Диссертация (1137386), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для каждого рационального числа / существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которого нулевой и /-й пузырь имеют общую точку.В §7 получена теорема 55 — обобщение теоремы 8 на случай произвольных монотонных3 аналитических семейств диффеоморфизмов окружности(вместо семейства + , ∈ ℝ/ℤ, рассмотренного выше). Возможно, этотрезультат поможет исследовать такие семейства. В частности, в §7 я доказываю следующую теорему.Теорема 11 (Н.Гончарук). Пусть (), ∈ (0, 1) — монотонное аналитическое семейство диффеоморфизмов окружности.
Пусть среди отображений нет гиперболических (другими словами, отображение rot( )строго монотонно — на его графике нет ступенек).Тогда rot( ) аналитически зависит от .Это аналог следующей теоремы А.Ю.Фишкина (см. [15]) для эллиптических неподвижных точек отображений плоскости. Фишкин рассматривает семейство ростков отображений плоскости вида () = 2 + ( 2 ), ∈ (ℂ, 0 ),0 ∈ ℝ.(3)При = 0 оно имеет эллиптическую неподвижную точку в нуле.Теорема 12 (А.Ю.Фишкин, [15]). Пусть локальное семейство (3) формально эквивалентно линейному в достаточно малом диске | − 0 | < .Тогда это семейство аналитически эквивалентно линейному, а именно, существует росток аналитической замены координат () в точке (, ) =(0 , 0), для которого(−1 ∘ ∘ )() = 2 .3Определение монотонных семейств дано в §7.190.200.200.150.150.100.100.050.05sin10πx, ε =0.0050.000.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.000.0060.0040.0020.000cos10πx, ε =0.0050.002 0.004 0.006Рис.
7: Возмущенный пузырь дробно-линейного отображения. Возмущенияимеют вид sin 10 и cos 10 соответственно. Вертикальный отрезок – пузырь невозмущенного отображенияТеория эллиптических особых точек близка к теории диффеоморфизмов окружности, хотя ни одна из теорий не сводится к другой. Производная в эллиптической точке соответствует числу вращения диффеоморфизма окружности; формальная линеаризуемость эллиптических ростков соответствует непрерывной сопряженности с поворотом для диффеоморфизмовокружности; аналитическая линеаризуемость эллиптических ростков соответствует аналитической сопряженности с поворотом.
Поэтому наш результат есть более слабый аналог теоремы Фишкина для диффеоморфизмовокружности.В §8 приведено описание и результаты численного эксперимента, позволяющего рисовать (с некоторой точностью) пузыри отображений, близких кдробно-линейным. Для дробно-линейного отображения пузырь только один,он растёт из нуля и имеет вид вертикального отрезка. Мы рассматриваемвозмущение такого пузыря — семейство + , где 0 дробно-линейно. Тогда ̄ u� () = ̄ 0 () + |=0 ̄ u� () + … ; оказывается, такую производную по можно вычислить явно.
Мы делаем это с помощью символьных вычислений на компьютере, и отбрасываем члены следующего порядка малости по. Две из полученных картинок приведены на рис. 7.20Наконец, в §9 (параграф основан на совместной работе с Ксавье Бюффом) мы опишем, как ведет себя отображение (), когда мнимая часть стремится к +∞. Описание даётся в терминах «константы сварки» (weldingconstant) отображения , см. определение 63 на стр. 106.Теорема 13 (К.Бюфф, Н.Гончарук). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда () = + + (1)при → +∞ в ℂ/ℤ.
Здесь — константа сварки отображения .21Обозначения и соглашения• ℍ = ℍ+ — множество комплексных чисел с положительной мнимойчастью.• ℍ− — множество комплексных чисел с отрицательной мнимой частью.• Записывая рациональное число в виде /, мы будем считать, что и взаимно просты.• Если и — две разных точки на окружности ℝ/ℤ, то (, ) — множество точек ∈ ℝ/ℤ ∖ { , }, таких что точки , , идут именно втаком порядке на окружности.
Положим [, ] ≔ (, ) ∪ { , }.• rot() ∈ ℝ/ℤ — число вращения сохраняющего ориентацию диффеоморфизма окружности .• Если ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкий диффеомофризм окружности, то ″ () ≔ ∫ ∣ ′∣ .()ℝ/ℤ• () — модуль эллиптической кривой ; если на кривой есть однаотмеченная образующая, () ∈ ℍ/ℤ; если есть две отмеченных образующих, () ∈ ℍ.223. Теорема 6 об аналитичности кривой пузыряЭтот параграф основан на статье [16].
Здесь доказана следующая теорема:Теорема. Отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность каждой точки 0 ∈ ℝ, для которой отображение + 0 гиперболическое.Мы будем считать, что 0 = 0; случай 0 ≠ 0 сводится к случаю 0 = 0заменой отображения на отображение + 0 .Доказательство теоремы существенным образом использует конструкцию, предложенную Ксавье Бюффом; конструкция описана ниже. Похожейконструкцией пользовался Рислер, см.
[7, гл. 2].3.1. Конструкция БюффаПусть — гиперболическое отображение с числом вращения /, а —его поднятие на вещественную ось. Рассмотрим полосу Π = { − < Im < },в которую аналитически продолжается отображение . Аналитическое продолжение отображения мы также будем обозначать через . Пусть { }— множество всех поднятий точек притягивающих периодических орбитотображения на прямую, { } — множество всех поднятий точек отталкивающих орбит отображения .Рассмотрим кривую и комплексное число + , удовлетворяющиеследующим пяти требованиям (существование таких кривых следует излеммы 17, доказанной ниже).1. Кривая инвариантна относительно целочисленных сдвигов ↦ +, ∈ ℤ.23Рис.
8: Конструкция Бюффа для отображения , имеющего один гиперболический аттрактор () и один гиперболический репеллер ()2. ∈ Π.3. Кривая обходит все точки из { } сверху, а все точки из { } —снизу.4. () + + — несамопересекающаяся кривая, не пересекающая .5. Кривая () + + расположена выше кривой .Тогда определена криволинейная полоса, заключенная между кривой и ее образом ()++. Факторизуем окрестность этой полосы по сдвигу ↦ + 1 и по отображению + + . Мы вновь, как и в конструкцииАрнольда, получим тор с индуцированной комплексной структурой.Таким образом, по диффеоморфизму , кривой и числу + мыпостроили эллиптическую кривую, которую мы будем обозначать через (, + ) (см.
рис. 8). На этой эллиптической кривой есть естественным образом выделенные образующие, полученные после факторизации изкривой и из кривой, соединяющей точку 0 с точкой (0) + + и идущейвнутри криволинейной полосы. Поэтому модуль (, + ) — корректноопределенное число в верхней полуплоскости, ̄ (, + ) ∈ ℍ. Если поднятие диффеоморфизма не фиксировано, то выделенной второй образующей нет и модуль корректно определен только как элемент ℍ/ℤ; мы будемего обозначать ̄ (, + ) ∈ ℍ/ℤ.24Впоследствии выяснится, что эллиптическая кривая (, + ) независит от выбора кривой в некотором семействе , и в §5 и далее мыбудем пользоваться обозначением (+ ) ≔ ( , + ) и ̄ ( + ) ≔̄ ( , + ); см. также п.
5.5.Заметим, что конструкция Арнольда является предельным случаемконструкции Бюффа, когда кривая стремится к вещественной оси. Ноу конструкции Бюффа есть существенное преимущество: полученная эллиптическая кривая может быть определена при = 0.3.2. Доказательство теоремы 6 по модулю вспомогательных леммМы докажем, что при фиксированном + кривую можно выбратьнастолько близкой к вещественной оси, что эллиптическая кривая Арнольдабудет совпадать с эллиптической кривой Бюффа.Напомним, что эллиптическая кривая Арнольда получена факторизацией полосы Π = {− < Im < +} по двум голоморфным отображениям:сдвигу ↦ + 1 и отображению + + .
Здесь — достаточно маленькоечисло, зависящее от + .Пусть кривая удовлетворяет требованиям 1—5 из п. 3.1 для числа + , причем она настолько близка к вещественной оси, что ∈ Π, () + + ∈ Π. Тогда фактормножество полосы Π по действию сдвига ↦ + 1и отображения + + является одновременно и кривой Арнольда, икривой Бюффа.В частности, для такой кривой выполнено равенство̄ (, ) = ().(4)Заметим, что кривая зависит от , и естественно ожидать, что прималых она должна быть близка к вещественной оси.25В лемме 17 будет построено семейство кривых . Эти кривые непрерывно зависят от параметра ∈ (0, ] и стремятся к вещественной оси при → 0, а эллиптические кривые Бюффа ( , ) определены при всех ⩾ 0(в том числе определены кривые ( , 0)). По лемме 18 в таком семействемодули Бюффа не зависят от выбора кривой: ̄ (1 , ) = ̄ (2 , ) длялюбых 1 , 2 ∈ (0, ].В качестве кривой в равенстве (4) возьмем кривую () из семейства , достаточно близкую к вещественной прямой.Получим, что для достаточно малых > 0 и любого значения 0 ∈ (0, ] () = ̄ (() , ) = ̄ (0 , ).Параметр 0 уже не зависит от .В лемме 16 мы покажем, что отображение модулей голоморфно вверхней полуплоскости, а отображение ̄ (, ⋅) — вблизи каждой точки своейобласти определения.
Итак, функция ̄ (0 , ⋅) определена (а значит, голоморфна) в нуле и совпадает с отображением модулей на вертикальноминтервале (0, ). Следовательно, она является аналитическим продолжением функции в некоторую окрестность нуля. Теорема доказана.Замечание 14. Значение предела lim () = ̄ (0 , 0) — модуль эллиптиче→0ской кривой (0 , 0), а значит, лежит в верхней полуплоскости.
Это даетеще одно доказательство теоремы Ильяшенко—Молдавского (см. Введение,теорема 5).3.3. Вспомогательные утверждения о конструкции БюффаПри доказательстве теоремы 6 мы использовали утверждение о голоморфности отображения модулей. Оно следует из теоремы Рислера (см. [7,гл. 2, предложение 2]).26Теорема 15 ([7]). Пусть — семейство аналитических отображений,аналитически зависящих от и определенных в окрестности вещественной оси, причем ( + 1) = () + 1. Пусть кривая инвариантна относительно целочисленных сдвигов, а ее образ под действием 0 лежитвыше нее. Факторизуем окрестность криволинейной полосы Π , заключенной между и (), ≈ 0 , по отображениям и ↦ + 1. Тогдамодуль полученной эллиптической кривой , а также униформизующееотображение для этой кривой Ψ ∶ Π → ℂ,Ψ ∘ () = Ψ () + ,Ψ ( + 1) = Ψ () + 1,Ψ (0) = 0,аналитически зависят от .Ясно, что конструкция Арнольда и конструкция Бюффа являютсячастными случаями описанной конструкции.
Заметим, что свойства 1–5 вопределении эллиптической кривой Бюффа (, + ) сохраняются прималом изменении + . Значит, если кривая Бюффа определена для некоторого числа + , то она определена и для его окрестности. Поэтому изтеоремы Рислера мы получаем такое следствие:Предложение 16 (Голоморфность отображения модулей). Значение (+) голоморфно зависит от + .Для любой кривой значение ̄ (, + ) голоморфно зависит от + в любой точке, в которой определено.В следующей лемме мы построим семейство кривых , стремящихся квещественной оси, для которых эллиптическая кривая Бюффа определена.Лемма 17. Пусть — гиперболическое отображение окружности, а —его поднятие на вещественную ось.
Рассмотрим полосу Π = { ∣ − < Im < }27в которую аналитически продолжается отображение . Тогда существует семейство кривых , ∈ (0, ], на плоскости, обладающее следующимисвойствами:1. Это семейство непрерывно (в топологии 0 ) зависит от .2. Кривые принадлежат полосе Π и в топологии 0 стремятся квещественной оси при → 0.3. Для любой кривой эллиптическая кривая Бюффа определена при = 0 и любом ⩾ 0.Наибольшую сложность при доказательстве леммы представляет доказательство требования 4 из п. 3.1.Доказательство. Пусть rot() = /. Если rot() = 0, положим = 0, = 1.Построим набор точек { } ⊂ ℝ, в которых кривые будут пересекатьвещественную ось. Этот набор не будет зависеть от .Если rot() = 0, возьмем по одной точке ∈ 1 между каждымидвумя соседними неподвижными точками отображения . Все точки −1 ( )образуют набор { }.Пусть rot() ≠ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
