Диссертация (1137416), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Состояние в начальный момент времени сосредоточено в заданной физической потенциальной яме. Возникновение резонансного туннелирования при определеннойнастройке пробного потенциала называют эффектом туннельного захвата состояния, поскольку тогда состояние начинает совершать туннельные переходымежду потенциальными ямами. Критические значения внешних параметров,при которых возникает туннельный захват состояния, представляют интерес сфизической точки зрения [45], они были рассмотрены численно для конкретногодвуямного потенциала в работе [23].
В настоящей диссертации (см. раздел 2.6)рассмотрена задача о построении явных аналитических формул для значенийпараметров настройки пробного потенциала, при которых происходит туннельный захват состояния в случае прямоугольной пробной потенциальной ямы.8При рассмотрении туннелирования в несимметричном двуямном потенциалеособую важность приобретает обоснование полученных результатов, посколькунекоторые работы, опубликованные ранее в физической литературе, содержатпротиворечивые выводы.
Например, в работе Сонга [108] сделана попытка найти необходимые и достаточные условия возникновения резонансного туннелирования, и построить квазиклассические формулы для соответствующих энергетических уровней и стационарных состояний, но эта работа не согласуется срезультатами, представленными и строго доказанными ранее в работе [93]. Вразделе 2.8 настоящей диссертации показано, что работа [108] содержит существенные ошибки, которые приводят к принципиально неверному результату.Сложность построения квазиклассического приближения для туннельныхэффектов в задаче о несимметричном двуямном потенциале связана с тем, чтомногие формулы стандартного квазиклассического приближения, такие какправила квантования энергетических уровней, правила перехода через точкуповорота, формулы теории возмущений и другие, используемые на физическомуровне строгости как точные, в действительности являются асимптотическими,всего лишь, со степенной точностью по ~, а в задачах, включающих резонансноетуннелирование, необходимо проводить вычисления с экспоненциальной точностью.Одной из интересных задач, в которой возникает несимметричный потенциал, является задача о разрушении резонансного туннелирования в симметричном двуямном потенциале при деформации одной стороны потенциальногобарьера, разделяющего ямы.
Предполагается, что деформация не затрагиваетобласти классического движения, а следовательно, может оказывать влияниена квантовую частицу только за счет туннельных эффектов. Это так называемая задача “блоха на слоне” [73,93,107]. В работе [93] было доказано, что в этойситуации волновые функции перестают быть билокализованными, а величинарасщепления, хотя и остается экспоненциально малой (при ~ → 0), но становится экспоненциально больше, чем расщепление в исходном симметричномдвуямном потенциале до деформации. В работе [93] был найден показатель экспоненты величины туннельного расщепления в этой задаче, но открытым оставался вопрос о построении всего главного члена асимптотического разложения9(см. также [82]).
Данная задача рассмотрена в разделах 2.7 и 2.8 настоящейдиссертации.Импульсное туннелированиеДругим важным проявлением туннельного эффекта является надбарьерноеотражение частицы от потенциала, то есть импульсное туннелирование. В этомслучае квантовая частица тоже преодолевает барьер, но не потенциальный, ав импульсном представлении. Важная модель, в которой импульсное туннелирование играет существенную роль — это одномерное движение квантовойчастицы по окружности в потенциальном поле.
Здесь, для энергий, существенно выше максимума потенциала, спектр оператора Шредингера состоит из парблизких точек, а соответствующие волновые функции стационарных состоянийв импульсном представлении являются симметричными и антисимметричными.Аналогично тому, как это происходит в двуямном потенциале на прямой, здесьтакже возникает эффект туннельной транспортации, только в данном случаепроисходит туннельный переход от состояния, отвечающего движению частицы по окружности в одном направлении, в состояние, отвечающие движению впротивоположном направлении.Вычисление туннельного расщепления дискретного спектра квантовой частицы на окружности эквивалентно задаче о вычислении ширины лакун — промежутков между зонами в блоховском спектре оператора Шредингера на прямой с периодическим потенциалом V (x) (см., например, [55, 66, 97]). Простойпример V (x) = cos(x) отвечает квантовому маятнику [58], а соответствующееуравнение Шредингера эквивалентно уравнению Матье.
В более общем случае,когда потенциал аналитический и топология линий Стокса имеет вид как приV (x) = cos(x), асимптотика ширины лакун была построена в работе Дыхне [27],полное строгое доказательство и разбор еще нескольких случаев представлен вработе Симоняна [42] (см. также [46,59,64]). Существует также ряд глубоких результатов о связи гладкости потенциала со скоростью убывания ширины лакунпри росте энергии [55, 102]. В случае аналитического потенциала известно, чтоширина лакун экспоненциально убывает [109], а в случае потенциала конечнойгладкости — убывает по степенному закону [88].10В настоящей диссертационной работе представлен общей метод вычислениявеличины расщепления энергий в случае динамического туннелировании частицы между двумя траекториями периодического движения.
Для импульсноготуннелирования частицы на окружности это дает единый подход к вычислению величины расщепления, как в случае аналитического потенциала, так идля потенциала конечной гладкости.Научная новизнаВ настоящей диссертации представлен ряд существенно новых научных результатов в задачах о координатном и импульсном туннелировании для одномерного уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении.Положения, выносимые на защиту:1.
В работе проведено исследование туннельного резонанса в несимметричном двуямном потенциале, получен критерий билокализации волновыхфункций и найдена асимптотика величины туннельного расщепления энергий.2. Доказана формула связи двойной локализации волновых функций и величины туннельного расщепления энергий для оператора Шредингера сдвуямным потенциалом. Найдено явное выражение амплитуды величинырасщепления в случае высоких энергетических уровней и в случае энергий, близких к невырожденным минимумам потенциала.3.
Дано описание динамики состояния в двуямном потенциале при резонансном туннелировании и рассмотрены примеры туннельной транспортациив несимметричных двуямных потенциалах.4. Рассмотрен эффект туннельного захвата состояния в случае, когда исходная потенциальная яма является гладкой финитной функцией, а пробнаяпотенциальная яма является прямоугольной. Представлены явные аналитические формулы для резонансных значений ширины пробной потенциальной ямы.5. Доказано, что метод построения квазиклассического приближения для11несимметричного потенциала, предложенный в работе Сонга [108], приводит к принципиально неверным результатам.
Построен соответствующийконтрпример.6. В задаче, возникающей при рассмотрении эффекта “блоха на слоне”, найдена асимптотическая формула для амплитуды туннельного расщепленияэнергий. Также получено обобщение описания данного эффекта на случайдеформаций несимметричного потенциала.7. В общем случае туннелирования между симметричными траекториямив фазовом пространстве (динамическое туннелирование) предложен операторный метод вычисления квазиклассической асимптотики величинытуннельного расщепления энергий. В качестве примера рассмотрена задача о координатном туннелировании в симметричном и несимметричномдвуямном потенциале.8. Применяя предложенный операторный метод, для частицы на окружности в случае произвольного достаточно гладкого потенциала получена новая асимптотическая формула для величины туннельного расщепленияэнергий, связанного с надбарьерным отражением.
В качестве примераприменения этой формулы подробно рассмотрена задача о квантовом маятнике и показано, что в этом примере предложенная формула переходитв известную формулу Дыхне-Симоняна.Все новые научные результаты, представленные в настоящей диссертации,опубликованы в 5 работах автора [16–19,94], две из которых (работы [17,18])опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основныенаучные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.АпробацияРезультаты диссертационной работы были представлены на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах.1.
Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, Москва, 2011.122. 2-я Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов и молодых ученых по тематическому направлению деятельности национальной нанотехнологической сети «Функциональные наноматериалы для космическойтехники», Москва, 2011.3. Международная конференция посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им.
И. Г. Петровского), Москва, 2011.4. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 50-летию МИЭМ, Москва, 2012.5. Международная школа-семинар «Взаимодействие математики и физики:новые перспективы» для студентов, аспирантов и молодых исследователей, Математический институт Стеклова РАН, Москва, 2012.6. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2013.7. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ, Москва, 2014.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
