Диссертация (1137416), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Показатель экс-25поненты (логарифмический предел) был найден в работах [33, 106], а итоговаяформула для расщепления, включающая амплитуду, была получена в [25], см.также [24, 32, 50, 57, 80].Несимметричный потенциалРассмотрим случай несимметричного потенциала. Такие потенциалы представляют интерес с физической точки зрения (см. в [20,54,69,103]). В несимметричном случае задача существенно усложняется. Однако, примеры численногосчета по-прежнему демонстрируют возможность появления двойной локализации собственных функций и малого расщепления соответствующих энергетических уровней [44, 60, 99, 103].Из качественного анализа, проведенного в работе [91], и общих методов квазиклассического приближения (см. раздел 1.1) следует, что спектр оператораĤ с двуямным потенциалом с некоторой точностью состоит из точек El и Er ,соответствующих спектрам операторов Шредингера в левой и правой потенциальной яме в отдельности.
Пусть ψl,r — приближенные решения уравнения (1.1)(квазимоды), локализованные в левой и правой потенциальной яме соответственно. В качестве первого приближения для “одноямных” энергий El,r и волновых функций ψl,r можно использовать соответствующие спектральные серии,полученные методом ВКБ (см. раздел 1.1).Если квазивырождения энергетических уровней не происходит, то квазимоды ψl и ψr являются хорошими приближениями для волновых функций стационарных состояний. С другой стороны, при квазивырождении в спектре оператора Ĥ присутствует пара близких точек E1,2 , а соответствующие волновыефункции приближенно имеют вид линейных комбинаций состояний ψl,r :ψ1 ' c1l ψl + c1r ψr ,ψ2 ' c2l ψl + c2r ψr .Основной задачей при квазивырождении в случае несимметричного потенциалаявляется определение констант cji в разложении стационарных состояний ψl,r ивеличины расщепления соответствующих энергетических уровней ∆ = E2 − E1 .Заметим, что формулы (1.6)–(1.10) существенно опираются на симметриюпотенциала и не применимы в несимметричном случае.
Другой метод, при по-26мощи которого можно найти величину расщепления и определить вид волновыхфункций в случае квазивырождения для оператора Шредингера Ĥ с двуямнымпотенциалом, основан на рассмотрении сужения оператора Ĥ на подпространство, образованное двумя векторами ψl и ψr , и последующей диагонализации Ĥ.Этот метод, называемый “двухуровневая аппроксимация”, широко используетсяв задачах квантовой механики (см. в [20, 51, 80]). В данном методе производится вычисление матричных элементов hĤψi , ψj i для i, j = l, r; искомая величина расщепления ∆ находится как расстояние между собственными значениямиданной матрицы, а собственные векторы данной матрицы дают приближениедля коэффициентов cji линейного разложения собственных векторов ψ1,2 оператора Ĥ по системе ψl,r .Поскольку подпространство, на которое происходит сужение, не являетсяинвариантным для оператора Ĥ, то данный метод дает лишь приближенныйрезультат, точность которого сильно зависит от того, насколько близко данноеподпространство к инвариантному, то есть зависит от выбора ψl и ψr .
Общеематематическое обоснование данного метода опирается на некоторые специальные теоремы из теории возмущений линейных самосопряженных операторов,которые были представлены в работах [35, 81] (см. также [36, 80]). Эти результаты изложены ниже в разделе 2.9 вместе с другими полезными теоремами изтеории линейных операторов.Отметим, что различные вариации метода двухуровневой аппроксимацииприменялись к вычислению туннельного расщепления энергий в несимметричном случае в работах Хелффера–Шестранда [80–83], Панкратовой [36] и Сонга [108].(1)(2)Важно подчеркнуть, что приближенные волновые функции ψn и ψm , построенные методом ВКБ, не являются достаточно точными для примененияметода двухуровневой аппроксимации, так как дают лишь степенную точностьпо малому параметру ~, а при этом известно, что расщепление энергий можетбыть экспоненциально малым.В работах Хелффера–Шестранда [80–82] было предложено в качестве ψl , Elвыбирать решение задачи Штурма–Лиувилля в окрестности Ωl левой ямы, которая не пересекается с правой ямой, с условиями Дирихле на границе области27Ωl .
Волновая функция ψr и энергия Er выбираются аналогично. Показано, чтопри таком выборе можно получить достаточно точные выражения для энергий исходного уравнения в терминах решения задачи Дирихле для отдельныхям, если рассматривать достаточно большие окрестности Ωi . Эти окрестностидолжны пересекаться и содержать точку x = c — центр потенциального барьера с точки зрения метрики Агмона (действия по инстантону) [80, 81]. Основополагающая роль этой метрики при оценке туннельных эффектов изучалась вработах [33, 49, 104, 106] и в серии работ [80–83].В диссертационной работе будет показано (см.
разделы 2.7 и 2.8), что такойвыбор областей Ωi является не только достаточным, но и необходимым условиемприменимости метода двухуровневой аппроксимации. В частности, как показано в разделе 2.8, выбор функций ψl,r , использованный в работе Сонга [108],приводит к неверному результату, поскольку области Ωi в работе [108] быливыбраны непересекающимися. Доказанный нами факт необходимости условий,накладываемых на области Ωi , обнаруживает также неточность, имеющуюся вработе Панкратовой [36], где для определения центра несимметричного барьерабыло использовано обычное расстояние на прямой, а не метрика Агмона.Этим методом, при правильном выборе областей Ωi , в работе [81] была получена асимптотика расщепления пары нижних энергетических уровней в случаемногомерного несимметричного потенциала с двумя совпадающими невырожденными минимумами (без явного выражения для амплитуды) в терминах энергий отдельных ям El и Er .
А именно, было показано (см. [80,81]), что туннельноерасщепление имеет вид:∆'p(Er − El )2 + δ 2 ,(1.13)где δ определяется по формуле, близкой к формуле Херринга (1.7):δ = ~2 (ψl ψr0 − ψr ψl0 ) x=c .(1.14)Формула (1.13) получена в предположении, что имеет место квазивырождениеи Er − El = O(δ).В симметричном случае уровни из разных ям совпадают, то есть El = Er ,тогда формулы для расщепления (1.13)–(1.14), очевидно, переходит в формулуХерринга (1.7).28Кроме структуры спектра, для различных приложений существенную рольиграет вид волновых функций стационарных состояний (см., например, [20,23, 45, 54, 60]).
Задача состоит в определении разложения собственных функций оператора Ĥ по функциям ψl и ψr в случае квазивырождения. Посколькусобственные функции определены с точностью до нормирующего множителяи ортогональны, то достаточно знать асимптотику вероятностей Pl (~) и Pr (~)обнаружить частицу в левой и правой яме для одной из пары собственныхфункций. Будем говорить, что волновая функция билокализована, если обе вероятности Pi (~) существенно отличны от нуля при достаточно малых ~, то естьPi (~) = pi + O(~) и pi > 0.Эффект билокализации собственных функций тесно связан с величиной туннельного расщепления энергий. В работе [104] (см. также [106]) для двух нижних энергетических уровней в многомерном потенциале доказано, что если обевероятности Pl,r (~) имеют положительный нижний предел при ~ → 0, то длявеличины расщепления справедлива оценка сверху ∆ = O e−S/~ , где S — туннельное действие по инстантону между минимумами потенциала.
Условие существования положительных нижних пределов для вероятностей Pl,r (~) можносчитать слабым условием двойной локализации стационарных состояний. Таким образом, в работах [104, 106] показано, что из билокализации волновыхфункций основного состояния следует туннельное расщепления соответствующего энергетического уровня.После глубоких результатов полученных в работах [80–82, 104, 106], тем неменее, открытым остается ряд важных вопросов, в том числе вопрос о главном члене асимптотического разложения величины расщепления ∆ и вопросо предельных значениях вероятностей Pl (~) и Pl (~) при ~ → 0 для пары квазивырожденных состояний в несимметричном потенциале в случае нижних ивысоких энергетических уровней, которые, в частности исследуются в даннойдиссертации.Важные примеры несимметричного двуямного потенциала могут быть получены при различных деформациях или возмущениях симметричного потенциала. В работе [93] рассматривалась задача о деформации одной стороны потенциального барьера симметричного двуямного потенциала для пары нижних29энергетических уровней.
Было показано, что подобная деформация приводит кразрушению двойной локализации собственных функций, а для величины расщепления справедлива оценка2S + o(1)∆ = exp −,~(1.15)где S — действие по инстантону между точкой поворота и областью деформации. Многомерное обобщение данного результата дано в работе [107]. Разрушение резонансного туннелирования при деформации небольшого участка однойстороны потенциального барьера называют эффектом “блоха на слоне”.Оценка (1.15) позволяет вычислить показатель экспоненты для величинысмещения энергетических уровней ∆, но открытой остается задача о построении главного члена асимптотического разложения (с учетом амплитуды) величины ∆ для различных деформаций потенциала.
Данная задача подробнорассмотрена в разделах 2.7–2.8 диссертационной работы.1.3Динамическое туннелирование на окружностиРассмотрим задачу о динамическом туннелировании частицы на окружности. Предполагается, что действительный потенциал V (x) является периодической функцией с периодом 2π, аналогичное условие периодичности накладывается и на волновые функции стационарных состояний ψ(x). Рассмотримслучай, когда энергия частицы выше максимума потенциала V (x), — так называемый роторный режим. Тогда классическая частица вращается (пробегаетвсю окружность) в одном из двух возможных направлений.
В квантовой механике оказывается возможным существование пар состояний, в каждом изкоторых частица вращается одновременно в двух направлениях, и возникаеттуннельное расщепление уровня энергии, отвечающего данной паре.Известно, что вычисление туннельного расщепления дискретного спектрачастицы на окружности эквивалентно задаче о вычислении ширины лакун —промежутков между зонами в блоховском спектре оператора Шредингера напрямой с периодическим потенциалом (см., например, [30,55,66,97]). Общее описание структуры спектра частицы на окружности приведено, например, в [64],а также в разделе 3.2 настоящей диссертации.30Дискретный спектр оператора Ĥ в окрестности фиксированной энергии Eвыше максимума потенциала состоит из пар близких точек, а положение парприближенно определяется правилом дискретизации Планка-Бора-Зоммерфельда (1.3), где индекс Маслова σ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
