Диссертация (1137386), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Каждый из пузырей, соответствующих числувращения /, — аналитическая кривая в верхней полуплоскости, которая начинается и заканчивается в точке /.• Отображение () может не быть инъективным в верхней полуплоскости. Пузыри могут пересекаться и самопересекаться.10• Конструкция комплексного числа вращения, первоначально определенная для семейства диффеоморфизмов + , обобщается на случайпроизвольных монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0; результаты о непрерывности комплексно-го числа вращения вплоть до вещественной оси и об аналитичностикривой пузыря обобщаются на этот случай.1.7. Апробация результатовРезультаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.На конференциях• Международная конференция «Holomorphic foliations and complex dynamics» (Москва, Россия), июнь 2012 г., доклад «Complex rotationnumbers».• Конференция ESF «Algebraic Methods in Dynamical Systems» (Бедлево, Польша), май 2010 г., постер «The rotation number and the moduliof elliptic curves».На семинарах• Коллоквиум Oliver club, Cornell University, Итака (США), октябрь2015.• Семинар «Динамические системы» (Ю.С.Ильяшенко), МГУ, несколько докладов в разные годы (2010–2015).• Семинар «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» (С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман), Москва, Неза-11висимый московский университет, ноябрь 2014 и ноябрь 2012 г.• «Seminario de foliaciones y singularidades», UNAM, Instituto de Matemáticas, Мехико, февраль 2014.• Еженедельный семинар лаборатории алгебраической геометрии, Москва,Высшая школа экономики, апрель 2012.• Семинар по многомерному комплексному анализу (семинар Витушкина), Москва, МГУ, март 2012.• Семинар отдела дифференциальных уравнений, Москва, Математический институт им.
В.А.Стеклова, апрель 2011 и апрель 2010.• Séminaire à l’UMPA de géométrie et dynamique, ENS Lyon (Франция),апрель 2011 и февраль 2010.122. Предварительные сведенияЧисло вращения гомеоморфизма окружности ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ определяется следующим образом. Пусть ∶ ℝ → ℝ — поднятие ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ.Такое поднятие определено однозначно с точностью до прибавления целого числа. Последовательность функций1( ∘ − id) равномерно сходится кконстанте Θ. Если заменить на + , где ∈ ℤ, предел Θ заменится наΘ + , так что значение Θ, взятое по модулю 1, зависит только от . Этозначение мы будем обозначать rot() ∈ ℝ/ℤ и называть числом вращения.
Можно показать, что число вращения рационально если и только еслигомеоморфизм окружности имеет периодическую орбиту ([18, Предложение4.3.5]).В 1978 году В. И. Арнольд предложил [14, с. 224-225] конструкцию, которую Э. Рислер ([7, Глава 2]) впоследствии называл «комплексным числомвращения». Мы приводим вариант этой конструкции, незавсимо предложенный Р. М. Фёдоровым и Э. Рислером. (0) + + Im = Im = 00 (0) () + + (1) + + () 1 (1)Рис. 5: Конструкция АрнольдаЗдесь и далее ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — аналитический диффеоморфизм окружности, сохраняющий ориентацию, ∈ ℍ/ℤ — комплексный параметр. Рассмотрим отображение ≔ + , ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ + . Окружности ℝ/ℤ иℝ/ℤ + ограничивают кольцо ⊂ ℂ/ℤ.
Склеивая границы кольца поотображению , мы получим тор с индуцированной комплексной структурой, т. е. эллиптическую кривую ( ).13В группе первых гомологий 1 (( )) естественным образом выделенаобразующая — кривая ℝ/ℤ. Если выбрать поднятие диффеоморфизма на прямую, то будет выделена и другая образующая, полученная факторизацией отрезка [0, (0)]. По теореме об униформизации, эллиптическаякривая ( ) биголоморфно эквивалентна некоторой стандартной эллиптической кривой ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ) для подходящего ∈ ℍ (модуля эллиптической кривой); будем считать, что образующая ℝ/ℤ тора ( ) соответствует образующей ℝ/ℤ тора ℰ , а образующая [0, (0)] — образующей ℝ/ ℤ.Комплексное число вращения — это () ≔ .Если поднятие отображения не фиксировать, у тора ( ) выделена только первая образующая; поэтому для любого числа ∈ ℍ/ℤ корректно определена величина () ∈ ℍ/ℤ, полученная проекцией () наℍ/ℤ.
Её мы будем называть комплексным числом вращения .Комплексное число вращения — это комплексный аналог обычногочисла вращения + для ∈ ℝ/ℤ.Таким образом, мы построили отображение ∶ ℍ → ℍ, которое является поднятием отображения ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ. Оба этих отображения мыбудем называть отображениями модулей.Замечание 3. Первоначально Арнольд [14] рассматривал только чисто мнимые сдвиги: Re = 0.Пример 4. Например, если отображение — поворот окружности () = + , то () = + , то есть отображение — сдвиг на .В. И. Арнольд сформулировал следующую гипотезу:Гипотеза (В.И.Арнольд, [14]).
Если () — число вращения диффеоморфизма — диофантово, тоlim () = ().→0(2 )14Гипотеза Арнольда была доказана Э. Рислером [7, Глава 2]. Очень короткое доказательство предложил В. С. Молдавский в статье [19]. Мы приведём упрощённую версию этого доказательства в п. 5.4.Следующая естественная проблема заключалась в том, чтобы исследовать соотношение между обычным числом вращения диффеоморфизма ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ и предельным поведением комплексного числа вращения () при → 0. В частности, будет ли верным равенство (2) в случае,когда число вращения не диофантово? Например, в случае рациональногочисла вращения, когда у диффеоморфизма есть периодическая орбита?В статье [5] Ильяшенко и Молдавский показали, что для большинствадиффеоморфизмов с рациональным числом вращения (а именно, для гиперболических диффеоморфизмов) равенство (2) не выполнено.Напомним, что периодическая орбита диффеоморфизма окружностиназывается параболической, если ее мультипликатор равен 1, и гиперболической — в противном случае.
Диффеоморфизм окружности называетсягиперболическим, если у него есть периодические орбиты и все они гиперболические.Теорема 5 (Ю.С.Ильяшенко, В.С.Молдавский [5]). Пусть — гиперболический диффеоморфизм окружности. Тогда число () отделено от ℝ/ℤпри → 0.Эти результаты касаются поведения отображения (), которое первоначально рассматривал Арнольд, — отображения модулей в однопараметрическом семействе эллиптических кривых ( ).
Фёдоров предложилрасширить семейство эллиптических кривых до двупараметрического и рассмотреть отображение → (( )) множества ℍ/ℤ в себя. Как показано15в работе Э.Рислера [7, Глава 2, Предложение 2]1 , функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤголоморфна (этот результат получен из теоремы Альфорса—Берса о выпрямлении конформных структур, зависящих от параметра).Теперь сформулируем ряд теорем, доказанных в этой диссертации.Теорема 6 (Н.Гончарук; см. §3).
Отображение ↦ () аналитическипродолжается в окрестность каждой точки 0 ∈ ℝ, для которой отображение + 0 гиперболическое.Доказательство этой теоремы существенным образом использует конструкцию, предложенную Ксавье Бюффом в устной беседе с Ю. С. Ильяшенко.Теорема 7 (Н. Гончарук; см. §4). Пусть — аналитический диффеоморфизм окружности, имеющий изолированные периодические орбиты.Пусть, кроме того, хотя бы одна из периодических орбит диффеоморфизма является параболической. Тогдаlim () = rot().→0Теорема 7 была впервые доказана Ж. Лакруа, однако его доказательство не опубликовано.
Моё доказательство существенно отличается от доказательства Лакруа.Следующий более сильный результат опирается на предыдущие.Теорема 8 (К. Бюфф, Н. Гончарук; см. §5). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ —сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности.1По работе Рислера видно, что он не знал об этой конструкции и предложил её независимо от Ар-нольда как вспомогательную конструкцию для исследования обычного числа вращения.16Тогда функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ непрерывно продолжается до функциӣ ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ.
Пусть ∈ ℝ/ℤ.• Если rot( ) иррационально, то ̄ () = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄ () лежит в замкнутом дискерадиуса /(4 2 ), касающемся ℝ/ℤ в точке /.В частности, мы доказываем, что для с иррациональным числом вращения модуль () стремится к rot(), когда ∈ ℍ/ℤ стремится к нулю.Для аналитических диффеоморфизмов это даёт утвердительный ответ навопрос, поставленный Э. Жисом2 [3, с. 25].Предыдущая теорема позволяет определить новое множество («пузыри»), связанное с диффеоморфизмом окружности — в каком-то смысле, оноявляется комплексным аналогом языков Арнольда.
А именно, рассмотриммножество ̄ (ℝ/ℤ). В силу теоремы 8, это множество содержит ℝ/ℤ и счетное число петель — «пузырей». Пузыри «растут» из рациональных точекна ℝ/ℤ (см. рис. 6). В силу теоремы 6, эти петли — аналитические кривые.Можно сфомулировать большое количество естественных вопросов огеометрической структуре множества ̄ (ℝ/ℤ):1. Верно ли, что ̄ (ℝ/ℤ) — граница множества (ℍ/ℤ), и инъективно?2. Насколько большими могут быть пузыри?3. Пересекаются ли разные пузыри?4. Какой может быть форма пузыря? В частности, может ли пузырь самопересекаться?2Впрочем, Э. Жис приписывает вопрос В. Арнольду.17Рис. 6: Пузыри.
Схематическое изображение множества ̄ (ℝ/ℤ).5. Что можно сказать о форме «букета пузырей», когда несколько пузырей растут из одной и той же точки на вещественной оси (см. рис. 14на с. 51)?Мы опровергаем предположение п. (1), см. следствие 37.Теорема 8 даёт частичный ответ на вопрос из п. (2): пузырь, соответствующий rot( ) = /, лежит внутри диска радиусаu� /(4),2касающегосяℝ/ℤ в точке /. Заметим, что если диффеоморфизм 1 −близок к повороту, то /(4) близко к нулю, поэтому разные пузыри не пересекаются(ср. с п. (3)).Вопрос о форме пузырей (п. (4)) пока открыт, но наши результатыпозволяют понять, какую форму имеет участок пузыря рядом с концевымиточками (см. п.
5.1), а также привести примеры пересекающихся и самопересекающихся пузырей (см. §6).Теорема 9 (Н.Гончарук). Существует аналитический диффеоморфизмокружности , для которого нулевой пузырь самопересекается (возможно, самокасается).18Теорема 10 (Н.Гончарук).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
