Диссертация (1137416), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При объединении этих серий может возникнуть эффект квазивырождения — совпадения (в рамках точности рассматриваемогоприближения) двух собственных значений из разных серий. Например, такойэффект всегда происходит в случае зеркально-симметричного двуямного потенциала, поскольку из-за симметрии спектры отдельных ям в точности совпадают.В работе Хунда было показано, что при квазивырождении в спектре оператораĤ возникает пара близких собственных значений, но не были сделаны аналитические оценки для величины туннельного расщепления энергий.Представление спектра оператора Шредингера с двуямным потенциалом ввиде объединения двух спектральных серий позволяет провести качественныйанализ зависимости спектра оператора от внешнего параметра.
При изменении20Рис. 1.3параметра энергетические уровни из разных серий могут пересекаться. Тогдасоответствующие точные собственные значения либо сближаются без пересечения — это так называемое “отталкивание” энергетических уровней (“квазипересечение” или “avoided crossing”), либо пересекаются, тогда при некотором значении параметра в спектре оператора Ĥ присутствует вырожденное собственноезначение кратности 2.
Поскольку спектр одномерного оператора Шредингерана прямой невырожден, при квазиворождении всегда происходит именно отталкивание энергетических уровней. С другой стороны, в многомерном случае илидля задачи на окружности возможны пересечения энергетических уровней приизменении внешнего параметра.В работе [110] показано, что для вырождения энергетических уровней необходима согласованная настройка более чем одного внешнего параметра, настройка двух — для случая действительных матричных элементов оператораĤ, и трех — в случае общей эрмитовой матрицы.
Следовательно, отталкиваниеэнергетических уровней является типичным в случае квазивырождения. Также в работе [110] показано, что в случае отталкивания энергетических уровнейкривые зависимости точных собственных значений E1,2 (k) от внешнего параметра k вблизи точки квазипересечения приближенно имеют вид гипербол (см.рис. 1.3):E1,2 (k) ' (E + kA) ±√B 2 + C 2k2.(1.5)Результаты работы [110] применимы не только к операторам Шредингера ви-21да (1.2), но также и в случае произвольного самосопряженного гамильтониана Ĥ.Симметричный двуямный потенциалРассмотрим подробнее случай симметричного двуямного потенциала. Какуже было отмечено ранее, тогда все энергетические уровни, расположенные существенно ниже вершины потенциального барьера, являются квазивырожденными и в спектре оператора Шредингера возникают пары близких собственныхзначений.
Классической задачей является оценка величины расщепления этихэнергетических уровней.Заметим, что стандартный метод построения глобальных квазиклассических асимптотик (метод ВКБ) [46, 100], основанный на согласовании в точкахповорота, не позволяет построить асимптотику стационарных состояний и туннельного расщепления спектра при резонансном туннелировании, так как величина туннельного расщепления экспоненциально мала при ~ → 0, а правилаперехода обеспечивают лишь степенную точность по малому параметру ~. Основной метод, позволяющий находить асимптотику туннельного расщепленияэнергий в симметричном случае, основан на формуле Херринга [86].
Этот подход позволяет свести задачу о вычислении туннельного расщепления спектрак задаче о построении асимптотики соответствующих стационарных состоянийв области потенциального барьера, что позволяет избежать необходимости построения глобальных асимптотик стационарных состояний.Предположим, что многомерный двуямный потенциал V (x1 , . . . , xk ) симметричен относительно плоскости M и соответствующая симметрия переводит одну яму в другую.
Тогда для туннельного расщепления справедлива асимптотическая формула Херринга:2Z∆'~(ψ1 ∇ψ2 − ψ2 ∇ψ1 ) ds,(1.6)Mгде ψ1,2 — действительные нормированные стационарные состояния, отвечающие паре квазырожденных собственных значений. Таким образом, задача о вычислении туннельного расщепления сводится к построению асимптотики стационарных состояний в окрестности плоскости M , то есть в классически запрещенной (туннельной) области. Хорошо известно, что волновые функции экс-22поненциально убывают вглубь классически запрещенной области [29, 33, 49, 80],следовательно, туннельное расщепление энергий является экспоненциально малым, если потенциальный барьер является достаточно большим.В одномерном случае формула (1.6) имеет вид:∆ ' ~2 (ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10 ) ,(1.7)x=0где точка x = 0 — центр потенциального барьера.В случае симметричного двуямного потенциала волновые функции стационарных состояний ψ1 и ψ2 являются четными и нечетными соответственно.Следовательно, они локализованы сразу в двух потенциальных ямах, то естьявляются билокализованными.
Пусть ψl и ψr — пара приближенных волновыхфункций, локализованных только в левой и правой потенциальной яме соответственно. Учитывая симметрию, можно считать, что ψr (x) = ψl (−x) = ϕ(x).Тогда волновые функции ψ1,2 , отвечающие паре квазивыожденных стационарных состояний, приближенно имеют вид:1ψ1,2 (x) ' √ (ϕ(x) ± ϕ(−x)) .2(1.8)Подставляя разложение (1.8) в формулу (1.7), получаем∆ ' 2~2 ϕ(0)ϕ0 (0).Многомерный аналог этой формулы был рассмотрен в работе [75]:Z2∆ ' 2~ϕ∇ϕ ds.(1.9)(1.10)MЗаметим, что точность формул (1.9) и (1.10) существенно зависит от выбора “одноямной” волновой функции ϕ(x). Условия, накладываемые на выбор ϕ, быливпервые исследованы в работе Херринга [86], см. также [35, 80, 81].Классической задачей о вычислении туннельного расщепления энергетических уровней в симметричном случае является задача о спектре электрона вмолекулярном ионе водорода H+2 в предположении, что два положительно заряженных ядра фиксированы и находятся на большом расстоянии R друг отдруга [29, 75, 79, 86, 91].
В работе [79] в качестве ϕ была взята волновая функция основного состояния атома водорода — это так называемый метод линейных комбинаций атомарных орбиталей или LCAO метод [5, 79], где волновую23функцию электрона в молекуле представляют в виде некоторой линейной комбинации волновых функций электрона в отдельных атомах. Херринг [86] показал, что подобный выбор приближения для волновых функций электрона(выбор ϕ) не является достаточно точным для вычисления туннельного расщепления энергий по формуле (1.10). Несмотря на то, что волновая функцияϕ(x), построенная LCAO методом, дает хорошее приближение для стационарных состояний (1.8) вблизи ядер, она обладает неправильной асимптотикой вобласти барьера, и следовательно, не пригодна для вычисления расщепления.Для построения подходящей функции ϕ необходимо учитывать влияние внешнего поля положительного заряда второго ядра на волновую функцию основного состояния атома водорода.
Итоговая формула для величины туннельногорасщепления в атомной системе единиц имеет вид:4∆ = Re−R [1 + O(1/R)].e(1.11)Дальнейшие обобщения данной задачи на случай более сложных молекул приведены в работах [21, 87], см. также [20, 54].Данная задача о туннелировании электрона между двумя ядрами, фиксированными на большом расстоянии R друг от друга, допускает квазиклассическое приближение. Для этого необходимо провести перенормировку координаттак, чтобы расстояние между ядрами стало порядка единицы. Тогда возникает малый параметр квазиклассического приближения ~ = 1/R. Заметим, чтопри этом условия применимости квазиклассического приближения (см., например, [29]) выполнены только в области барьера, а движение электрона вблизиядер не является квазиклассическим.Другая классической задача: получить общую формулу для величины расщепления спектра оператора Шредингера с произвольным симметричным двуямным потенциалом в квазиклассическом приближении.
Рассматривается спектрĤ вблизи фиксированной энергии E такой, что уравнение V (x) = E имеет 4простых корня — точки поворота. Тогда условия применимости квазиклассического приближения справедливы как в области барьера, так и в потенциальныхямах. Подставляя ВКБ асимптотику состояний ψ1,2 в формулу (1.7), получаем для величины расщепления энергий знаменитую асимптотическую формулу24Ландау-Лифшица [29] (см. также [1, 46, 48, 62]):Z~ω1 p∆ = E2 − E1 =exp −2(V (x) − E)dx [1 + O(~)] .π~(1.12)Здесь E = E1,2 + O(~2 ), ω — частота классического движения для энергии E,а интеграл берется по подбарьерной области (где V (x) > E), разделяющей двеямы. Интеграл в показателе экспоненты в формуле (1.12) называют туннельным действием или “действием по инстантону”.
Данная формула справедливав предположении, что энергия E не близка к минимумам потенциальных ям ик вершине разделяющего их барьера (при ~ → 0). Из формулы (1.12) видно,что туннельное расщепление энергетических уровней является экспоненциально малым при ~ → 0.Таким образом, спектр оператора Шредингера с симметричным двуямнымпотенциалом в окрестности энергии E состоит из пар близких точек, положение которых с точностью O(~2 ) определяется условием (1.3), расстояние междусоседними парами имеет порядок ~, а для величины расщепления каждой парысправедлива формула (1.12).Формула (1.12) справедлива для энергий, не близких к минимумам потенциала, то есть для энергетических уровней с большими номерами n ∼ 1/~.С другой стороны, с физической точки зрения большой интерес представляет расщепление основного состояния, то есть для n = 0, 1, 2, .
. . (см., например, [20, 54, 101]). Если минимумы потенциала являются невырожденными, тоформула для расщепления нижних энергетических уровней (конечные n) былаполучена в работе [43] (см. также [35, 71]). Стоит заметить, что асимптотические формулы для конечных n и для больших n ∼ 1/~ не согласуются, то естьформула (1.12) дает неверную оценку для расщепления пары нижних энергетических уровней [1, 50, 57, 71]. Правильная формула для нижних энергетических уровней имеет вид, аналогичный (1.12) но с дополнительным множителемpπ/e ≈ 1.08. Данный вопрос о сравнении асимптотических формул для величины туннельного расщепления верхних и нижних энергетических уровнейбудет рассмотрен ниже в разделе 2.3 для общего случая несимметричного потенциала.Асимптотика туннельного расщепления пары нижних энергетических уровней для симметричной ямы известна и в многомерном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
