Диссертация (1137386), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть {1 } и {1 } — соседние притягивающая и отталкивающая периодические орбиты отображения , причем дуги (1 , 1 )не содержат точек периодических орбит отображения . Возьмем точку1 ∈ [11 , 11 ] ⊂ 1 . Будем последовательно выбирать точки так, чтобы( , 1 ) > ((−1 ), 1 ),( , (−1 )) < , = 2, 3, … , − 1,(5)где — расстояние вдоль окружности.Если число взято достаточно маленьким, то точки близки к точкам (1 ) (но сдвинуты в сторону репеллеров: ∈ ((−1 ), 1 )).

Тогда28(1 , 11 ) > ((−1 ), 11 ), т.е. равенство (5) выполнено и для = 1. Действительно, (1 , 11 ) > ( (1 ), 11 ), а расстояние ((−1 ), (1 )) мало.Все прообразы −1 ( ) включим в искомый набор { } и проведем аналогичную процедуру для всех пар соседних периодических орбит отображения . Набор { } = ∩ ℝ построен.Построим систему карт в окрестности вещественной прямой, в которыхотображение линейно.Пусть {11 , … , 1 } — периодическая орбита отображения с мультипликатором .

Тогда ( − )(1 ) = 1 для некоторого целого числа . Вокрестности точки 11 ∈ ℝ рассмотрим аналитическую карту 11 , котораялинеаризует отображение − и сохраняет вещественную ось. Такая карта существует по классической теореме Шрёдера—Кёнига (см. [9], [8], [6],а современное доказательство см. в [17, гл.

1, разд. 5D]). В окрестностяхточек 11 + , ∈ ℤ, возьмем карты, отличающиеся от 11 сдвигом на .В окрестностях точек 1 + , ≠ 1, возьмем такие карты u�1 , чтобыотображение в картах u�1 (в прообразе) и u�+1(в образе) действовало1√умножением на u� . Тогда отображение в картах u�1 (в прообразе) и 11 (в√образе) тоже будет действовать умножением на u� . Такое построение проведем для всех периодических орбит отображения . Распространим каждуюкарту u�u� из окрестности периодической точки в окрестность отрезка вещественной прямой, пользуясь итерациями отображения − , так, чтобы вточках из набора { } соседние карты перекрывались.Таким образом, в окрестности вещественной оси возникает атлас карт,в которых отображение линейно.

Теперь построим семейство кривых (см. рис. 9).В каждой из карт u�1 , соответствующих точкам периодической орбиты1{11 , … , 1 }, возьмем по дуге окружности Γ u� так, чтобы выполнялись следу-29Рис. 9: Кривая и ее образ; / = 1/2. В действительности при малых кривая расположена гораздо ближе к вещественной прямойющие условия:1• концы дуги Γ u� — ближайшие к 1 (слева и справа) точки набора { };1• в системах координат u�1 дуги Γ u� подобны;• радиусы дуг непрерывно зависят от и стремятся к бесконечности при → 0;• дуги лежат ниже вещественной оси, если периодическая орбита {1 }притягивает, и выше — если отталкивает.1Пусть орбита {11 , … , 1 } притягивающая. Рассмотрим дуги (Γ u� ) и1u�+1Γ .Для концов этих дуг выполнено равенство (5).

Это значит, что оба111конца дуги Γ u�+1 расположены ближе к точке +1, чем концы дуги (Γ u� ).11u�u�+1Но эти дуги подобны в карте u�+1подобны в картах1 , так как дуги Γ и Γu�1 и u�+11 , а отображение в этих картах линейно. Значит, дуги не пересе1каются.

Так как обе дуги лежат ниже вещественной оси, то образ дуги Γ u�1под действием отображения лежит выше дуги Γ u�+1 . Случай отталкива1ющей орбиты рассматривается аналогично, и в этом случае образ дуги Γ u�1под действием отображения тоже лежит выше дуги Γ u�+1 .Заметим также, что дуги и их образы стремятся к вещественной прямой в метрике 1 (а не только 0 ). Значит, при достаточно малом они30однозначно проектируются на вещественную ось в исходной карте.Такое построение проведем для всех периодических орбит отображения. Мы получим семейство кривых , которые являются объединениями всехдуг, построенных для всех периодических орбит отображения .По построению для семейства при малых первое и второе утверждения леммы выполнены. Проверим третье утверждение, т.е. пять свойствиз п.

3.1. Первые три из них очевидны. Четвертое и пятое свойство достаточно проверить для = 0: действительно, кривая ( ) + лежит вышекривой ( ), так как ( ) однозначно проектируется на вещественную ось.Вблизи вещественной прямой отображение инъективно, так как аналитическое продолжение отображения −1 ∶ ℝ → ℝ обратно к . Значит,образ ( ) (а также ( ) + ) кривой при малых — несамопересекающаяся кривая.1При малых образ дуги Γ u� расположен вблизи образа ее проекции1на вещественную ось, а значит, может пересекаться только с дугой Γ u�+1или дугами соседних периодических орбит. Но дуги соседних периодических11орбит лежат по другую сторону от вещественной оси, а (Γ u� ) и Γ u�+1 непересекаются по построению.

Значит, ( ) и не пересекаются. Четвертоесвойство проверено.11Так как кривая (Γ u� ) лежит выше кривой Γ u�+1 , то кривая ( ) лежитвыше кривой . Пятое свойство проверено.Лемма 18. Пусть семейство кривых , ∈ (0, ], непрерывно зависит от в 0 -топологии и эллиптические кривые Бюффа ( , + ) определены.Тогда модуль ̄ ( , + ) не зависит от .Доказательство. Напомним, что комплексная структура на торе (0 , +) определяется с помощью отображения + + на окрестности 31кривой 0 .

Значит, из включения ⊂ следует, что (0 , + ) = ( , + ).Так как кривая непрерывно зависит от , в некоторой окрестностилюбой точки 0 ∈ (0, ] выполняется соотношение ⊂ . Значит, функция̄ ( , + ) постоянна в этой окрестности. Следовательно, она постояннана (0, ].Доказательство лемм закончено. Тем самым закончено и доказательство теоремы 6.324. Комплексное число вращения в параболическомслучаеЭтот параграф основан на второй части статьи [16].

Здесь доказанатеорема 7:Теорема. Пусть — аналитический диффеоморфизм окружности, имеющий изолированные периодические орбиты. Пусть, кроме того, хотя быодна из периодических орбит диффеоморфизма является параболической.Тогдаlim () = rot().→04.1. План доказательства теоремы 7Доказательство следует той же схеме, что и доказательство основнойтеоремы в статье [5]. Мы используем следующую теорему, позволяющуюоценить расстояние между модулями эллиптических кривых в метрике Пуанкаре в верхней полуплоскости, если между этими кривыми есть квазиконформный гомеоморфизм с известным квазиконформным отклонением.Теорема 19. Пусть существует -квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми 1 и 2 .

Тогдаdistℍ ( (1 ), (2 )) ≤ log ,где distℍ — расстояние в метрике Пуанкаре в верхней полуплоскости ℍ, а (1 ) ∈ ℍ и (2 ) ∈ ℍ — модули кривых относительно соответствующихобразующих 1 (1 ) и 1 (2 ).Доказательство теоремы 19 можно найти в статье Молдавского [19],оно получено из результатов, содержащихся в книге Альфорса [13, гл. III,D].33Доказательство теоремы 7. Сначала мы приведем доказательство теоремы в частном случае, когда число вращения диффеоморфизма равно нулю. Общий случай отличается только техническими деталями.Случай нулевого числа вращения rot() = 0.Леммы, касающиеся этого случая, собраны в п.

4.3. Доказательствотеоремы состоит из трех частей.Шаг 1. Сведение общего случая к случаю включаемого диффеоморфизма = 1 .Мы заменим исходное семейство эллиптических кривых ≔ ( )̃ = ( ), где — поднятие на прясемейством эллиптических кривых мую диффеоморфизма , включаемого в поток аналитического векторногополя.Определение 20.

Диффеоморфизм окружности называется включаемым, если он представим в виде отображения потока за время 1 некоторогоаналитического векторного поля : = 1 .Для этого (см. следствие 27) мы построим квазиконформный гомеомор̃ , отклонение = () кофизм между эллиптическими кривыми и торого равномерно ограничено по при → 0. Оказывается, что для этогодостаточно построить билипшицево сопряжение между и (см. лемму 22).Затем мы применим теорему 19. Мы получим, что расстояние в метрике Пу̃ )]анкаре в верхней полуплоскости между модулями кривых ℍ [ ( ), (равномерно ограничено.̃ ) = 0 влечет за собой равенствоА в таком случае равенство lim (→0lim ( ) = 0 = rot() (это следует из свойств метрики Пуанкаре в верхней→0полуплоскости).

Тем самым общий случай мы свели к случаю включаемого34диффеоморфизма.Шаг 2. Переход к другому семейству эллиптических кривых.Изменим конструкцию эллиптической кривой. А именно, рассмотримсемейство эллиптических кривых , полученных факторизацией полосы1по отображениям ↦ +1 и ↦ +(). Здесь через мы обозначили ана-литическое продолжение поля из шага 1. Формальное построение кривых приведено в начале п. 4.3.В лемме 28 построено семейство квазиконформных гомеоморфизмов̃ → , отклонение которых равномерно ограничено по при → 0.ℎ ∶ Как и на предыдущем шаге доказательства, теперь нам достаточно доказатьравенство lim ( ) = 0.→0Шаг 3. Вычисление модулей вспомогательного семейства эллиптическихкривых.Модули семейства можно посчитать в явном виде, после чего вычисляется предел lim ( ) (см. лемму 29).

Этот предел оказывается равным→0нулю, что завершает доказательство теоремы.Случай произвольного рационального числа вращения rot() = /.Главное техническое отличие этого случая от случая нулевого числа вращения состоит в том, что вместо включаемых диффеоморфизмовокружности мы рассматриваем псевдовключаемые диффеоморфизмы.Определение 21. Диффеоморфизм окружности с числом вращения /называется псевдовключаемым, если он представим в виде = 1 + /, где — аналитическое 1/-периодическое поле на окружности.Шаг 1.

Сведение общего случая к случаю псевдовключаемого диффеоморфизма = 1 + /.35В лемме 30 мы докажем, что любой диффеоморфизм с числом вращения / билипшицево сопряжен псевдовключаемому. Как и в случае нулевого числа вращения, из этого будет следовать близость модулей кривых̃ = ( ) (см. следствие 31 и теорему 19).( ) и Итак, мы свели общий случай к случаю псевдовключаемого диффеоморфизма.Шаг 2.

Характеристики

Список файлов диссертации