Диссертация (1137386), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Кольцо биголоморфно эквивалентно . Отображение ↦ ∘ exp( ⋅ log ) ∶ → индуцируетизоморфизм ∶ → , который аналитически продолжается на границу.Рассмотрим точки , ∈ видаlog −1 ( )̃ ≔log log |−1 (−1 )|̃ ≔+log | log | ≔ (̃ ), ≔ (̃ ),Точка принадлежит нижней границе − ≔ ℝ/ℤ кольца , а принадлежит верхней границе + ≔ (ℝ + )/ℤ. Заметим, что ( ) — это классточки в ( ∘ ), а ( ) — класс точки −1 в ( ∘ ) (см. рис. 16).u�̃u�u�log u�u�01+u�̃u�̃u�1+u�̃↦u� ∘exp(⋅log u� )()u�−1 u� u�u�+1u�∼()u�( )Рис. 16: , , и эллиптическая кривая ().С одной стороны, эллиптическая кривая () получается в результате+склейки каждой нижней границы − кольца с верхней границей +1следующего кольца +1 по аналитическому диффеоморфизму+− ≔ −1+1 ∘ ∶ → +1 .66Пусть — проекция отрезка [̃ , ̃ ] на ().

Тогда простая замкнутая кривая⋃≔∈ℤ/(2)ℤ .имеет тот же гомотопический класс, что и , на торе ().С другой стороны, если склеить нижние границы − колец с верх+ними границами +1колец +1 по сдвигам ↦ − + +1 , мы получимдругую эллиптическую кривую ′ .Несложно доказать, что её модуль равен≔∑∈ℤ/(2)ℤ̃ − ̃ .Пусть ′ — проекция отрезка [̃ , ̃ ] на ′ .

Гомотопический класс простойзамкнутой кривой′ ≔⋃∈ℤ/(2)ℤ′на торе ′ соответствует гомотопическому классу ℝ/ℤ в ℰ (то есть еговторой образующей).Следующая лемма показывает, что мы можем заменить нетривиальныесклейки линейными отображениями.Лемма 48. Пусть rot() = /. Тогда модуль кривой ( ∘ ) 5 -близок кмодулю кривой ′ , соответствующей ∘ :1distℍ/ℤ ( ̄ (0), − ) ≤ 5 .Доказательство леммы основано на следующей оценке.Лемма 49.

Для каждого ∈ ℤ/(2)ℤ искажение отображения , соответствующего диффеоморфизму ∘ , ограничено величиной 4 .67Лемма 49 показывает, что ( ∘ ) и ′ склеены из одних и тех же колец по близким отображениям и ↦ − + +1 соответственно.Остальная часть доказательства леммы 48 чисто техническая. Мы строимквазиконформное отображение из ( ∘ ) в ′ (собственно, мы строим наборотображений из в себя), которое переводит в ′ . Затем мы оцениваемего квазиконформное отклонение, пользуясь леммой 49. Наконец, мы ссылаемся на лемму 19. Более подробное доказательство леммы 48 приведенов п. 5.10.+Доказательство леммы 49. Отображение ∶ − → +1индуцированокомпозициейu�−1u�+1u�−1u�+1ℝ ⟶ (0, +∞) ⟶ ( , +1 ) ⟶ (−∞, 0) ⟶ ℝ + +1 ,где () ≔ exp( ⋅ log ) и+1 () = exp( ⋅ log +1 ).Искажение на каждом интервале длины 1 равно | log |, что в силу леммы44 не превосходит .

Аналогичным образом, искажение +1 на каждоминтервале длины 1 не превосходит | log +1 | ≤ .Пусть — произвольная точка на ( , +1 ), и пусть ⊂ ℝ/ℤ — интервал, заключенный между точками и ∘ (). Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, чтоdis (−1 ) ≤ и−1dis (+1) ≤ .Мы докажем эти неравенства только для в случае, когда орбита —притягивающая. Остальные случаи рассматриваются так же.На интервале линеаризующее отображение есть предел отображений ≔ ( ∘ − )/ .

Так как не пересекает свои образы под действием68, из леммы Данжуа (см. лемму 43) следует, чтоdis = dis ∘ ≤ .Переходя к пределу при → ∞, мы получаем неравенство dis ≤ , чтои требовалось.Доказательство леммы 35. Без потери общности будем считать, что 0 =0. В силу леммы 40, для всякого близкого к нулю > 0 точка ̄ () остаётся внутри диска в ℍ/ℤ, который касается вещественной оси в точке /.Лемма 46 показывает, что ̄ u� (0) = (̄ u� )∘u� (0).

Поэтому достаточно доказать,что кривая (̄ u� )∘u� (0) стремится к 0, касаясь отрезка [0, ) ∈ ℝ/ℤ и оставаясьмежду какими-то двумя орициклами в 0. По лемме 48, расстояние в метрике Пуанкаре в ℍ/ℤ между точками (̄ u� )∘u� (0) и −1/ (где соответствуетотображению ∘ ) равномерно ограничено, когда > 0 стремится к нулю.Итак, достаточно доказать, что мнимая часть ограничена, а вещественная часть стремится к −∞.Мы видоизменяем обозначения п. 5.5. Теперь у нас есть семейство ∘гиперболических диффеоморфизмов, rot(∘ ) = 0, ∈ (0, ]. Для = 0отображение 0 = не гиперболическое.Как и в п.

5.5, для каждого > 0 пусть (), ∈ ℤ/(2ℤ), — всенеподвижные точки ∘ , пусть , — их мультипликаторы, а , — линеаризующие карты. При правильной нумерации () голоморфно зависят от, и ≔ lim () — все гиперболические неподвижные точки ∘ . Тогда→0 ≔ lim , — их мультипликаторы, а ≔ lim , — их линеаризующие→0→0карты.

Сходимость линеаризующих карт, вообще говоря, имеет место только в окрестностях гиперболических особых точек .Теперь мы хотим определить набор точек так, чтобы они не зависелиот (это — основное преимущество новых обозначений перед обозначения-69ми п. 5.5).Для всякого ∈ ℤ/(2)ℤ пусть — точка отрезка ( , +1 ), длякоторой• ∘ ( ) ∈ ( , ) если притягивает (то есть чётно) и• ∘ ( ) ∈ ( , +1 ) если отталкивает (то есть нечётно).Это в точности условия из п.

5.5 для отображения ∘ с числом вращенияrot( ∘ ) = 0, но тут ∘ не гиперболическое. Так как параболические неподвижные точки исчезают при росте , график ∘ лежит над диагональювблизи этих точек. Значит, каждая параболическая неподвижная точка ∘лежит внутри интервала вида ( , +1 ), где — репеллер, а +1 — аттрактор.Положим,̃−1log ,( )≔,log ,,̃−1log |,(−1 )|≔+log ,| log , |и ≔∑∈ℤ/(2)ℤ,̃ − ,̃ .Это определение согласуется с обозначениями леммы 48. равно числу из леммы 48, соответствующему ∘ .Осталось доказать, что мнимая часть ограничена, а вещественнаястремится к −∞.Мнимая часть равна сумме модулей mod :Im(,̃ )=0иIm(,̃ )=| log , |⟶>0,→0,| log |Как видно, она остаётся ограниченной при → 0, > 0.Если у ∘ нет параболических неподвижных точек на интервале ( , +1 ),−1то ,→ −1 на интервале ( , +1 ).

Поэтому Re(,̃ ) и Re(,+1̃) ограни-чены. Если же у ∘ есть параболическая точка на этом интервале, то 70−1— репеллер, а +1 — аттрактор. Заметим, что из величин log ,( ) и−1log |,+1( )| либо одна стремится к +∞ (а другая ограничена), либо обестремятся к +∞. Так как log , → log > 0 и log ,+1 → log +1 < 0, вобоих случаях имеемRe(,+1̃− ,̃ )⟶>0,→0−∞.Это завершает доказательство.5.8. Непрерывность граничной функции ̄Теперь докажем лемму 42. Достаточно доказать, что ̄ непрерывно вточке = 0.Иррациональное число вращенияЕсли rot() иррационально, то ̄ (0) = rot() по определению ̄ .

Пусть ⊂ ℝ/ℤ — достаточно маленькая окрестность нуля, так что для всякого ∈ периоды периодических орбит не меньше . Тогда для любого ∈ либо ̄ () = rot( ), либо (в силу леммы 40)∣̄ () − rot( )∣ ≤.2 2Поэтому кривая ̄ () лежит внутри /(2 2 )-окрестности множества { rot( )Отсюда следует утверждение леммы, так как отображение ↦ rot( )непрерывно.Рациональное число вращенияДостаточно доказать, чтоlim ̄ () =>0,→0= ̄ (0).71Действительно, если применить этот результат к диффеоморфизму ↦−(−), мы получимlim ̄ () =<0,→0= ̄ (0).(подробнее см. замечание 36). Возможны следующие случаи.1.

— гиперболический диффеоморфизм. Тогда непрерывность ̄ в 0сразу следует из теоремы 6.2. имеет хотя бы одну параболическую орбиту.• 0 не является левым концом пузыря, то есть все -периодическиеорбиты исчезают при росте (rot( ) > / для всех > 0). Вэтом случае доказательство в точности такое же, как и для случаяиррационального числа вращения.• 0 — вещественный левый конец пузыря. Тогда утверждение леммы следует из леммы 34.• 0 — комплексный левый конец пузыря. Тогда утверждение леммыследует из леммы 35.Лемма 42 доказана.5.9. Доказательство теоремы 8Отображениеℂ/ℤ ∋ ↦ exp(2) ∈ ℂ − { 0 }— изоморфизм римановых поверхностей. Оно сопрягает ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤс голоморфной функцией ∶ − { 0 } → − { 0 }, а ̄ ∶ ℝ/ℤ → ℍ/ℤ — с72непрерывной функцией ℎ ∶ → . Так как функция ограничена, онаголоморфно продолжается в 0.

Как мы показали выше,для почти всех ∈ ℝ/ℤlim (2 ) = ℎ(2 ).→1,<1Поэтому теорема 8 следует из такого классического результата.Лемма 50. Пусть ∶ → ℂ — ограниченная голоморфная функция, аℎ ∶ → ℂ — непрерывная функция, причемдля почти всех ∈ ℝ/ℤlim (2 ) = ℎ(2 ).→1,<1Тогда ℎ продолжает до непрерывной функции замкнутого диска .Доказательство. Вещественная и мнимая часть — гармонические функции. По формуле Пуассона (примененной по отдельности к Re и Im ), длялюбого || < выполнено равенство21() =∫ ( ) ( , ) ,2 0(11)где — ядро Пуассона2 − 2 ( , ) = 2. + 2 − 2 cos( − )Выражение под интегралом в равенстве (11) ограничено при → 1 и почти всюду стремится к ℎ( ) ( , ).

Характеристики

Список файлов диссертации