Диссертация (1137416), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Строго говоря, эти формулы были получены для различных асимптотических режимов,но существенный интерес представляет вопрос о применимости формулы (2.24)в случае высоких энергетических уровней, и наоборот, вопрос о применимостиформулы (2.8) в случае нижних энергетических уровней.Данный вопрос был рассмотрен в работах [1, 63, 71] для случая симметричного двуямного потенциала.
Было показано, что если применить формулу (2.8) для вычисления расщепления пары нижних энергетических уровней(n = m = 0), то полученный результат будет отличаться от правильной асимптотики (2.24). А именно, действительная величина расщепления нижних энерpгетических уровней будет в π/e ≈ 1.08 раз больше, чем значение, вычисленное по формуле (2.8). В данном разделе мы покажем, что аналогичная ситуациявозникает и для несимметричного двуямного потенциала, и конечных n и m, атакже исследуем вопрос о применимости формулы (2.24) для описания расщепления высоких энергетических уровней.Заметим, что интеграл в показателе экспоненты в формуле (2.8) вычислен пообласти потенциального барьера между двумя точками поворота xl,r = xl,r (E):58Zxrp2(V (x) − E)dx,(2.35)xlа интеграл в формуле (2.8) имеет вид:Z ξr p2V (x)dx,(2.36)ξlто есть вычислен по всей области потенциального барьеру между двумя минимумами потенциала V (x), в независимости от энергии E.
Очевидно, что приE = O(~) интеграл (2.36) является главным членом асимптотического разложения интеграла (2.35) при ~ → 0.Для удобства сравнения формул (2.8) и (2.24), преобразуем интеграл (2.36)из формулы (2.24) к виду (2.35).Предложение. Пусть выполнены условия леммы 2.3. Тогда√ωl ωrδ(~) = ~πrπpg(n)g(m) ×eZ1 xr pexp −2(V (x) − E)dx [1 + O(~1/2 )], (2.37)~ xlгде g(n) имеет вид:√ n+1/221e−n .n+g(n) =n!2Доказательство.
Справедлива следующая оценка [1]:Z cpZ cZ cpdx1 Ep2V (x)dx −2(V (x) − E)dx = E+ ln 2 −+ O(~3/2 ).2ω2V(x)lxlxlxlИз формулы (2.17) и того, что V (xl ) = E, следуют оценки:√2Exl − ξl =+ O(~),ωlZ xl pE2V (x)dx =+ O(~3/2 ).ωlξlТак какZxlωl1p−2V (x) x − ξlξl!√dx = O( ~),получаемZcExldxEp=ωl2V (x)Zcξlωl1p−2V (x) x − ξl!dx +Ec − ξlln+ O(~3/2 ).ωl xl − ξl59Рис. 2.3Используя формулу (2.26), получаемn+1/2Jln+ 412= ωl(expE~ωlZcξlnωl2+ 14!)1Ep−dx +ln(c − ξl ) =~ωl2V (x) x − ξl( Z√ )c√EdxE2Epexp+ln[1 + O( ~)].~ xl 2V (x) ~ωlωlωlПоскольку E = ~ωl (n + 1/2) + O(~2 ), получаем√2En 1E~(1 + 2n)+ln=ln+ O(~),~ωlωl2 4ωl( Z)c√n1Edxn+1/2pJl= (~(1 + 2n)) 2 + 4 exp[1 + O( ~)].~ xl 2V (x)Следовательно, справедлива оценкаn+1/2JlZ1 cpexp −2V (x)dx =~ ξln+1Z√~(n + 1/2) 2 41 cpexp −2(V (x) − E)dx [1 + O( ~)].2e~ xlУчитывая полученную оценку и формулу (2.24), получаем (2.37).Поскольку g(0) = 1 (см.
рис. 2.3), получаем, что в случае несимметричнойямы, также как и в симметричном случае (см. [1, 50, 57, 71]), в амплитуде величины δ(~) для пары нижних энергетических уровней (m = n = 0) возникает60дополнительный множительpπ/e по сравнению с формулой (2.8) для высокихэнергетических уровней.Применяя формулу Стирлинга:n! ∼ n n√2πn, при n → ∞,eполучаем, чтоrg(n) →e, при n → ∞.πСледовательно, формула (2.37) при n и m порядка 1/~ принимает вид:Z√ωl ωr1 xr pδ(~) = ~exp −2(V (x) − E)dx [1 + O(~1/2 )],π~ xlто есть полностью совпадает с формулой (2.8).Таким образом, формула (2.37) применима как в случае высоких энергетических уровней (при n и m ∼ 1/~), так и для нижних уровней с E = O(~)(конечные n и m).2.4Динамика частицы в случае резонансного туннелированияРассмотрим динамику частицы в двуямном потенциале V (x) для энергии E,близкой к паре квазивырожденных энергетических уровней E1 и E2 оператораШредингера Ĥ. Пусть справедливы условия теоремы 2.1, два энергетическихуровня E1,2 находятся экспоненциально близко друг к другу, а соответствующиесобственные функции ψ1,2 билокализованы.Поскольку состояния ψ1,2 билокализованы, они имеют вид (2.13):ψ1 ' cos(α)ψl + sin(α)ψr ,ψ2 ' − sin(α)ψl + cos(α)ψr ,где ψl,r — квазимоды, сосредоточенные только в левой или правой потенциальной яме соответственно.Рассмотрим задачу Коши с начальным состоянием Ψ0 :∂Ψ i~= ĤΨ,∂t Ψ = Ψ .0t=0(2.38)61Предположим, что начальное состояние Ψ0 локализовано только в левой яме иимеет энергию, близкую к E.
Тогда можно считать, что Ψ0 = ψl с некоторойточностью при ~ → 0. Заметим, что в данной задаче точность приближенияне играет существенного значения, поскольку малые изменения начального состояния Ψ0 приводят к малым изменениям решения Ψ для любого значениявремени t. Ограничимся рассмотрением главных членов асимптотического разложения решения Ψ(x, t) при ~ → 0.Таким образом, решение задачи Коши (2.38) имеет вид:Ψ = ψ1 etE1i~cos α + ψ2 etE2i~sin α.Подставляя выражение для ψ1 и ψ2 (2.13), получаем: tE1 tE2tE2tE122i~i~i~i~ψr .Ψ = e cos α + e sin α ψl + cos α sin α e − eПолная туннельная транспортация состояния означает, что существует момент времени t = T такой, что решение Ψ(x, t) сосредоточено в иной яме, чемяма, в которой сосредоточено начальное условие Ψ0 (x). Таким образом, полнаятуннельная транспортация состояния имеет место, если коэффициент перед ψlобращается в 0.
Следовательно, справедливо равенство:E2 − E12tg α = − exp it.~Учитывая, что α ∈ (0, π/2), получаем, что решение этого уравнения существуеттолько при α = π/4. Следовательно, полная туннельная транспортация происходит, только когда волновые функции стационарных состояний ψ1,2 равномерно распределены между левой и правой потенциальной ямой, то есть приpl = pr = 1/2, λ = 0 или µ = 1. При положительных значениях µ 6= 1 возникаеттолько частичная транспортация.Видно, что транспортация – периодический процесс, T – полупериод транспортации – время, за которое происходит перенос частицы в другую потенциальную яму.
Величина T экспоненциально велика и имеет вид:T =π~.E2 − E1В случае произвольного α 6= π/4, вероятности Pl,r (t) обнаружить состояниеΨ в левой и правой яме имеют вид:4422Pl (t) = cos α + sin α + 2 cos α sin α cosE2 − E1t ,~62E2 − E1Pr (t) = 2 cos α sin α 1 − cost.~22Следовательно, максимальная вероятность обнаружить состояние Ψ в правойяме имеет вид:Prmax = max Pr (t) = 4 cos2 α sin2 α.tУчитывая формулы (2.14) и (2.10), получаем, что 2δ2δmax= 2.=Pr2δ + (Er − El )∆(2.39)Таким образом, состояние Ψ существенно проявит себя в правой яме, толькоесли |Er − El | = O(δ), иначе Prmax → 0 при ~ → 0.Заметим, что если величина расщепления ∆ = E2 − E1 в два раза большеминимального значения δ(~), то туннелирование состояния Ψ происходит в двараза быстрее (см.
формулу для T ), чем при ∆ ≈ δ, но при этом только четвертьсостояния Ψ совершает туннельные переходы между ямами, то есть Prmax = 1/4.2.5Примеры резонансного туннелирования в несимметричном потенциалеВ данном разделе рассмотрены два простых примера возникновения резонансного туннелирования и туннельной транспортации в несимметричных двуямных потенциалах. Рассмотрен случай двуямного потенциала, являющегосяполиномом четвертого порядка, и случай двуямного потенциала, являющегосясуммой двух финитных потенциальных ям.Полином четвертого порядкаКлассическим примером двуямного потенциала является полином четвертого порядка [44,76]. Заметим, что в этом случае возможно исследование точногорешения при помощи специальных функций (см. в [44]).Рассмотрим оператор Ĥ с потенциалом V (x):V (x, s) = (x − 1)2 (x + 1)2 + sx,где s — параметр, характеризующий асимметрию.
Будем исследовать спектрĤ вблизи фиксированной энергии E, где 0 < E < 1. Параметр s меняется63в пределах |s| < s0 , где s0 = s0 (E) выбрано так, что уравнение V (x, s0 ) =E имеет 4 простых корня. Таким образом, рассматривается случай высокихэнергетических уровней.Как и ранее в разделе 2.1, введем операторы Ĥl и Ĥr , константы c = c(s)(n)и δ = δ(s, ~). Пусть Ei— точки спектра оператора Ĥi , i = l, r.
Квантовые(n)числа n = n(~) выбираются так, что Ei(n)лом ~ энергетические уровни Eiблизки к E. При фиксированном ма-и соответствующие им собственные функциинепрерывно зависят от s.При s = 0 оператор Ĥl отличается от Ĥr заменой x на −x. Следовательно,(n)El(n)= Er . Из теоремы 2.1 следует билокализация собственных функций.
При(n)увеличении s энергетический уровень El(n)будет убывать, а Er— возрастатьс точностью O(~2 ). Это следует из того, что они приближенно удовлетворяют правилу дискретизации Планка-Бора-Зоммерфелда (1.3). Из непрерывнойзависимости от s следует существование s1 такого, что(n+1)El= Er(n) , s = s1 .При s = s1 собственные функции оператора Ĥ, отвечающие собственнымзначениям с номерами 2n и 2n + 1, билокализованы, и имеет место транспортация.
Данный пример можно рассмотреть и для случая низких энергий.Две финитные потенциальные ямыРассмотрим двуямный потенциал V (x), являющейся суммой двух финитныхпотенциальных ям Vl (x) и Vr (x) без пересечения носителей (см. рис. 2.4). Пустьпотенциалы Vl (x) и Vr (x) — отрицательные гладкие финитные функции такие,чтоVl (x) ≡ 0,при x ≥ a,Vr (x) ≡ 0,при x ≤ b,a < b,и Vi (x) являются одноямными для отрицательных энергий, близких к E.Определим соответствующие операторы:~ 2 d2+ Vi (x), i = l, r,2 dx2~2 d2Ĥ = −+ Vl (x) + Vr (x).2 dx2Ĥi = −64Рис.
2.4Из результатов раздела 2.1 следует, что потенциалы Vl (x) и Vr (x) могут бытьиспользованы для описания туннелирования, если центр потенциального барьера (точка c) лежит между их носителями:a < c < b.(2.40)Условие (2.40) можно переписать в эквивалентном виде:√|Sr − Sl | < (b − a) −E,(2.41)где Sl,r — туннельное действие по левой и правой стороне барьера (см. рис. 2.4):Z apZ xr pSl =Vl (x) − Edx, Sr =Vr (x) − Edx.xlbСледовательно, условие (2.40) заведомо выполнено, если финитные потенциальные ямы расположены достаточно далеко друг от друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
