Диссертация (1137416), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Учитывая формулу (3.14), получаем:1 ψ1 = √ φ(x) + φ(x) + O(~),21 ψ2 = √ φ(x) − φ(x) + O(~).i 299Тогда из утверждения леммы 3.1 следует, чтоihσ̂ψ1 , ψ2 i = hφ, φ − φi + O(~) = i/2 + O(~).2Что и требовалось доказать.Очевидно, что ВКБ асимптотики вида (3.14) не являются достаточно точными для вычисления интеграла в формуле (3.15), но они дают представлениео характере подынтегрального выражения. Интеграл в (3.15) — это интеграл отбыстро осциллирующей функции без стационарных точек.
Следовательно, если потенциал V (x) — гладкий, то расщепление будет стремится к нулю быстреелюбой степени ~.Если потенциал V (x) — аналитический, то асимптотику интеграла (3.15)можно найти, используя метод перевала [47]. Стационарные точки определяются из равенстваp(x1 ) = p(x2 ) = 0,то есть совпадают с комплексными точками поворота уравнения (3.9). Следовательно, основной вклад в величину расщепления дают комплексные точкиповорота, что согласуется с общей теорией надбарьерного отражения [29,37–39].Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3.
Тогда, переходя в формуле (3.15) из x в p-представление, получаем∆ = 2(1 + O(~)) Im∞XṼ (n) ×n=1n Xψ̃1 (n − k + 1)ψ̃2 (k − 1) + ψ̃1 (n − k)ψ̃2 (k) , (3.18)k=1где f˜(k) — k-ый коэффициент разложения функции f (x) в ряд Фурье:Z 2π1f˜(k) =f (x)e−ikx dx.2π 0Доказательство. Так как потенциал V (x) — действительная функция, получаем, чтоṼ (−n) = Ṽ (n).Следовательно,V (x2 ) − V (x1 ) =+∞Xn=1Ṽ (n) einx2inx1−e++∞Xn=1Ṽ (n) e−inx2 − e−inx1 .100Учитывая тригонометрическую формулуx2 − x1eix2 + eix1ctg= i ix2,2e − eix1и элементарные формулыnXeinx2 − einx1=ei(n−k)x1 ei(k−1)x2 ,eix2 − eix1k=1nXe−inx2 − e−inx1=−e−i(n−k+1)x1 e−ikx2 ,eix2 − eix1k=1получаем, что(V (x2 ) − V (x1 )) ctgгдеR(n) = Ṽ (n)nXx2 − x12=i∞ XR(n) − R(n) ,n=1ei(n−k+1)x1 ei(k−1)x2 + ei(n−k)x1 eikx2 .k=1Подставляя полученное выражение в формулу (3.15) и интегрируя по x1 и x2 ,получаем искомую формулу (3.18).Из формулы (3.18) следует, что если потенциал V (x) является тригонометрическим многочленом, или если коэффициенты Ṽ (n) убывают достаточно быстро, то основной вклад в величину расщепления дают слагаемые с конечными n и, соответственно, с импульсами p = n~, близкими к нулю.
Заметим, что импульс p = 0 является центром классически запрещенной зоны вp-представлении.3.5Квантовый маятникВ качестве примера применения теоремы 3.3 рассмотрим квантовый маятник. Гамильтониан квантового маятника имеет видĤ = −~2 d2+ γ cos(x).2 dx2Квантовый маятник является одной из базовых моделей квантовой механики [53,58,96], а стационарное уравнение Шредингера (3.9) в этом случае эквивалентно уравнению Матье. В данном разделе показано, как из общей формулы101для расщепления (теорема 3.3) можно получить квазиклассическую формулуДыхне-Симоняна (формула (3.28)).Рассмотрим пару близких собственных значений E1,2 .
Пусть соответствующие собственные функции ψ1,2 выбраны как в теореме 3.3, то есть ψ1,2 — действительны, ψ1 (x) — четная функция, а ψ2 (x) — нечетная. Тогда, подставляяпотенциал V (x) = γ cos(x) в формулу (3.18), получаем∆ = γ Im ψ̃1 (1)ψ̃2 (0) + ψ̃1 (0)ψ̃2 (1) [1 + O(~)] ,(3.19)где1ψ̃j (n) =2π2πZψj (x)e−inx dx,j = 1, 2.(3.20)0Формула для расщепления, аналогичная формуле (3.19), применялась в работе [52] при дополнительном предположении о малости потенциала по сравнениюс полной энергией, то есть при γ ∼ ~.Стационарное уравнение Шредингера (3.9) в p-представлении принимаетвидp2γψ̃(n) +ψ̃(n + 1) + ψ̃(n − 1) = E ψ̃(n),22(3.21)где p = n~. Уравнение (3.21) является рекуррентным уравнением второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами.
Используя дискретный метод ВКБ [7, 9] или операторные методы [31], можно построить формальныеасимптотические решения этого уравнения вида: Z p1ipexpx(p)dp .~ p0V 0 (x(p))Учитывая явный вид потенциала, получаемu± (n) =E (n~)2−γ2γ2!−1/4−1×1exp ±~Zn~arcch0где u+ (n) = u− (−n) и arcch(z) = ln(z +√Ep2−γ2γdp [1 + O(~)], (3.22)z 2 − 1) > 0 при z > 1.
В работах [9, 70]дано строгое обоснование подобных асимптотик. Асимптотики (3.22) справедливы в области классически запрещенных значений импульса между двумя точками поворота, то есть для n таких, что|n~| ≤ p0 − ε,102где ε > 0 — некоторое фиксированное число, а p0 и −p0 — точки поворота:p0 =p2(E − γ).Решения u± (n) являются линейно независимыми и образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.21) для заданной энергии E > γ. Разложимсостояния ψ̃1,2 по этой системе.Предложение. Состояния ψ1,2 в p-представлении имеют видψ̃1 (n) = C1 (u+ (n) + u− (n)) ,(3.23)ψ̃2 (n) = iC2 (u+ (n) − u− (n)) ,где Ci — действительные нормировочные константы:s Zω~1 p0Ep2C1 =exp −arcch−dp [1 + O(~)] ,4πγ~ 0γ2γs Zω~1 p0Ep2exp −arcch−dp [1 + O(~)] .C2 = −4πγ~ 0γ2γ(3.24)Замечание. Фундаментальная система решений u± (n) зависит от энергииE, следовательно, энергия E равна Ej в точном разложении (3.23) для ψ̃j (n).
Васимптотических формулах (3.22) и (3.24) можно положить E = (E1 +E2 )/2.Доказательство. Поскольку ψ1,2 (x) выбраны действительными, ψ1 (x) — четная функция, а ψ2 (x) — нечетная, то их коэффициенты Фурье удовлетворяютследующим соотношениям:ψ̃1 (n) = ψ̃1 (−n) = ψ̃1 (n),ψ̃2 (n) = −ψ̃2 (−n) = −ψ̃2 (n).Следовательно, справедливо разложение (3.23).Для определения нормировочных констант Ci существует несколько методов. Например, можно построить глобальные асимптотики в p-представлении,используя правила перехода через простую точку поворота, предложенные в [7].С другой стороны, нормировочные константы можно найти, переходя из x в pпредставление, избежав таким образом необходимости рассматривать асимпто-103тику состояний вблизи точек поворота.
Состояния ψ1,2 в x-представлении нормированы и имеют вид:1ψ1 (x) = √ (ϕ1 (x) + ϕ2 (x)) ,21ψ2 (x) = √ (ϕ1 (x) − ϕ2 (x)) .i 2Переходя в p-представление, получаем:Z 2π11√ (ϕ1 (x) + ϕ2 (x)) e−inx dx,ψ̃1 (n) =2π 02Z 2π11√ (ϕ1 (x) − ϕ2 (x)) e−inx dx.ψ̃2 (n) =2π 0 i 2(3.25)Построим асимптотику интегралов (3.25), используя формулы (3.11) для ϕ1,2 (x).Подынтегральное выражение в (3.25) быстро осциллирует, а стационарные точки фазы становятся комплексными, если импульс p = n~ отвечает классическизапрещенной зоне. Применяя метод перевала [47], получаемsψ̃1 (n) =ω~4πγE (n~)2−γ2γ!−1/42−1× ZEp21 p0arcch−exp −dp [1 + O(~)].
(3.26)~ n~γ2γПоскольку комплексный контур интегрирования, возникающий в методе перевала, должен лежать в области применимости асимптотик (3.11), асимптотика (3.26) справедлива для n таких, чтоε < ~n <p2(E − γ) − ε.Согласуя асимптотические формулы (3.23) и (3.26), получаем выражение дляC1 . Формулу для C2 можно получить аналогично.Подставляя асимптотику состояний ψ̃1,2 в (3.19), получаем итоговую формулу для величины туннельного расщепления энергий квантового маятника: Zω~1 p0Ep2∆=−exp −arcch−dp [1 + O(~)].π~ −p0γ2γ(3.27)Знак минус в формуле (3.27) показывает, что четное состояние ψ1 (x) обладаетбольшей энергией, чем нечетное ψ2 (x), что согласуется с общей теорией уравнения Хилла с четным потенциалом.104Интеграл в показателе экспоненты в (3.27) можно переписать иначе.
Например, если от xdp перейти к pdx, получимω~1∆=−exp −π~Zarcch(E/γ)!p2(E − γch(x))dx [1 + O(~)],(3.28)−arcch(E/γ)pгде 2(E − γch(x)) — туннельный импульс, то есть классический импульс p =p2(E − V (x)) при чисто мнимых значениях координаты x. Таким образом, интеграл в (3.27) берется по инстантону, где инстантон лежит на комплексифицированном лагранжевом многообразии p2 /2 + V (x) = E и соединяет две классические траектории движения. Точки ±p0 — это конец и начало инстантона,они лежат на классических траекториях движения с положительным и отрицательным импульсом соответственно (см.
[64]).105ЗаключениеВ настоящей диссертационной работе рассмотрена задача о построении квазиклассической асимптотики дискретного спектра и стационарных состоянийодномерного оператора Шредингера с учетом туннельных эффектов и представлен ряд новых научных результатов в задачах о координатном и импульсном туннелировании.Во второй главе диссертационной работы проведено детальное исследование резонансного туннелирования квантовой частицы в двуямном потенциалена прямой в квазиклассическом приближении, сформулирован и доказан критерий резонансного туннелирования в несимметричном двуямном потенциале,получены асимптотические формулы для величины туннельного расщепленияэнергетических уровней и асимптотические формулы для волновых функцийстационарных состояний.
Проведенный анализ позволил выявить и строго обосновать фундаментальную связь двойной локализации стационарных состоянийи величины туннельного расщепления энергетических уровней. Также былинайдены явные квазиклассические формулы для величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и для нижних энергетических уровней, идоказано, что если потенциал симметричен, то полученные формулы для величины туннельного расщепления переходят в известные формулы для симметричного двуямного потенциала.Таким образом, было построено квазиклассическое описание спектра и стационарных состояний оператора Шредингера в двуямном потенциале, учитывающее влияние туннельного эффекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
