Диссертация (1137416), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Предположим, чтоусловие (2.40) выполнено. Тогда в качестве двух одноямных операторов, фигурирующих в теореме 2.1, можно использовать Ĥl и Ĥr .Пусть Ei принадлежат спектру оператора Ĥi , i = l, r, и близки к E. Еслипри этомEl = Er ,(2.42)то из теоремы 2.1 следует, что у оператора Ĥ имеется пара экспоненциальноблизких точек спектра (2.10), соответствующие собственные функции билокализованы (2.9), и имеет место туннельная транспортация (см. раздел 2.4).Простейшим примером несимметричного двуямного потенциала, в которомсразу множество энергетических уровней являются квазивырожденными и выполнено условие возникновения туннельного резонанса (2.42), может служитьдвуямный потенциал, в котором обе финитные потенциальные ямы имеют одинаковый вид, то есть Vl (x) = Vr (x + s) для некоторого постоянного s такого,65Рис. 2.5что потенциальные ямы Vl (x) и Vr (x) не накладываются друг на друга, и справедливо условие (2.41).

Очевидно, что тогда условие (2.42) выполнено для всехотрицательных энергетических уровней, и итоговый двуямный потенциал V (x)будет существенно несимметричным, если несимметричной является потенциальная яма Vl (x).2.6Эффект туннельного захвата состоянияВ данном разделе мы рассматриваем специальный вид двуямного потенциала, который является суммой произвольной “физически заданной” ямы и прямоугольной “пробной” потенциальной ямы. Предположим, что потенциал физической ямы является финитной гладкой функцией, а параметры прямоугольнойпробной ямы, такие как глубина, ширина и положение, являются внешнимиварьируемыми параметрами.

Для определенности будем считать, что пробнаяяма расположена справа от физической ямы (см. рис. 2.5).Отметим, что если заданный физический потенциал не является финитным,но быстро стремится к нулю при удалении от ямы, то его можно приблизить финитной функцией, а влияние отбрасываемых нефинитных частей можно учестьпри помощи теории возмущений.Рассматривается динамика состояния, локализованного в начальный моментвремени в левой потенциальной яме. Если параметры правой ямы выбраныслучайно, то состояние останется все время локализованным в левой яме с экспоненциальной точностью по ~ → 0, но для ряда специальных (резонансных)значений параметров ситуация меняется: состояние туннелирует из физической66ямы в пробную потенциальную яму, затем туннелирует обратно в физическуюяму, и так далее.

Эффект возникновения резонансного туннелирования приспециальной настройке пробной ямы может быть назван туннельным захватомсостояния. Основываясь на результатах разделов 2.1 и 2.4, мы ниже выводимдостаточные аналитические условия появления туннельного захвата (см. формулы (2.43), (2.47)). Более того, по “резонансным” значениям параметров можновосстановить энергию исходного состояния в физической яме.Заметим, что общая задача об определении условий возникновения туннельного захвата представляет интерес с физической точки зрения [45], а для конкретного потенциала эта задача была рассмотрена в работе [23] при помощичисленных методов.Пусть потенциал V (x) является суммой двух отрицательных финитных функций с непересекающимися носителями:V (x) = Vl (x) + Vr (x),Vi (x) ≤ 0,i = l, r.Физическая (левая) потенциальная яма является гладкой функцией такой, чтоVl (x) ≡ 0,при x ≥ a,и для фиксированной энергии E < 0 потенциал Vl (x) можно считать одноямным(см.

рис. 2.5). Пусть пробная потенциальная яма Vr (x) является прямоугольной:0x ≤ b, x ≥ b + w;Vr (x) = − v b < x < b + w.Ширина w пробной потенциальной ямы является варьируемым параметром.Предположим, что начальное состояние Ψ0 локализовано в физической потенциальной яме и имеет энергию, близкую к отрицательному значению E. Дляопределенности, пусть Ψ0 совпадает со стационарным состоянием ψl , котороесоответствует энергии El оператора Шредингера Ĥl с потенциалом Vl (x), то естьΨ0 является стационарным состоянием при выключенном пробном потенциале.Следовательно, “физическое” начальное состояние Ψ0 = ψl полностью определяется физической потенциальной ямой Vl (x) и не зависит от конфигурациипробного потенциала Vr (x).67Вероятности Pl (t) и Pr (t) обнаружить состояние Ψ в левой и правой потенциальной яме в момент времени t могут быть использованы для определениялокализации состояния.

Будем говорить, что имеет место туннельный захват,если вероятность Prmax не стремится к нулю при ~ → 0. Ниже показано, чтоPrmax может быть близка к единице (при ~ → 0) для определенного дискретного множества значений ширины пробной ямы w. Следовательно, если пробнаяяма настроена специальным образом, то происходит полный туннельный захватсостояния.Пусть пробная яма имеет прямоугольную форму, как на рис. 2.5. Тогда условие (2.41) принимает вид:Z pb−a>1 − Vl (x)/E dx.(2.43)Интеграл в (2.43) берется по отрезку [xl , a], где потенциал Vl (x) изменяется отзначения E < 0 до нуля. Предположим, что условие (2.43) справедливо, то естьпробная яма расположена достаточно далеко от физической ямы.Отрицательные энергетические уровни E = Er в прямоугольной потенциальной яме удовлетворяют следующему уравнению:!√v + 2Ew v+Ep= π(k + 1/2) − arctan,~2 (−E)(v + E)(k)где k ≥ 0 — номер энергетического уровня E = Er(2.44)такого, что −v < E < 0.Следовательно, расстояние между соседними энергетическими уровнями спектра оператора Ĥr имеет порядок ~2 вблизи дна потенциальной ямы и порядок~ для высоких энергетических уровней при k ∼ 1/~.Используя точную формулу (2.44), можно найти асимптотическую формулу(k)для энергетического уровня Er :224(k)2 π (k + 1)1− √ ~+Er = −v + ~2ww v12 2 2(48 + (k + 1)2 π 2 ) 3~ −~ + .

. . , (2.45)w2 v3v 3/2 w3где k ≥ 0 — фиксированный (не зависящий от ~) номер энергетического уровня.Подставляя ВКБ приближение для ψl (2.3) и точную формулу для ψr вформулу (2.6), получаемr1/4δ(~) = 2~(−E)Z2(v + E)ωl1 xrexp −|p|dx [1 + O(~)] ,πvw~ xl(2.46)68где ωl — классическая частота колебаний в физической потенциальной яме Vl (x)для энергии E.Пусть ширина пробной прямоугольной ямы w настроена так, что энергетический уровень El начального состояния Ψ0 совпадает с энергетическим уровнем(k)Erпробной ямы:El = Er(k) w=w∗ .kУчитывая уравнение (2.44), получаем"π~1 1k + − arctanwk∗ = √2 πv + Elv + 2Elp2 (−El )(v + El )!#.(2.47)Теорема 2.5.

Пусть выполнено условие (2.43) и ширина пробной потенциальной ямы w совпадает с одним из резонансных значений wk∗ (2.47). Тогдасостояние Ψ0 , локализованное в начальный момент в физической яме, совершает туннельные переходы между ямами, и максимальная вероятность обнаружить состояние в пробной яме близка к 1 при ~ → 0.Доказательство данной теоремы следует непосредственно из теоремы 2.1 ирезультатов раздела 2.4. Заметим, что теорема 2.1 применима в случае заданного кусочно-гладкого потенциала Vr (x), поскольку потенциал является гладкимв области барьера (в окрестности точки c), а соседние энергетические уровниоператора Ĥr находятся на степенном по ~ расстоянии друг от друга при ~ → 0.Таким образом, мы получили серию значений w = wk∗ таких, что фиксированный энергетический уровень El физической ямы пересекается с различны(k)ми энергетическими уровнями Erиз пробной потенциальной ямы.

Для этихзначений ширины пробной ямы w максимальная вероятность обнаружить состояние в пробной яме Prmax приближается к 1 (см. рис. 2.6). Следовательно,если пробная яма настроена специальным образом, а именно, если ее ширинасовпадает с wk∗ при некотором k, то пробная яма «захватывает» состояние сэнергией El из исходной ямы.Замечание. Аналогично, в качестве варьируемого параметра можно рассмотреть глубину v пробной ямы и сформулировать соответствующую теорему.Следовательно, существует серия резонансных значений v = vk∗ таких, чтофиксированный энергетический уровень El совпадает с одним из энергетиче(k)ских уровней Erпробной ямы.

Тогда, в отличие от точного равенства для69Рис. 2.6резонансных значений ширины (2.47), используя уравнение (2.44), можно найти только приближенную формулу для vk∗ :vk∗2π= −El + ~2(k + 1)2w21−4√~−w −El12 2 4(24 − (k + 1)2 π 2 ) 3~ −~ + . . . , (2.48)w2 El3w3 (−El )3/2где k ≥ 0 — фиксированное целое число.Рассмотрим изменение величины Prmax , когда ширина пробной ямы w близкак резонансному значению wk∗ (см. рис.

2.6). Используя формулу (2.39), получаем, что состояние Ψ существенно проявляет себя в пробной яме, только если|Er − El | = O(δ). Следовательно, ширина резонансных пиков (см. рис. 2.6) экспоненциально мала и имеет порядок δ(~) при ~ → 0.Таким образом, для рассматриваемого двуямного потенциала (рис. 2.5) получены явные формулы для резонансных значений внешнего параметра (2.47)и формула для ширины соответствующих резонансных пиков.

Данные результаты можно использовать для определения значения энергии начального состояния, локализованного в физической (левой на рис. 2.5) потенциальной яме.Для этого необходимо увеличивать ширину w пробной (правой) ямы, начинаяс такого маленького значения, когда в пробной яме еще отсутствуют связанныесостояния. Таким образом, можно найти значение первого туннельного резонанса (первого резонансного пика на рис.

2.6) и определить соответствующее70значение энергии из формулы (2.45). Дальнейшее увеличение ширины пробнойямы приведет сначала к исчезновению эффекта захвата, а затем опять к егопоявлению при следующем резонансном значении ширины.Эффект туннельного захвата состояния, локализованного в начальный момент только в одной яме, при специальной настройке внешнего параметра носитобщий характер. Например, аналогичный эффект возникает, если изменять неширину, а глубину пробной ямы, или если рассматривать пробные ямы другойконфигурации, меняя их параметры. Данный эффект связан с квазипересечением (отталкиванием) энергетических уровней в двуямном одномерном потенциале и возникает в общем случае двуямного потенциала, зависящего от внешнегопараметра.2.7Туннельное возмущение спектраВ данном разделе рассматривается задача построения асимптотики возмущения дискретного спектра оператора Шредингера с одноямным потенциаломV (x) при добавлении к нему возмущающего потенциала, который полностьюсосредоточен вне области движения классической частицы.

Рассмотрение ведется в окрестности определенной энергии и предполагается, что при добавлении возмущения потенциал остается одноямным. Очевидно, что возмущениеспектра окажется экспоненциально малым при ~ → 0 даже для возмущающего потенциала порядка единицы. Основная цель состоит в получении главногочлена асимптотики.Пусть задан исходный одноямный потенциал V (x) и соответствующий емуоператор Ĥ0 . Пусть E0 — собственное значение оператора Ĥ0 , а ψ0 — соответствующая волновая функция. Пусть (x1 , x2 ) — область классического движения,то есть V (x) < E0 при x ∈ (x1 , x2 ). Добавим к исходному оператору возмущение,имеющее вид непрерывной функции f (x):Ĥ = Ĥ0 + f (x),локализованной полностью в классически запрещенной области.

Характеристики

Список файлов диссертации