Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 3

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 3 страницаДиссертация (1137386) страница 32019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для каждого рационального числа / существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которого нулевой и /-й пузырь имеют общую точку.В §7 получена теорема 55 — обобщение теоремы 8 на случай произвольных монотонных3 аналитических семейств диффеоморфизмов окружности(вместо семейства + , ∈ ℝ/ℤ, рассмотренного выше). Возможно, этотрезультат поможет исследовать такие семейства. В частности, в §7 я доказываю следующую теорему.Теорема 11 (Н.Гончарук). Пусть (), ∈ (0, 1) — монотонное аналитическое семейство диффеоморфизмов окружности.

Пусть среди отображений нет гиперболических (другими словами, отображение rot( )строго монотонно — на его графике нет ступенек).Тогда rot( ) аналитически зависит от .Это аналог следующей теоремы А.Ю.Фишкина (см. [15]) для эллиптических неподвижных точек отображений плоскости. Фишкин рассматривает семейство ростков отображений плоскости вида () = 2 + ( 2 ), ∈ (ℂ, 0 ),0 ∈ ℝ.(3)При = 0 оно имеет эллиптическую неподвижную точку в нуле.Теорема 12 (А.Ю.Фишкин, [15]). Пусть локальное семейство (3) формально эквивалентно линейному в достаточно малом диске | − 0 | < .Тогда это семейство аналитически эквивалентно линейному, а именно, существует росток аналитической замены координат () в точке (, ) =(0 , 0), для которого(−1 ∘ ∘ )() = 2 .3Определение монотонных семейств дано в §7.190.200.200.150.150.100.100.050.05sin10πx, ε =0.0050.000.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.000.0060.0040.0020.000cos10πx, ε =0.0050.002 0.004 0.006Рис.

7: Возмущенный пузырь дробно-линейного отображения. Возмущенияимеют вид sin 10 и cos 10 соответственно. Вертикальный отрезок – пузырь невозмущенного отображенияТеория эллиптических особых точек близка к теории диффеоморфизмов окружности, хотя ни одна из теорий не сводится к другой. Производная в эллиптической точке соответствует числу вращения диффеоморфизма окружности; формальная линеаризуемость эллиптических ростков соответствует непрерывной сопряженности с поворотом для диффеоморфизмовокружности; аналитическая линеаризуемость эллиптических ростков соответствует аналитической сопряженности с поворотом.

Поэтому наш результат есть более слабый аналог теоремы Фишкина для диффеоморфизмовокружности.В §8 приведено описание и результаты численного эксперимента, позволяющего рисовать (с некоторой точностью) пузыри отображений, близких кдробно-линейным. Для дробно-линейного отображения пузырь только один,он растёт из нуля и имеет вид вертикального отрезка. Мы рассматриваемвозмущение такого пузыря — семейство + , где 0 дробно-линейно. Тогда ̄ u� () = ̄ 0 () + |=0 ̄ u� () + … ; оказывается, такую производную по можно вычислить явно.

Мы делаем это с помощью символьных вычислений на компьютере, и отбрасываем члены следующего порядка малости по. Две из полученных картинок приведены на рис. 7.20Наконец, в §9 (параграф основан на совместной работе с Ксавье Бюффом) мы опишем, как ведет себя отображение (), когда мнимая часть стремится к +∞. Описание даётся в терминах «константы сварки» (weldingconstant) отображения , см. определение 63 на стр. 106.Теорема 13 (К.Бюфф, Н.Гончарук). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда () = + + (1)при → +∞ в ℂ/ℤ.

Здесь — константа сварки отображения .21Обозначения и соглашения• ℍ = ℍ+ — множество комплексных чисел с положительной мнимойчастью.• ℍ− — множество комплексных чисел с отрицательной мнимой частью.• Записывая рациональное число в виде /, мы будем считать, что и взаимно просты.• Если и — две разных точки на окружности ℝ/ℤ, то (, ) — множество точек ∈ ℝ/ℤ ∖ { , }, таких что точки , , идут именно втаком порядке на окружности.

Положим [, ] ≔ (, ) ∪ { , }.• rot() ∈ ℝ/ℤ — число вращения сохраняющего ориентацию диффеоморфизма окружности .• Если ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкий диффеомофризм окружности, то ″ () ≔ ∫ ∣ ′∣ .()ℝ/ℤ• () — модуль эллиптической кривой ; если на кривой есть однаотмеченная образующая, () ∈ ℍ/ℤ; если есть две отмеченных образующих, () ∈ ℍ.223. Теорема 6 об аналитичности кривой пузыряЭтот параграф основан на статье [16].

Здесь доказана следующая теорема:Теорема. Отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность каждой точки 0 ∈ ℝ, для которой отображение + 0 гиперболическое.Мы будем считать, что 0 = 0; случай 0 ≠ 0 сводится к случаю 0 = 0заменой отображения на отображение + 0 .Доказательство теоремы существенным образом использует конструкцию, предложенную Ксавье Бюффом; конструкция описана ниже. Похожейконструкцией пользовался Рислер, см.

[7, гл. 2].3.1. Конструкция БюффаПусть — гиперболическое отображение с числом вращения /, а —его поднятие на вещественную ось. Рассмотрим полосу Π = { − < Im < },в которую аналитически продолжается отображение . Аналитическое продолжение отображения мы также будем обозначать через . Пусть { }— множество всех поднятий точек притягивающих периодических орбитотображения на прямую, { } — множество всех поднятий точек отталкивающих орбит отображения .Рассмотрим кривую и комплексное число + , удовлетворяющиеследующим пяти требованиям (существование таких кривых следует излеммы 17, доказанной ниже).1. Кривая инвариантна относительно целочисленных сдвигов ↦ +, ∈ ℤ.23Рис.

8: Конструкция Бюффа для отображения , имеющего один гиперболический аттрактор () и один гиперболический репеллер ()2. ∈ Π.3. Кривая обходит все точки из { } сверху, а все точки из { } —снизу.4. () + + — несамопересекающаяся кривая, не пересекающая .5. Кривая () + + расположена выше кривой .Тогда определена криволинейная полоса, заключенная между кривой и ее образом ()++. Факторизуем окрестность этой полосы по сдвигу ↦ + 1 и по отображению + + . Мы вновь, как и в конструкцииАрнольда, получим тор с индуцированной комплексной структурой.Таким образом, по диффеоморфизму , кривой и числу + мыпостроили эллиптическую кривую, которую мы будем обозначать через (, + ) (см.

рис. 8). На этой эллиптической кривой есть естественным образом выделенные образующие, полученные после факторизации изкривой и из кривой, соединяющей точку 0 с точкой (0) + + и идущейвнутри криволинейной полосы. Поэтому модуль (, + ) — корректноопределенное число в верхней полуплоскости, ̄ (, + ) ∈ ℍ. Если поднятие диффеоморфизма не фиксировано, то выделенной второй образующей нет и модуль корректно определен только как элемент ℍ/ℤ; мы будемего обозначать ̄ (, + ) ∈ ℍ/ℤ.24Впоследствии выяснится, что эллиптическая кривая (, + ) независит от выбора кривой в некотором семействе , и в §5 и далее мыбудем пользоваться обозначением (+ ) ≔ ( , + ) и ̄ ( + ) ≔̄ ( , + ); см. также п.

5.5.Заметим, что конструкция Арнольда является предельным случаемконструкции Бюффа, когда кривая стремится к вещественной оси. Ноу конструкции Бюффа есть существенное преимущество: полученная эллиптическая кривая может быть определена при = 0.3.2. Доказательство теоремы 6 по модулю вспомогательных леммМы докажем, что при фиксированном + кривую можно выбратьнастолько близкой к вещественной оси, что эллиптическая кривая Арнольдабудет совпадать с эллиптической кривой Бюффа.Напомним, что эллиптическая кривая Арнольда получена факторизацией полосы Π = {− < Im < +} по двум голоморфным отображениям:сдвигу ↦ + 1 и отображению + + .

Здесь — достаточно маленькоечисло, зависящее от + .Пусть кривая удовлетворяет требованиям 1—5 из п. 3.1 для числа + , причем она настолько близка к вещественной оси, что ∈ Π, () + + ∈ Π. Тогда фактормножество полосы Π по действию сдвига ↦ + 1и отображения + + является одновременно и кривой Арнольда, икривой Бюффа.В частности, для такой кривой выполнено равенство̄ (, ) = ().(4)Заметим, что кривая зависит от , и естественно ожидать, что прималых она должна быть близка к вещественной оси.25В лемме 17 будет построено семейство кривых . Эти кривые непрерывно зависят от параметра ∈ (0, ] и стремятся к вещественной оси при → 0, а эллиптические кривые Бюффа ( , ) определены при всех ⩾ 0(в том числе определены кривые ( , 0)). По лемме 18 в таком семействемодули Бюффа не зависят от выбора кривой: ̄ (1 , ) = ̄ (2 , ) длялюбых 1 , 2 ∈ (0, ].В качестве кривой в равенстве (4) возьмем кривую () из семейства , достаточно близкую к вещественной прямой.Получим, что для достаточно малых > 0 и любого значения 0 ∈ (0, ] () = ̄ (() , ) = ̄ (0 , ).Параметр 0 уже не зависит от .В лемме 16 мы покажем, что отображение модулей голоморфно вверхней полуплоскости, а отображение ̄ (, ⋅) — вблизи каждой точки своейобласти определения.

Итак, функция ̄ (0 , ⋅) определена (а значит, голоморфна) в нуле и совпадает с отображением модулей на вертикальноминтервале (0, ). Следовательно, она является аналитическим продолжением функции в некоторую окрестность нуля. Теорема доказана.Замечание 14. Значение предела lim () = ̄ (0 , 0) — модуль эллиптиче→0ской кривой (0 , 0), а значит, лежит в верхней полуплоскости.

Это даетеще одно доказательство теоремы Ильяшенко—Молдавского (см. Введение,теорема 5).3.3. Вспомогательные утверждения о конструкции БюффаПри доказательстве теоремы 6 мы использовали утверждение о голоморфности отображения модулей. Оно следует из теоремы Рислера (см. [7,гл. 2, предложение 2]).26Теорема 15 ([7]). Пусть — семейство аналитических отображений,аналитически зависящих от и определенных в окрестности вещественной оси, причем ( + 1) = () + 1. Пусть кривая инвариантна относительно целочисленных сдвигов, а ее образ под действием 0 лежитвыше нее. Факторизуем окрестность криволинейной полосы Π , заключенной между и (), ≈ 0 , по отображениям и ↦ + 1. Тогдамодуль полученной эллиптической кривой , а также униформизующееотображение для этой кривой Ψ ∶ Π → ℂ,Ψ ∘ () = Ψ () + ,Ψ ( + 1) = Ψ () + 1,Ψ (0) = 0,аналитически зависят от .Ясно, что конструкция Арнольда и конструкция Бюффа являютсячастными случаями описанной конструкции.

Заметим, что свойства 1–5 вопределении эллиптической кривой Бюффа (, + ) сохраняются прималом изменении + . Значит, если кривая Бюффа определена для некоторого числа + , то она определена и для его окрестности. Поэтому изтеоремы Рислера мы получаем такое следствие:Предложение 16 (Голоморфность отображения модулей). Значение (+) голоморфно зависит от + .Для любой кривой значение ̄ (, + ) голоморфно зависит от + в любой точке, в которой определено.В следующей лемме мы построим семейство кривых , стремящихся квещественной оси, для которых эллиптическая кривая Бюффа определена.Лемма 17. Пусть — гиперболическое отображение окружности, а —его поднятие на вещественную ось.

Рассмотрим полосу Π = { ∣ − < Im < }27в которую аналитически продолжается отображение . Тогда существует семейство кривых , ∈ (0, ], на плоскости, обладающее следующимисвойствами:1. Это семейство непрерывно (в топологии 0 ) зависит от .2. Кривые принадлежат полосе Π и в топологии 0 стремятся квещественной оси при → 0.3. Для любой кривой эллиптическая кривая Бюффа определена при = 0 и любом ⩾ 0.Наибольшую сложность при доказательстве леммы представляет доказательство требования 4 из п. 3.1.Доказательство. Пусть rot() = /. Если rot() = 0, положим = 0, = 1.Построим набор точек { } ⊂ ℝ, в которых кривые будут пересекатьвещественную ось. Этот набор не будет зависеть от .Если rot() = 0, возьмем по одной точке ∈ 1 между каждымидвумя соседними неподвижными точками отображения . Все точки −1 ( )образуют набор { }.Пусть rot() ≠ 0.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее