Диссертация (1137416), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Классической задачей является вычислениеасимптотики расщепления спектра (ширины лакун) в квазиклассическом приближении для различных классов потенциала.Известно, что в случае аналитического потенциала величина туннельногорасщепления является экспоненциально малой при ~ → 0 (см. [55,109]). Асимптотика величины расщепления в этом случае определяется комплексными точками поворота уравнения (1.1) и соединяющими их линиями Стокса [46].
Большой интерес представляет случай V (x) = cos(x), отвечающий квантовому маятнику (см., например, [53, 96]). Тогда соответствующее уравнение Шредингера (1.1) сводится к уравнению Матье [58].В случае, когда потенциал аналитический и топология линий Стокса имеет вид как при V (x) = cos(x) (см. рис.
1.4), асимптотика ширины лакун былапостроена в работе Дыхне [27]. Поскольку энергия E больше максимума потенциала V (x), то действительная ось x лежит в некоторой полосе, ограниченнойлиниями Стокса, соединяющими комплексные точки поворота уравнения (1.1).В работе [27] было показано, что если уравнение (1.1) имеет только одну простую точку поворота x0 такую, что Re x0 ∈ [0, 2π) и Im x0 > 0, а линии Стокса,выходящие из этой точки, образуют верхнею границу полосы, которая содержитдействительную ось x (см.
рис. 1.4), то для величины расщепления справедливаасимптотическая формула: Z x0p~ωi∆=exp2(E − V (x)) dx [1 + O(~)],π~ x0(1.16)где ω — классическая частота движения по окружности в потенциале V (x) сpэнергией E, а ветвь корня выбрана так, что 2(E − V (x)) > 0 при действительных x. Тогда показатель экспоненты является отрицательным. Полное строгоедоказательство формулы (1.16) и разбор еще нескольких случаев представленв работе Симоняна [42] (см. также [46]), а в работе [64] дана глубокая интерпретация формулы Дыхне-Симоняна (1.16) в геометрических терминах комплексифицированного фазового пространства.Существует несколько различных асимптотических режимов в задаче об31Рис.
1.4оценке ширины лакун (см. соответствующие замечания в работах [52, 78]). Вомногих работах в качестве большого параметра выступает номер лакуны, тогдаэнергия (центр лакуны) стремится к бесконечности. При соответствующей перенормировке видно, что данный режим является квазиклассическим, но включает дополнительное предположение о малости потенциала по сравнению с полнойэнергией. Можно показать, что при таком предположении из формулы ДыхнеСимоняна (1.16) следует известная формула Харрелла-Аврона-Саймона [52, 77]для ширины зон неустойчивости уравнения Матье.
Другой важный асимптотический режим в этой задаче возникает, если предположить, что потенциалV (x) мал по сравнению с общей энергией E, но энергия E и соответствующийномер лакуны являются конечными. Этот режим не является квазиклассическим и рассматривается при помощи методов теории возмущений (см., например, [4, 89]).Заметим также, что если энергия частицы ниже вершины потенциального барьера в периодическом потенциале, то экспоненциально малой становитсяне ширина лакун, а ширина спектральных зон оператора Шредингера на прямой [30, 59]. Этот эффект связан с обычным координатным туннелированиемчерез потенциальный барьер.
Данная задача также может быть сведена к вы-32числению величины расщепления дискретного спектра оператора Шредингерана окружности, только тогда необходимо рассматривать не потенциал V (x), апотенциал V (2x) (см. раздел 3.2 данной диссертации). Например, для задачи оквантовом маятнике, при энергиях меньше вершины потенциального барьера,область классического движения состоит из двух интервалов — потенциальныхям, разделенных двумя барьерами. Тогда для величины туннельного расщепления справедлива формула вида (1.12) с дополнительным множителем 2 в амплитуде, поскольку туннелирование происходит сразу через два потенциальныхбарьера [30,59,78].
Также как и в симметричном двуямном потенциале, различный вид принимают формулы для расщепления вблизи минимумов потенциалаи для высоких энергетических уровней [1].1.4Постановка задачНесмотря на активное изучение влияния туннелирования на спектр и волновые функции в одномерных квантовых системах, в этой области имеютсяважные открытые вопросы.
Формулировки основных задач, рассматриваемыхв диссертации, представлены в данном разделе.Диссертация посвящена получению квазиклассической асимптотики спектра и волновых функций стационарного уравнения Шредингера (1.1) для двухосновных моделей: несимметричного двуямного потенциала и динамическоготуннелирования частицы на окружности. В диссертации рассматриваются следующие основные группы задач.Критерий двойной локализацииВ разделе 2.1 диссертационной работы рассмотрена задача о построениеасимптотики волновых функций стационарных состояний в случае квазивырождения спектра в несимметричном двуямном потенциале на прямой. В этомслучае необходимо определить, какие линейные комбинации состояний ψl и ψrиз левой и правой ямы близки к точным стационарным состояниям исходнойдвойной ямы. Таким образом, нужно построить необходимые и достаточныеусловия двойной локализации волновых функций, а также найти асимптотикувеличины туннельного расщепления соответствующих энергий.33Задача построения критерия двойной локализации тесно связана с результатами работы [104], в которой для основного состояния было показано, чтоиз двойной локализации следует экспоненциальная малость туннельного расщепления (обзор представлен в разделе 1.2).
Таким образом, задача состоит вобобщении этого утверждения на случай высоких энергетических уровней и исследовании обратного утверждения: следует ли из малости расстояния междупарой точек спектра то, что соответствующие стационарные состояния билокализованы. Также важной задачей является построение явных асимптотическихформул для величины туннельного расщепления при различных энергетических режимах в несимметричном двуямном потенциале. Детальное исследование этих задач проведено в главе 2 настоящей диссертационной работы.Критерий двойной локализации стационарных состояний для несимметричного двуямного потенциала играет существенную роль для описания эффектатуннельного захвата состояния. В настоящей диссертации (см. раздел 2.6) рассмотрена задача о построении явных аналитических формул для значений параметров настройки пробного потенциала, при которых происходит туннельныйзахват состояния, в случае прямоугольной пробной потенциальной ямы.Задача “блоха на слоне”Рассматривается задача о построении асимптотики величины туннельногорасщепления энергий при деформации одной стороны барьера симметричногодвуямного потенциала.Учитывая результаты работы [81], получаем (см.
раздел 2.7), что деформация одной стороны барьера, разделяющего две ямы, влияет только на одну из одноямных энергий El или Er , в зависимости от того, какая из сторонбарьера была деформирована. Следовательно, для определения расщепленияэнергий по формуле (1.13) необходимо решить задачу о так называемом “туннельном возмущении” дискретного спектра одноямного потенциала. Задача состоит в оценке возмущения энергии E стационарного состояния в одноямномпотенциале V (x) при добавлении к потенциалу непрерывной функции f (x), локализованной только в классически запрещенной зоне, при этом малость f (x)не предполагается. Такое изменение потенциала никак не влияет на движение34классической частицы с энергией E, а в квантовой механике наличие туннельных эффектов приводит к экспоненциально малому (при ~ → 0) возмущениюспектра оператора Шредингера вблизи энергии E.В работе [93] была доказана оценка (1.15) для величины туннельного расщепления в данной задаче, но открытым остается вопрос о построение главногочлена асимптотики.
Решение этой задачи построено в разделах 2.7–2.8 настоящей диссертации. Получена формула для главного члена асимптотики, позволяющая вычислить амплитуду величины расщепления, а также рассмотренообобщение данной задачи на случай деформации несимметричного потенциала.Динамическое туннелированиеЗадача состоит в обобщении метода вычисления туннельного расщепленияэнергий, основанного на формуле Херринга, на случай туннелирования между симметричными орбитами в фазовом пространстве, то есть на задачу одинамическом туннелировании. В качестве базового примера рассматриваетсяимпульсное туннелирование частицы, движущейся по окружности в роторномрежиме. Данная задача рассмотрена в главе 3 настоящего диссертационногоисследования.35Глава 2Туннелирование в несимметричной двойной ямеВ данной главе, с точки зрения эффектов туннелирования, рассматривается квазиклассическая асимптотика дискретного спектра и соответствующихстационарных состояний одномерного уравнения Шредингера на прямой (1.1):−~ 2 d2 ψ+ V (x)ψ = Eψ,2 dx2где V (x) — гладкий действительный потенциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
