Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 4

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 4 страницаДиссертация (1137386) страница 42019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть {1 } и {1 } — соседние притягивающая и отталкивающая периодические орбиты отображения , причем дуги (1 , 1 )не содержат точек периодических орбит отображения . Возьмем точку1 ∈ [11 , 11 ] ⊂ 1 . Будем последовательно выбирать точки так, чтобы( , 1 ) > ((−1 ), 1 ),( , (−1 )) < , = 2, 3, … , − 1,(5)где — расстояние вдоль окружности.Если число взято достаточно маленьким, то точки близки к точкам (1 ) (но сдвинуты в сторону репеллеров: ∈ ((−1 ), 1 )).

Тогда28(1 , 11 ) > ((−1 ), 11 ), т.е. равенство (5) выполнено и для = 1. Действительно, (1 , 11 ) > ( (1 ), 11 ), а расстояние ((−1 ), (1 )) мало.Все прообразы −1 ( ) включим в искомый набор { } и проведем аналогичную процедуру для всех пар соседних периодических орбит отображения . Набор { } = ∩ ℝ построен.Построим систему карт в окрестности вещественной прямой, в которыхотображение линейно.Пусть {11 , … , 1 } — периодическая орбита отображения с мультипликатором .

Тогда ( − )(1 ) = 1 для некоторого целого числа . Вокрестности точки 11 ∈ ℝ рассмотрим аналитическую карту 11 , котораялинеаризует отображение − и сохраняет вещественную ось. Такая карта существует по классической теореме Шрёдера—Кёнига (см. [9], [8], [6],а современное доказательство см. в [17, гл.

1, разд. 5D]). В окрестностяхточек 11 + , ∈ ℤ, возьмем карты, отличающиеся от 11 сдвигом на .В окрестностях точек 1 + , ≠ 1, возьмем такие карты u�1 , чтобыотображение в картах u�1 (в прообразе) и u�+1(в образе) действовало1√умножением на u� . Тогда отображение в картах u�1 (в прообразе) и 11 (в√образе) тоже будет действовать умножением на u� . Такое построение проведем для всех периодических орбит отображения . Распространим каждуюкарту u�u� из окрестности периодической точки в окрестность отрезка вещественной прямой, пользуясь итерациями отображения − , так, чтобы вточках из набора { } соседние карты перекрывались.Таким образом, в окрестности вещественной оси возникает атлас карт,в которых отображение линейно.

Теперь построим семейство кривых (см. рис. 9).В каждой из карт u�1 , соответствующих точкам периодической орбиты1{11 , … , 1 }, возьмем по дуге окружности Γ u� так, чтобы выполнялись следу-29Рис. 9: Кривая и ее образ; / = 1/2. В действительности при малых кривая расположена гораздо ближе к вещественной прямойющие условия:1• концы дуги Γ u� — ближайшие к 1 (слева и справа) точки набора { };1• в системах координат u�1 дуги Γ u� подобны;• радиусы дуг непрерывно зависят от и стремятся к бесконечности при → 0;• дуги лежат ниже вещественной оси, если периодическая орбита {1 }притягивает, и выше — если отталкивает.1Пусть орбита {11 , … , 1 } притягивающая. Рассмотрим дуги (Γ u� ) и1u�+1Γ .Для концов этих дуг выполнено равенство (5).

Это значит, что оба111конца дуги Γ u�+1 расположены ближе к точке +1, чем концы дуги (Γ u� ).11u�u�+1Но эти дуги подобны в карте u�+1подобны в картах1 , так как дуги Γ и Γu�1 и u�+11 , а отображение в этих картах линейно. Значит, дуги не пересе1каются.

Так как обе дуги лежат ниже вещественной оси, то образ дуги Γ u�1под действием отображения лежит выше дуги Γ u�+1 . Случай отталкива1ющей орбиты рассматривается аналогично, и в этом случае образ дуги Γ u�1под действием отображения тоже лежит выше дуги Γ u�+1 .Заметим также, что дуги и их образы стремятся к вещественной прямой в метрике 1 (а не только 0 ). Значит, при достаточно малом они30однозначно проектируются на вещественную ось в исходной карте.Такое построение проведем для всех периодических орбит отображения. Мы получим семейство кривых , которые являются объединениями всехдуг, построенных для всех периодических орбит отображения .По построению для семейства при малых первое и второе утверждения леммы выполнены. Проверим третье утверждение, т.е. пять свойствиз п.

3.1. Первые три из них очевидны. Четвертое и пятое свойство достаточно проверить для = 0: действительно, кривая ( ) + лежит вышекривой ( ), так как ( ) однозначно проектируется на вещественную ось.Вблизи вещественной прямой отображение инъективно, так как аналитическое продолжение отображения −1 ∶ ℝ → ℝ обратно к . Значит,образ ( ) (а также ( ) + ) кривой при малых — несамопересекающаяся кривая.1При малых образ дуги Γ u� расположен вблизи образа ее проекции1на вещественную ось, а значит, может пересекаться только с дугой Γ u�+1или дугами соседних периодических орбит. Но дуги соседних периодических11орбит лежат по другую сторону от вещественной оси, а (Γ u� ) и Γ u�+1 непересекаются по построению.

Значит, ( ) и не пересекаются. Четвертоесвойство проверено.11Так как кривая (Γ u� ) лежит выше кривой Γ u�+1 , то кривая ( ) лежитвыше кривой . Пятое свойство проверено.Лемма 18. Пусть семейство кривых , ∈ (0, ], непрерывно зависит от в 0 -топологии и эллиптические кривые Бюффа ( , + ) определены.Тогда модуль ̄ ( , + ) не зависит от .Доказательство. Напомним, что комплексная структура на торе (0 , +) определяется с помощью отображения + + на окрестности 31кривой 0 .

Значит, из включения ⊂ следует, что (0 , + ) = ( , + ).Так как кривая непрерывно зависит от , в некоторой окрестностилюбой точки 0 ∈ (0, ] выполняется соотношение ⊂ . Значит, функция̄ ( , + ) постоянна в этой окрестности. Следовательно, она постояннана (0, ].Доказательство лемм закончено. Тем самым закончено и доказательство теоремы 6.324. Комплексное число вращения в параболическомслучаеЭтот параграф основан на второй части статьи [16].

Здесь доказанатеорема 7:Теорема. Пусть — аналитический диффеоморфизм окружности, имеющий изолированные периодические орбиты. Пусть, кроме того, хотя быодна из периодических орбит диффеоморфизма является параболической.Тогдаlim () = rot().→04.1. План доказательства теоремы 7Доказательство следует той же схеме, что и доказательство основнойтеоремы в статье [5]. Мы используем следующую теорему, позволяющуюоценить расстояние между модулями эллиптических кривых в метрике Пуанкаре в верхней полуплоскости, если между этими кривыми есть квазиконформный гомеоморфизм с известным квазиконформным отклонением.Теорема 19. Пусть существует -квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми 1 и 2 .

Тогдаdistℍ ( (1 ), (2 )) ≤ log ,где distℍ — расстояние в метрике Пуанкаре в верхней полуплоскости ℍ, а (1 ) ∈ ℍ и (2 ) ∈ ℍ — модули кривых относительно соответствующихобразующих 1 (1 ) и 1 (2 ).Доказательство теоремы 19 можно найти в статье Молдавского [19],оно получено из результатов, содержащихся в книге Альфорса [13, гл. III,D].33Доказательство теоремы 7. Сначала мы приведем доказательство теоремы в частном случае, когда число вращения диффеоморфизма равно нулю. Общий случай отличается только техническими деталями.Случай нулевого числа вращения rot() = 0.Леммы, касающиеся этого случая, собраны в п.

4.3. Доказательствотеоремы состоит из трех частей.Шаг 1. Сведение общего случая к случаю включаемого диффеоморфизма = 1 .Мы заменим исходное семейство эллиптических кривых ≔ ( )̃ = ( ), где — поднятие на прясемейством эллиптических кривых мую диффеоморфизма , включаемого в поток аналитического векторногополя.Определение 20.

Диффеоморфизм окружности называется включаемым, если он представим в виде отображения потока за время 1 некоторогоаналитического векторного поля : = 1 .Для этого (см. следствие 27) мы построим квазиконформный гомеомор̃ , отклонение = () кофизм между эллиптическими кривыми и торого равномерно ограничено по при → 0. Оказывается, что для этогодостаточно построить билипшицево сопряжение между и (см. лемму 22).Затем мы применим теорему 19. Мы получим, что расстояние в метрике Пу̃ )]анкаре в верхней полуплоскости между модулями кривых ℍ [ ( ), (равномерно ограничено.̃ ) = 0 влечет за собой равенствоА в таком случае равенство lim (→0lim ( ) = 0 = rot() (это следует из свойств метрики Пуанкаре в верхней→0полуплоскости).

Тем самым общий случай мы свели к случаю включаемого34диффеоморфизма.Шаг 2. Переход к другому семейству эллиптических кривых.Изменим конструкцию эллиптической кривой. А именно, рассмотримсемейство эллиптических кривых , полученных факторизацией полосы1по отображениям ↦ +1 и ↦ +(). Здесь через мы обозначили ана-литическое продолжение поля из шага 1. Формальное построение кривых приведено в начале п. 4.3.В лемме 28 построено семейство квазиконформных гомеоморфизмов̃ → , отклонение которых равномерно ограничено по при → 0.ℎ ∶ Как и на предыдущем шаге доказательства, теперь нам достаточно доказатьравенство lim ( ) = 0.→0Шаг 3. Вычисление модулей вспомогательного семейства эллиптическихкривых.Модули семейства можно посчитать в явном виде, после чего вычисляется предел lim ( ) (см. лемму 29).

Этот предел оказывается равным→0нулю, что завершает доказательство теоремы.Случай произвольного рационального числа вращения rot() = /.Главное техническое отличие этого случая от случая нулевого числа вращения состоит в том, что вместо включаемых диффеоморфизмовокружности мы рассматриваем псевдовключаемые диффеоморфизмы.Определение 21. Диффеоморфизм окружности с числом вращения /называется псевдовключаемым, если он представим в виде = 1 + /, где — аналитическое 1/-периодическое поле на окружности.Шаг 1.

Сведение общего случая к случаю псевдовключаемого диффеоморфизма = 1 + /.35В лемме 30 мы докажем, что любой диффеоморфизм с числом вращения / билипшицево сопряжен псевдовключаемому. Как и в случае нулевого числа вращения, из этого будет следовать близость модулей кривых̃ = ( ) (см. следствие 31 и теорему 19).( ) и Итак, мы свели общий случай к случаю псевдовключаемого диффеоморфизма.Шаг 2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее