ1 имеет вид:µ=а для φ2 :µ=√1 + λ2 − λ,√1 + λ2 + λ.Полученные результаты справедливы в предположении, что выполнено хотя бы одно из условий теоремы и справедливо дополнительное предположение48|Er − El | = O(ε).

Для доказательства эквивалентности всех трех условий покажем, что из условия 3 следует условие 1 и условие 2, и наоборот.Пусть выполнено условие 3, то есть L(~) = λ + O(~). Из полученных формулдля µ и ∆ следует справедливость условий 1 и 2.Пусть выполнено условие 1 с некоторым λ. Поскольку λ однозначно определяется числом µ (напомним, что λ ≥ 0), имеем:|L(~)| =|Er − El |= λ + O(~).δ(~)Следовательно, выполнено условие 3 данной теоремы.Аналогично из условия 2 вытекает условие 3, поскольку при справедливостиусловия 2 величина λ однозначно определяется отношением ∆/δ.Все предыдущее доказательство опиралось на предположение |Er − El | =O(ε).

Характеристики

Список файлов диссертации