Диссертация (1137416), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Спектр оператора Шредингерарассматривается вблизи некоторой фиксированной энергии E, для которой потенциал V (x) можно считать двуямным. В разделе 2.1 построен критерий двойной локализации собственных функций в случае несимметричного потенциалаи получена асимптотическая формула для величины туннельного расщеплениясоответствующего энергетического уровня. Аналогичный результат для случаяэнергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, представлен в разделе 2.2, а в разделе 2.3 проведено сравнение полученных формул для высокихи низких энергетических уровней.Билокализованные стационарные состояния в двуямном потенциале представляют большой интерес, поскольку они приводят к возникновению туннельных переходов (туннельной транспортации) состояний, локализованных тольков одной яме в начальный момент времени.
Детальное описание динамики состояния в двойной яме при туннельном резонансе дано в разделе 2.4, а в разделе 2.5приведен ряд простых примеров.В разделе 2.6 рассмотрена задача о возникновении эффекта туннельногозахвата и туннельной транспортации состояния из заданной финитной потенциальной ямы в пробную прямоугольную потенциальную яму. В этом случае36получены аналитические формулы для значений параметров пробной ямы прикоторых возникает туннельный резонанс.Задача о влиянии деформации потенциала в классически запрещенных областях на спектр оператора Шредингера рассмотрена в разделах 2.7 и 2.8.
Вразделе 2.7 доказана асимптотическая формула для величины туннельного возмущения энергий, а в разделе 2.8 показано, как данный результат может бытьприменен для анализа деформаций потенциального барьера двуямного потенциала в задаче “блоха на слоне”.В заключительном разделе данной главы (раздел 2.9) для удобства ссылокпредставлен ряд теорем из теории возмущений дискретного спектра самосопряженных операторов.2.1Критерий билокализации волновых функцийВ этом разделе представлен критерий двойной локализации волновых функций в двуямном потенциале.Рассмотрим спектр оператора Ĥ в O(~2 )-окрестности фиксированного значения энергии E. Предположим, что энергия E больше, чем минимумы двуямного потенциала и меньше, чем вершина потенциального барьера (см.
рис. 2.1).Уравнение V (x) = E имеет 4 простых корня — точки поворота, и V (x) > E + eпри достаточно больших x и некотором e > 0. Пусть потенциальный барьернаходится между точками поворота xl и xr , то есть V (x) > E при xl < x < xr .Определим точку c из равенстваZ cZ|p(x)|dx =|p(x)|dx,(2.1)cxlгде p(x) =xrp2(E − V (x)) — классический импульс частицы в потенциальномполе V (x). Точка c является центром потенциального барьера с точки зренияинстантонного действия. Пусть точки a и b выбраны так, чтоxl < a < c < b < x r .(2.2)Введем два гладких потенциала Vl (x) и Vr (x) (см.
рис. 2.1), удовлетворяющих следующим двум условиям:1. Потенциал Vl (x) ≡ V (x) при x ≤ b, а Vr (x) ≡ V (x) при x ≥ a.37Рис. 2.12. Потенциал Vl (x) > E + e при x ≥ b, а Vr (x) > E + e при x ≤ a, длянекоторого e > 0.Определим соответствующие операторы Шредингера с потенциалами Vl (x)и Vr (x):~2 d2Ĥi = −+ Vi (x), i = l, r.2 dx2Потенциалы Vl (x) и Vr (x) являются одноямными для энергии E, посколькуклассическая область движения частицы в потенциале Vi (x), i = l, r, представляет собой один интервал. Следовательно, для спектров операторов Ĥi справедливы хорошо известные результаты квазиклассического анализа (см.
[29, 46]),перечисленные ниже.I Вблизи энергии E спектр Ĥi является дискретным и невырожденным.Расстояние между соседними точками спектра имеет порядок ~.II Пусть Ei принадлежит спектру оператора Ĥi , i = l, r, и близка к E с точностью O(~2 ), а ψi – соответствующая нормированная собственная функция.Тогда справедливы, равномерно по x ∈ [a, b], асимптотические формулы:ZCl1 xψl (x) = p exp −|p|dx [1 + O(~)] ,~ xl|p|(2.3)ZCr1 xrψr (x) = p exp −|p|dx [1 + O(~)] ,~ x|p|и эту асимптотику можно дифференцировать.38III Вещественные нормировочные константы Cl,r имеют вид:rωiCi =, i = l, r,2π(2.4)где ωi – классическая частота колебаний в потенциальной яме Vi (x) дляэнергии E.Операторы Ĥl,r , фактически, описывают левую и правую потенциальнуюяму исходного оператора Ĥ в отдельности. Несложно показать (см. доказательство теоремы 2.1), что спектр оператора Ĥ вблизи E может быть получен сэкспоненциальной точностью при объединении спектров операторов Ĥi , i = l, r.При таком объединении может возникнуть эффект квазивырождения энергетического уровня, когда энергия El оказывается экспоненциально близка к энергии Er .
Если квазивырождения не происходит, то в качестве приближеннойсобственной функции оператора Ĥ можно взять функцию ψl или ψr (см. теорему 2.9). С другой стороны, в случае квазивырождения энергетических уровнейв спектре оператора Ĥ присутствует пара экспоненциально близких точек спектра, а собственные функции приближенно имеют вид линейных комбинаций ψlи ψr (см. теорему 2.10).Пусть ψ — собственная функция оператора Ĥ.
Вероятности Pl,r (~) обнаружить частицу в левой и правой потенциальной яме могут быть определены какинтегралы от квадрата модуля ψ(x) при x < c для левой ямы и при x > c дляправой ямы. Из условия нормированности волновых функций получаем:Pl (~) + Pr (~) = 1.Следовательно, в качестве величины, которая показывает, где сосредоточенаволновая функция, можно взять, например, отношение вероятностей Pr (~)/Pl (~).Будем говорить, что волновая функция ψ билокализована, если существуетчисло µ > 0 такое, чтоPr (~)= µ2 + O(~).Pl (~)Тогда обе вероятности Pl (~) и Pr (~) обнаружить частицу как в левой, так и вправой потенциальной яме существенно отличны от нуля и для них справедли-39вы асимптотические формулы:1+ O(~),1 + µ2µ2+ O(~).Pr (~) = pr + O(~) =1 + µ2Pl (~) = pl + O(~) =(2.5)От значения величины µ во многом зависит динамика частицы в двуямномпотенциале, как будет показано ниже в разделе 2.4.
В случае двойной локализации волновых функций для некоторой энергии, говорят, что имеет месторезонансное туннелирование.Определим величину δ(~):2δ(~) = ~dψrdψlψl− ψrdxdx,(2.6)x=cИз (2.4) следует, чтоZ1 xrδ(~) = 2~Cl Cr exp −|p|dx [1 + O(~)].~ xl(2.7)Величина δ(~) является характерным масштабом экспоненциальной малостидля туннельных эффектов в двуямном потенциале. Учитывая формулы (2.4),для высоких энергетических уровней, получаем:Z√ωl ωr1 xrδ(~) = ~exp −|p|dx [1 + O(~)].π~ xl(2.8)Следующая теорема является критерием резонансного туннелирования иустанавливает связь между расщеплением энергетических уровней ∆, двойнойлокализацией волновых функций и расстоянием между El и Er .Теорема 2.1 (Критерий резонансного туннелирования).Для фиксированного неотрицательного числа λ следующие три условия эквивалентны:1.
Вблизи энергии E у оператора Ĥ существует билокализованная собственная функция, для которойµ=√1 + λ2 ± λ.(2.9)2. Вблизи энергии E в спектре оператора Ĥ существует пара экспоненциально близких точек, расстояние между которыми задается асимптотической формулой∆=√1 + λ2 δ(~) [1 + O(~)] .(2.10)403. Вблизи энергии E в спектре оператора Ĥi существует точка Ei (i = l, r)такая, что верна асимптотическая формула|Er − El | = δ(~) [λ + O(~)] .(2.11)Перед доказательством теоремы приведем ряд замечаний.В работе [81] (см.
также [80, 82]), при слегка отличающемся от нашего определении одноямных энергий El,r и состояний ψl,r (см. обзор в разделе 1.2), дляпары нижних энергетических уровней было доказано, что из условия 3 даннойтеоремы следует условие 2, а для величины δ(~) была получена асимптотическая оценкаZ1 xrδ(~) = A(~) exp −|p|dx ,~ xlно без явного построения асимптотики величины амплитуды A.Теорема 2.1 обобщает результаты, полученные в работе [81], на случай высоких энергетических уровней.
Кроме того, теорема 2.1 демонстрирует, что справедливо обратное утверждение (из условия 2 следует условие 3), и наконец,теорема 2.1 устанавливает существенную связь величины расщепления и двойной локализации волновых функций, которая ранее не была отмечена.Данная теорема обобщает результаты, известные для случая симметричного потенциала (см. обзор в разделе 1.2).
Очевидно, что в случае симметриипотенциала выполнены все три условия теоремы при λ = 0. В этом случаеиз (2.8), (2.10) конечно, получается асимптотическая формула Ландау-Лифшица (1.12):Zω~1 xr∆=exp −|p|dx [1 + O(~)] .π~ xlВ общем случае число λ, как и µ, количественно характеризует двойнуюлокализацию волновых функций стационарных состояний. Заметим, что числоλ однозначно выражается через µ, поскольку в формуле (2.9) знак “+” или “−”берется, если µ > 1 или µ < 1 соответственно.Следствие 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
