Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 9

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 9 страницаДиссертация (1137386) страница 92019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Кольцо биголоморфно эквивалентно . Отображение ↦ ∘ exp( ⋅ log ) ∶ → индуцируетизоморфизм ∶ → , который аналитически продолжается на границу.Рассмотрим точки , ∈ видаlog −1 ( )̃ ≔log log |−1 (−1 )|̃ ≔+log | log | ≔ (̃ ), ≔ (̃ ),Точка принадлежит нижней границе − ≔ ℝ/ℤ кольца , а принадлежит верхней границе + ≔ (ℝ + )/ℤ. Заметим, что ( ) — это классточки в ( ∘ ), а ( ) — класс точки −1 в ( ∘ ) (см. рис. 16).u�̃u�u�log u�u�01+u�̃u�̃u�1+u�̃↦u� ∘exp(⋅log u� )()u�−1 u� u�u�+1u�∼()u�( )Рис. 16: , , и эллиптическая кривая ().С одной стороны, эллиптическая кривая () получается в результате+склейки каждой нижней границы − кольца с верхней границей +1следующего кольца +1 по аналитическому диффеоморфизму+− ≔ −1+1 ∘ ∶ → +1 .66Пусть — проекция отрезка [̃ , ̃ ] на ().

Тогда простая замкнутая кривая⋃≔∈ℤ/(2)ℤ .имеет тот же гомотопический класс, что и , на торе ().С другой стороны, если склеить нижние границы − колец с верх+ними границами +1колец +1 по сдвигам ↦ − + +1 , мы получимдругую эллиптическую кривую ′ .Несложно доказать, что её модуль равен≔∑∈ℤ/(2)ℤ̃ − ̃ .Пусть ′ — проекция отрезка [̃ , ̃ ] на ′ .

Гомотопический класс простойзамкнутой кривой′ ≔⋃∈ℤ/(2)ℤ′на торе ′ соответствует гомотопическому классу ℝ/ℤ в ℰ (то есть еговторой образующей).Следующая лемма показывает, что мы можем заменить нетривиальныесклейки линейными отображениями.Лемма 48. Пусть rot() = /. Тогда модуль кривой ( ∘ ) 5 -близок кмодулю кривой ′ , соответствующей ∘ :1distℍ/ℤ ( ̄ (0), − ) ≤ 5 .Доказательство леммы основано на следующей оценке.Лемма 49.

Для каждого ∈ ℤ/(2)ℤ искажение отображения , соответствующего диффеоморфизму ∘ , ограничено величиной 4 .67Лемма 49 показывает, что ( ∘ ) и ′ склеены из одних и тех же колец по близким отображениям и ↦ − + +1 соответственно.Остальная часть доказательства леммы 48 чисто техническая. Мы строимквазиконформное отображение из ( ∘ ) в ′ (собственно, мы строим наборотображений из в себя), которое переводит в ′ . Затем мы оцениваемего квазиконформное отклонение, пользуясь леммой 49. Наконец, мы ссылаемся на лемму 19. Более подробное доказательство леммы 48 приведенов п. 5.10.+Доказательство леммы 49. Отображение ∶ − → +1индуцированокомпозициейu�−1u�+1u�−1u�+1ℝ ⟶ (0, +∞) ⟶ ( , +1 ) ⟶ (−∞, 0) ⟶ ℝ + +1 ,где () ≔ exp( ⋅ log ) и+1 () = exp( ⋅ log +1 ).Искажение на каждом интервале длины 1 равно | log |, что в силу леммы44 не превосходит .

Аналогичным образом, искажение +1 на каждоминтервале длины 1 не превосходит | log +1 | ≤ .Пусть — произвольная точка на ( , +1 ), и пусть ⊂ ℝ/ℤ — интервал, заключенный между точками и ∘ (). Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, чтоdis (−1 ) ≤ и−1dis (+1) ≤ .Мы докажем эти неравенства только для в случае, когда орбита —притягивающая. Остальные случаи рассматриваются так же.На интервале линеаризующее отображение есть предел отображений ≔ ( ∘ − )/ .

Так как не пересекает свои образы под действием68, из леммы Данжуа (см. лемму 43) следует, чтоdis = dis ∘ ≤ .Переходя к пределу при → ∞, мы получаем неравенство dis ≤ , чтои требовалось.Доказательство леммы 35. Без потери общности будем считать, что 0 =0. В силу леммы 40, для всякого близкого к нулю > 0 точка ̄ () остаётся внутри диска в ℍ/ℤ, который касается вещественной оси в точке /.Лемма 46 показывает, что ̄ u� (0) = (̄ u� )∘u� (0).

Поэтому достаточно доказать,что кривая (̄ u� )∘u� (0) стремится к 0, касаясь отрезка [0, ) ∈ ℝ/ℤ и оставаясьмежду какими-то двумя орициклами в 0. По лемме 48, расстояние в метрике Пуанкаре в ℍ/ℤ между точками (̄ u� )∘u� (0) и −1/ (где соответствуетотображению ∘ ) равномерно ограничено, когда > 0 стремится к нулю.Итак, достаточно доказать, что мнимая часть ограничена, а вещественная часть стремится к −∞.Мы видоизменяем обозначения п. 5.5. Теперь у нас есть семейство ∘гиперболических диффеоморфизмов, rot(∘ ) = 0, ∈ (0, ]. Для = 0отображение 0 = не гиперболическое.Как и в п.

5.5, для каждого > 0 пусть (), ∈ ℤ/(2ℤ), — всенеподвижные точки ∘ , пусть , — их мультипликаторы, а , — линеаризующие карты. При правильной нумерации () голоморфно зависят от, и ≔ lim () — все гиперболические неподвижные точки ∘ . Тогда→0 ≔ lim , — их мультипликаторы, а ≔ lim , — их линеаризующие→0→0карты.

Сходимость линеаризующих карт, вообще говоря, имеет место только в окрестностях гиперболических особых точек .Теперь мы хотим определить набор точек так, чтобы они не зависелиот (это — основное преимущество новых обозначений перед обозначения-69ми п. 5.5).Для всякого ∈ ℤ/(2)ℤ пусть — точка отрезка ( , +1 ), длякоторой• ∘ ( ) ∈ ( , ) если притягивает (то есть чётно) и• ∘ ( ) ∈ ( , +1 ) если отталкивает (то есть нечётно).Это в точности условия из п.

5.5 для отображения ∘ с числом вращенияrot( ∘ ) = 0, но тут ∘ не гиперболическое. Так как параболические неподвижные точки исчезают при росте , график ∘ лежит над диагональювблизи этих точек. Значит, каждая параболическая неподвижная точка ∘лежит внутри интервала вида ( , +1 ), где — репеллер, а +1 — аттрактор.Положим,̃−1log ,( )≔,log ,,̃−1log |,(−1 )|≔+log ,| log , |и ≔∑∈ℤ/(2)ℤ,̃ − ,̃ .Это определение согласуется с обозначениями леммы 48. равно числу из леммы 48, соответствующему ∘ .Осталось доказать, что мнимая часть ограничена, а вещественнаястремится к −∞.Мнимая часть равна сумме модулей mod :Im(,̃ )=0иIm(,̃ )=| log , |⟶>0,→0,| log |Как видно, она остаётся ограниченной при → 0, > 0.Если у ∘ нет параболических неподвижных точек на интервале ( , +1 ),−1то ,→ −1 на интервале ( , +1 ).

Поэтому Re(,̃ ) и Re(,+1̃) ограни-чены. Если же у ∘ есть параболическая точка на этом интервале, то 70−1— репеллер, а +1 — аттрактор. Заметим, что из величин log ,( ) и−1log |,+1( )| либо одна стремится к +∞ (а другая ограничена), либо обестремятся к +∞. Так как log , → log > 0 и log ,+1 → log +1 < 0, вобоих случаях имеемRe(,+1̃− ,̃ )⟶>0,→0−∞.Это завершает доказательство.5.8. Непрерывность граничной функции ̄Теперь докажем лемму 42. Достаточно доказать, что ̄ непрерывно вточке = 0.Иррациональное число вращенияЕсли rot() иррационально, то ̄ (0) = rot() по определению ̄ .

Пусть ⊂ ℝ/ℤ — достаточно маленькая окрестность нуля, так что для всякого ∈ периоды периодических орбит не меньше . Тогда для любого ∈ либо ̄ () = rot( ), либо (в силу леммы 40)∣̄ () − rot( )∣ ≤.2 2Поэтому кривая ̄ () лежит внутри /(2 2 )-окрестности множества { rot( )Отсюда следует утверждение леммы, так как отображение ↦ rot( )непрерывно.Рациональное число вращенияДостаточно доказать, чтоlim ̄ () =>0,→0= ̄ (0).71Действительно, если применить этот результат к диффеоморфизму ↦−(−), мы получимlim ̄ () =<0,→0= ̄ (0).(подробнее см. замечание 36). Возможны следующие случаи.1.

— гиперболический диффеоморфизм. Тогда непрерывность ̄ в 0сразу следует из теоремы 6.2. имеет хотя бы одну параболическую орбиту.• 0 не является левым концом пузыря, то есть все -периодическиеорбиты исчезают при росте (rot( ) > / для всех > 0). Вэтом случае доказательство в точности такое же, как и для случаяиррационального числа вращения.• 0 — вещественный левый конец пузыря. Тогда утверждение леммы следует из леммы 34.• 0 — комплексный левый конец пузыря. Тогда утверждение леммыследует из леммы 35.Лемма 42 доказана.5.9. Доказательство теоремы 8Отображениеℂ/ℤ ∋ ↦ exp(2) ∈ ℂ − { 0 }— изоморфизм римановых поверхностей. Оно сопрягает ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤс голоморфной функцией ∶ − { 0 } → − { 0 }, а ̄ ∶ ℝ/ℤ → ℍ/ℤ — с72непрерывной функцией ℎ ∶ → . Так как функция ограничена, онаголоморфно продолжается в 0.

Как мы показали выше,для почти всех ∈ ℝ/ℤlim (2 ) = ℎ(2 ).→1,<1Поэтому теорема 8 следует из такого классического результата.Лемма 50. Пусть ∶ → ℂ — ограниченная голоморфная функция, аℎ ∶ → ℂ — непрерывная функция, причемдля почти всех ∈ ℝ/ℤlim (2 ) = ℎ(2 ).→1,<1Тогда ℎ продолжает до непрерывной функции замкнутого диска .Доказательство. Вещественная и мнимая часть — гармонические функции. По формуле Пуассона (примененной по отдельности к Re и Im ), длялюбого || < выполнено равенство21() =∫ ( ) ( , ) ,2 0(11)где — ядро Пуассона2 − 2 ( , ) = 2. + 2 − 2 cos( − )Выражение под интегралом в равенстве (11) ограничено при → 1 и почти всюду стремится к ℎ( ) ( , ).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее