Диссертация (1137416), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Тогда, если не учитывать туннельные эффекты(см. раздел 1.1), которые экспоненциально малы при ~ → 0, то квазиклассическое приближение для спектра оператора Ĥ можно получить, рассматриваяданную потенциальную яму как часть потенциала на прямой. Например, если91Рис. 3.1для определенности считать, что максимум потенциала V (x) достигается в точке x = 0, можно рассмотреть спектральную задачу для оператора Шредингерана прямой с потенциалом Ṽ (x), который равен V (x) при x ∈ [0, 2π] и равенV (0) = max V (x) при x ∈/ [0, 2π] (см. рис. 3.1). Наилучшие приближение данного вида можно получить, если аналогичный “разрез” окружности проводить нев точке максимума потенциала, а в центре наибольшего потенциального барьера, где размер барьера и его центр определяются с точки зрения инстантоннойметрики (см. раздел 2.1).

Тогда, если в задаче не было резонансного туннелирования через этот барьер1 , то спектр в окрестности фиксированной энергии Eи соответствующие стационарные состояния оператора Ĥ можно приблизить сэкспоненциальной точностью при ~ → 0 решениями соответствующей задачина прямой, то есть не возникает никакой существенной разницы между движением квантовой частицы (эволюцией квантового состояния) в потенциале V (x)на окружности и в соответствующем потенциале Ṽ (x) на прямой.Некоторые отличия построения квазиклассического приближения для задачи на окружности и на прямой возникают, если в задаче присутствует резонансное туннелирование через все потенциальные барьеры.

Например, для потенциала V (x) = cos(2x) на окружности, область классического движения состоит издвух интервалов (при −1 < E < 1), разделенных двумя равными потенциальными барьерами. Учитывая результаты, представленные в разделе 1.1, получаем, что спектр оператора Ĥ в окрестности E состоит из пар квазивырожденныхточек. В задаче присутствует симметрия относительно замены x на 2π − x, что1Резонансное туннелирование через барьер заведомо не возникает, если кратчайшее рас-стояние по инстантонной метрике между соответствующими точками поворота отвечает дуге,не лежащей под данным барьером.92приводит к двойной локализации стационарных состояний, то есть к резонансному туннелированию.

Величина расщепления может быть посчитана, как и взадаче о двойной симметричной потенциальной яме на прямой, например, используя методы, изложенные в раздел 2.1 или в разделе 3.1. Основное отличиезаключается в том, что туннелирование происходит сразу через два барьера,что приводит к тому, что величина туннельного расщепления ∆ оказывается вдва раза больше, чем при туннелировании через один барьер [30, 78].Стоит отметить, что для энергий ниже максимума потенциала можно рассмотреть более глубокую классификацию различных энергетических режимов.А именно, можно отдельно рассматривать энергии, близкие к положениям равновесия потенциала, и энергии, которым соответствуют только простые точкиповорота.

Данный подход обусловлен тем, что при различных типах точек поворота асимптотическое решение уравнения Шредингера со степенной точностьюпо ~ имеет различный вид (см., например, [46, 100]). Например, если глобальный минимум потенциала V (x) достигается в одной точке и является невырожденным, как в случае квантового маятника с V (x) = cos(x), можно отдельнорассматривать нижние энергетические уровни, которые могут быть приближенно описаны при помощи решений спектральной задачи для соответствующегогармонического осциллятора.Энергия существенно больше максимума потенциалаРассмотрим теперь случай энергий существенно больше максимума потенциала. Тогда классическая частица пробегает всю окружность в одном из двухвозможных направлений — это так называемый роторный режим.

Две соответствующие траектории периодического движения симметричны относительно замены знака импульса, что приводит к квазивырождению энергетическихуровней оператора Шредингера Ĥ при квазиклассическом приближении (см.раздел 1.1).Используя метод ВКБ (см. [46] или [100]), можно получить асимптотикуфундаментальной системы решений уравнения (3.9) для энергий E выше мак-93симума потенциала V (x): Z xrωiϕ1 (x) =expp(x)dx [1 + O(~)],p(x)~ x0(3.11)Zrωi xexp −p(x)dx [1 + O(~)],ϕ2 (x) =p(x)~ x0pгде p(x) = 2(E − V (x)) > 0 — классический импульс, а ω — классическаячастота колебаний:ω−11=2πZ02πdx.p(x)Асимптотические оценки (3.11) равномерны по x и допускают дифференцирование.

Состояния ϕ1,2 нормированы, состояние ϕ1 соответствует движениючастицы по окружности против часовой стрелки (положительное направлениеоси x), а ϕ2 — по часовой стрелке.Используя условие периодичности (3.10), получаем аналог правила дискретизации Планка-Бора-Зоммерфельда (1.3) для частицы на окружности:Z 2π p12(E − V (x))dx = n~ + O(~2 ),(3.12)2π 0где n ∼ 1/~ — целое число такое, что соответствующая энергия E существеннобольше максимума потенциала.

Надбарьерное отражение от потенциала (туннелирование в импульсном представлении), вообще говоря, приводит к маломурасщеплению энергий, удовлетворяющих правилу (3.12). Следовательно, дляэнергий существенно выше максимума потенциала спектр оператора Ĥ состоитиз пар близких точек, а расстояние между соседними парами имеет порядок~. Соответствующие собственные функции являются линейными комбинациями ϕ1 и ϕ2 . Задача о построении квазиклассической асимптотики величинытуннельного расщепления ∆ рассмотрена в разделе 3.4.3.3Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом на прямойВ данном разделе изложены хорошо известные результаты о связи блоховского (зонного) спектра уравнения Шредингера на прямой с периодическим потенциалом и дискретного спектра оператора Шредингера с соответствующимпотенциалом на окружности (см., например, [41, 55, 66, 97].94Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера:−~ 2 d2 ψ+ V (x)ψ = Eψ,2 dx2(3.13)с периодическим потенциалом V (x) ∈ C 2 (R):V (x + 2π) = V (x).Уравнение (3.13) в общем случае называют уравненим Хилла.

В отличие от задачи на окружности, где на ψ(x) накладывается условие периодичности (3.10),для задачи на прямой известно, что E принадлежит спектру оператора Шредингера тогда и только тогда, когда существует ограниченное решение ψ(x)уравнения (3.13).

Если оба линейно независимых решений уравнения (3.13)ограничены, то говорят, что уравнение устойчиво. Хорошо известна следующаятеорема (см., например, [97]).Теорема 3.2. Для заданного потенциала V (x) ∈ C 2 (R) с периодом 2π существуют две монотонно возрастающие неограниченные последовательности0 ∞{λn }∞n=0 и {λn }n=1 такие, что справедливы следующие утверждения:1. Уравнение (3.13) имеет периодическое решение ψ(x):ψ(x + 2π) = ψ(x),тогда и только тогда, когда E = λn для некоторого n = 0, 1, 2, . . ..2. Уравнение (3.13) имеет антипериодическое решение ψ(x):ψ(x + 2π) = −ψ(x),тогда и только тогда, когда E = λ0n для некоторого n = 1, 2, . .

..3. Справедливы неравенства:λ0 < λ01 ≤ λ02 < λ1 ≤ λ2 < λ03 ≤ . . .4. Уравнение Хилла (3.13) устойчиво при E из интервалов(λ0 , λ01 ), (λ02 , λ1 ), . . .и неустойчиво при E из интервалов(−∞, λ0 ), (λ01 , λ02 ), (λ1 , λ2 ), . . .955. Уравнение Хилла, вообще говоря, неустойчиво на границах приведенныхинтервалов, если только соответствующий интервал неустойчивостине вырождается в точку, тогда уравнение Хилла устойчиво.Из данной теоремы следует, что для заданного периодического потенциалаV (x) границы зон устойчивости — это точки спектра оператора Шридингерана окружности с потенциалом V (2x). Таким образом, задача о вычислении туннельного расщепления энергий дискретного спектра оператора Шредингера наокружности эквивалентна задаче о определении ширины лакун (промежутков)в непрерывном спектре соответствующего оператора на прямой.3.4Туннельное расщепление энергий для частицы на окружностиИспользуя общий операторный метод вычисления асимптотики туннельного расщепления, предложенный в разделе 3.1, найдем величину расщепленияспектра оператора Шредингера Ĥ частицы на окружности для энергий существенно больше максимума потенциала.Поскольку резонансное туннелирование происходит между двумя траекториями, симметричными относительно замены знака импульса, то следуя операторному методу, предложенному в разделе1,σ(p) =1/2, 0,3.1, возьмем σ̂ = σ(p̂), гдеp > 0;p = 0;p < 0.Подставляя σ̂ в формулу (3.1) и производя необходимые упрощения, получаемследующую теорему.Теорема 3.3.

Пусть E1,2 — пара близких с точностью O(~2 ) собственных значений оператора Ĥ, отвечающих роторному режиму. Пусть соответствующие собственные функции ψ1,2 выбраны действительными и нормированы96так, чтоs Z x1ψ1 (x) =p(x)dx + O(~),~ x0s Z x12ωψ2 (x) =sinp(x)dx + O(~).p(x)~ x02ωcosp(x)(3.14)Тогда для расщепления энергий справедлива асимптотическая формула1 + O(~)∆=(2π)2Z2π2πZdx2dx100(V (x2 ) − V (x1 )) ctgx2 − x12ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ). (3.15)Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма.Лемма 3.1. Пустьrφ(x) =ωexpp(x) Z xip(x)dx .~ x0Тогдаσ̂φ = φ + O(~),hφ, φi = 1,σ̂φ = O(~),hφ, φi = O(~).(3.16)(3.17)Доказательство леммы 3.1.

Пусть πk — проектор на состояние с импульсомp = k~:πk φ(x) = eikx12πZ2πφ(x)e−ikx dx.0Следовательно,σ̂ =+∞Xπk + π0 /2.k=1Оценим величинуZ r Zω1 2πi x.|πk φ(x)| =exp−p(x)dx−ikxdx2π 0p(x)~ x0Интегрируя по частям два раза, несложно показать, что!!d√1d112p|πk φ(x)| ≤ ~ ω max . dx p(x) + k~ dxp(x) p(x) + k~Следовательно,~2|πk φ(x)| ≤ C,(pmin + k~)297Рис. 3.2где pmin = min p(x) > 0, а константа C не зависит от k и от ~. Так как справедлива оценка (см.

рис. 3.2):+∞Xk=1~≤(pmin + k~)2+∞Z0dx1,=(pmin + x)2pminто получаем одну из оценок (3.16):σ̂φ(x) = O(~).Учитывая полученную оценку и то, что πk φ = π−k φ, получаем оценкуO(~) = σ̂φ(x) = (1 − σ̂)φ.Таким образом, доказаны обе оценки (3.16).Докажем, что hφ, φi = 1. Действительно,Z 2π1ωhφ, φi =dx = 1.2π 0 p(x)Остается показать, что hφ, φi = O(~). Один раз интегрируя по частям, получаемоценку1hφ, φi =2πZ2π0ωexpp(x)2i~Zxp(x)dx dx = O(~).x0Лемма полностью доказана.Доказательство теоремы 3.3.

Очевидно справедливы следующие коммутационные соотношения:[eix , πk ] = eix (πk − πk−1 ),98[eix , σ̂] = −eix π0 + eix (π0 − π−1 )/2 = −eix (π0 + π−1 )/2.Поскольку потенциал V (x) является периодической функцией, то можно считать, что V (x) = v(eix ). Используя известную формулу для коммутатора, получаем3214[Ĥ, σ̂] = [V (x), σ̂] = [v(eix ), σ̂] = − eix · (π0 + π−1 )/2 · δv(eix , eix ),где δv(z1 , z2 ) — разностная производная v(z):v(z1 ) − v(z2 ),z1 − z2δv(z1 , z2 ) =а верхние номера определяют порядок действия операторов.Поскольку1hπk ψ, ϕi =(2π)22πZ2πZdx2 e−ikx1 eikx2 ψ(x1 )ϕ(x2 ),dx100получаем, чтоZ1h[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i = −2(2π)22πZ2πdx1dx200eix2 (1 + eix1 e−ix2 )δv(eix1 , eix2 )ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ).Используя тригонометрическую формулуeix2 + eix1x 2 − x1= i ix2,ctg2e − eix1и то, чтоδv(eix1 , eix2 ) =V (x1 ) − V (x2 ),eix1 − eix2получаемi 1h[Ĥ, σ̂]ψ1 , ψ2 i =2 (2π)2Z2πZdx102πdx20(V (x2 ) − V (x1 )) ctgx2 − x12ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ).Учитывая формулу (3.1), остается показать, чтоhσ̂ψ1 , ψ2 i = i/2 + O(~).Докажем, что данная оценка следует непосредственно из (3.14).

Характеристики

Список файлов диссертации