Диссертация (1137416), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Пусть Γ — гильбертово пространство, оператор A самосопряжен. Пусть задана квазимода u:k(A − λ)uk ≤ ε, kuk = 1.Тогда расстояние от точки λ до спектра оператора A не превосходит ε:d (λ, Spectre(A)) ≤ ε.Теорема 2.8 (Равенство числа мод и квазимод). Пусть для самосопряженногооператора A в гильбертовом пространстве Γ имеются n ортонормированныхквазимод:hui , uj i = δij , k(A − λ)ui k ≤ εi, j = 1, 2, . . . , n.Предположим, что спектр A является дискретным в ε-окрестности точки λ.Тогда существует как минимум n ортогональных собственных функцийоператора A c собственными значениями из ε-окрестности λ:ψk : (A − λk ) ψk = 0, |λ − λk | ≤ εk = 1, 2, . .

. , n.79Теорема 2.9 (Разложение квазимоды). Пусть Γ — гильбертово пространство, оператор A самосопряжен. Пусть задана квазимода u ∈ Γ, kuk = 1,k(A − λ)uk ≤ ε. Предположим, что на интервале (λ − ε, λ + ε) содержитсявсего одна точка спектра оператора A:Aψ = µψ, |λ − µ| < ε.Тогда для квазимоды u имеет место разложение:u = hu, ψi ψ + ũ,εkũk ≤ ,dгде d — расстояние от λ до спектра A, не учитывая точку µ.Замечание. Данную теорему имеет смысл применять тогда, когда известно, что d ε. Эта теорема может дать представление о виде точной собственной функции.Следующая теорема близка к теореме, доказанной в работе [35] (см.

также [80, 81]), несколько изменена формулировка и доказательство, а также получены более точные оценки.Теорема 2.10. Пусть в гильбертовом пространстве Γ задан самосопряженный оператор A. Пусть выполнены условия:1. Для оператора A задан набор из n ортонормированных квазимод:hui , uj i = δij , k(A − λ)ui k ≤ εi, j = 1, 2, . .

. , n.2. Пусть d — расстояние от λ до спектра A, не учитывая n ближайшихточек (число точек считается с учетом кратности). Предположим,что справедлива оценка:d>√2nε.3. Найдены собственные значения µi и соответствующие собственные вектора zi , i = 1, n, матрицыVij = h(A − λ)ui , uj i ,i, j = 1, 2, . . . , n.Собственные вектора zi выбраны ортонормированными.80Тогда существуют yi ∈ Γ такие, что:yi =nXzij uj + wi ,i = 1, 2, .

. . , nj=1и справедливы оценки√kwi k ≤2nε√,d − 2nεk(A − λ − µi ) yi k ≤i = 1, 2, . . . , n,4nε2√,d − 2nεi = 1, 2, . . . , n.Замечание. Если d ε, то условие 2 выполняется автоматически, и вычисление собственных значений матрицы V позволяет получить спектр оператора A с точностью O(ε2 /d).Доказательство. Из первого условия данной теоремы следует, что на интервале есть не менее n точек спектра оператора A, а из второго условия даннойтеоремы следует, что их не более n. Обозначим через ψi собственные функцииоператора A, отвечающие собственным значениям λi из рассмотренного интервала.Тогда d — это расстояние от точки λ до спектра A, не учитывая точкиλi , i = 1, .

. . , n.Пусть E — ортогональный проектор на линейную оболочку векторов ui ,i = 1, . . . , n, а E 0 = I − E.Определим конечномерный операторV = (A − λ)E + E(A − λ) − E(A − λ)E,и операторA0 = A − V.Покажем, что V действительно конечномерен. Пусть u1 , . . . , un , . . .

, ur ортонормированный базис в пространстве, образованном набором векторов u1 , . . . , un ,(A − λ)u1 , . . . , (A − λ)un .Пусть φ ∈ Γ ортогональна всем ui , i = 1, r. ТогдаkE(A − λ)φk2 = hE(A − λ)φ, E(A − λ)φi = h(A − λ)E(A − λ)φ, φi = 0,81поскольку φ ортогональна образу оператора (A − λ)E. Следовательно, размерность оператора E(A − λ) не превосходит r ≤ 2n.

Остальные слагаемые в определении V очевидно конечномерны.√Докажем, что kV k ≤ 2nε. Очевидно, чтоk(A − λ)Ek ≤√nε.Оценим норму оператора E(A − λ). Поскольку E(A − λ) сопряжен к (A − λ)Eимеем:kE(A − λ)k ≤√nε.Пусть φ ∈ Γ и kφk = 1. Тогда2kV φk2 = kE 0 (A − λ)Eφ + E(A − λ)φk ≤2nε2 + 2 hE 0 (A − λ)Eφ, E(A − λ)φi = 2nε2 .Покажем, что оператор A0 имеет в λ изолированную точку спектра кратности n.Из определения A0 и того, что Eui = ui , i = 1, n вытекает, что:(A0 − λ)ui = (A − λ)ui − V ui = 0,Поскольку kV k ≤i = 1, 2, . . .

, n.√2nε, то любая собственная функция оператора A являетсяквазимодой оператора A0 , и наоборот. Следовательно оператор A0 на интервале√√λ − d + 2nε, λ + d − 2nε имеет ровно n точек спектра с учетом кратности.Иначе возникает противоречие с условием 2 данной теоремы. Получаем, что−1√ (A0 − λ)−1 E 0 ≤ d − 2nε.Таким образом, мы имеем представление оператора A в виде суммы A0 и малого конечномерного оператора V . Спектр и собственные векторы A0 в окрестности λ известны. Для получения поправок к собственным векторам и числамоператора A можно применить теорию возмущения в случае изолированноговырожденного собственного значения λ.Пусть vi такие, что Evi = vi , являются собственными функциями оператораEV E.

Таких vi n штук, так как оператор EV E конечномерен и имеет размерность n. Таким образом,EV vi = µi vi , kvi k = 1,i = 1, 2, . . . , n.82Следовательно,|µi | ≤ kV k ≤√2nε,A0 vi = A0 Evi = λvi ,(V − µi ) vi = (E 0 + E) (V − µi ) vi = E 0 V vi .Определим wi = − (A0 − λ)−1 E 0 V vi . Из определений vi и wi , следует:(A0 − λ) wi = −E 0 V vi .Учитывая оценку√kV − µi k ≤ kV k + |µi | ≤ 2 2nε,получаем оценку нормы wi : kwi k = (A0 − λ)−1 E 0 V vi ≤ (A0 − λ)−1 E 0 kV kkvi k ≤√2nε√.d − 2nεПокажем, что vi + wi являются квазимодами для оператора A:k(A − λ − µi ) (vi + wi )k = k(A0 − λ + V − µi ) (vi + wi )k == kE 0 V vi − E 0 V vi + (V − µi )wi k = k(V − µi ) wi k ≤ k(V − µi )k kwi k ≤4nε2√.d − 2nεПолучили, что vi + wi являются квазимодами с собственными значениямиλ + µi , где i = 1, 2, .

. . , n.Искать vi и µi можно, используя матричные элементы оператора V в базисе,содержащем векторы ui , i = 1, 2, . . . , n. Тогда:Vi,j = hV ui , uj i = h(A − λ)Eui , uj i = h(A − λ)ui , uj i .Собственные векторы этой матрицы являются коэффициентами разложениявектора vi по векторам uj , а собственные значения и есть µi , i = 1, 2, . . . , n.Таким образом, теорема полностью доказана.83Глава 3Туннелирование в импульсном пространствеВ данной главе предложен общий операторный метод вычисления квазиклассической асимптотики туннельного расщепления энергий в задаче о динамическом туннелировании между двумя симметричными орбитами классического движения (см.

раздел 3.1). Основой метода является алгебраическая,коммутаторная формула, которая является обобщением известной формулыХерринга (1.6), применяемой в случае координатного туннелирования в симметричном двуямном потенциале.В качестве основной модели динамического туннелирования рассматривается задача о туннельном расщеплении спектра оператора Шредингера Ĥ длячастицы, движущейся по окружности в потенциальном поле V (x), если ее энергия существенно больше максимума потенциала. В разделах 3.2 и 3.3 изложеныхорошо известные результаты об общей структуре спектра оператора Ĥ, а также о связи спектральной задачи для оператора Шредингера на окружности иБлоховского спектра оператора Шреденгера с периодическим потенциалом напрямой.В разделе 3.4 при помощи предложенного операторного метода получена общая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий в задаче о динамическом туннелировании частицы на окружности.

Полученная асимптотическая формула применима как в случае аналитического потенциала, так и для потенциалов конечной гладкости. В разделе 3.5 рассмотреназадача о квантовом маятнике и показано, что тогда из общей формулы для расщепления (теорема 3.3) можно получить известную формулу Дыхне-Симоняна(см. раздел 1.3)843.1Операторная формулаРассмотрим задачу о динамическом туннелировании (туннельном резонансе) между двумя симметричными периодическими траекториями классического движения.

Пусть задан самосопряженный оператор Ĥ, не обязательно вида (1.2), и соответствующий гамильтониан H(x, p). Предположим, что спектрĤ вблизи заданной энергии E дискретен, что соответствует задаче об ограниченном движении, и для энергий, близких к E, существует две симметричныедруг другу периодические траектории классического движения, отвечающиегамильтониану H. Тогда, как уже отмечалось в разделе 1.1, симметрия траекторий периодического движения приводит к квазивырождению дискретногоспектра оператора Ĥ в квазиклассическом приближении при ~ → 0.

Каждомууровню энергии, удовлетворяющему правилу дискретезации (1.3), соответствует пара близких точек спектра E1,2 оператора Ĥ. Задача состоит в вычисленииасимптотики величины туннельного расщепления энергий ∆ = E2 − E1 .Пусть E1 , E2 — пара собственных значений оператора Ĥ, а ψ1 и ψ2 — соответствующие собственные функции:Ĥψ1 = E1 ψ1 ,Ĥψ2 = E2 ψ2 .Пусть σ̂ — некоторый самосопряженный оператор. Тогда, умножая скалярнопервое равенство на σ̂ψ2 справа, а второе —на σ̂ψ1 слева и используя самосопряженность операторов Ĥ и σ̂, получаем:hσ̂ Ĥψ1 , ψ2 i = E1 hσ̂ψ1 , ψ2 i,hĤ σ̂ψ1 , ψ2 i = E2 hσ̂ψ1 , ψ2 i.Если оператор σ̂ выбран так, что hσ̂ψ1 , ψ2 i =6 0, то для величины расщепления∆ = E2 − E1 справедлива формула:∆=h[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i,hσ̂ψ1 , ψ2 i(3.1)где [Ĥ, σ̂] — коммутатор операторов Ĥ и σ̂.Формула (3.1) является операторным обобщением классических формул длявычисления туннельного расщепления в различных задачах квантовой механики.

Характеристики

Список файлов диссертации