Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 5

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 5 страницаДиссертация (1137386) страница 52019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Переход к другому семейству эллиптических кривых.̃ семейством эллиптических кривых , полуЗаменим семейство 1ченных факторизацией полосы по отображениям → +() + / и ↦ +1 (формально кривые определены в начале п. 4.4). Для этого в лемме̃ и и32 построены квазиконформные отображения между кривыми получена равномерная оценка для их квазиконформного отклонения.Шаг 3. Вычисление модулей вспомогательного семейства эллиптическихкривых.Теперь, как и в случае нулевого числа вращения, осталось вычислитьмодули семейства и доказать, что lim ( ) = / (см.

лемму 33).→04.2. Вспомогательные утверждения для теоремы 7Здесь мы приведем несколько утверждений, которые мы использовалипри доказательстве теоремы 7.В шаге 1 доказательства теоремы 7, при сведении общего случая кслучаю включаемого (псевдовключаемого) диффеоморфизма окружности,оказывается полезной следующая лемма (лемма 2.2 из статьи [5]):Лемма 22. Пусть 1 и 2 — аналитические диффеоморфизмы окружности, сопряженные билипшицевым гомеоморфизмом ℎ.

Пусть 1 и 2 —их поднятия на прямую. Тогда для любого > 0 эллиптические кривые36(1 + ) и (2 + ) квазиконформно эквивалентны, причем отклонениеих квазиконформного сопряжения не превосходит большей из константЛипшица отображений ℎ и ℎ−1 .По этой лемме, если построить липшицево сопряжение диффеоморфизмов окружности и , то мы получим квазиконформное сопряжение междусоответствующими эллиптическими кривыми ( ) и ( ) с равномерной оценкой для квазиконформного отклонения.

Следующие три утверждения мы будем применять при построении липшицевых сопряжений диффеоморфизмов окружности.Теорема 23 (Ф. Такенс). Любой бесконечно гладкий параболический росток ∶ (ℝ, 0) → (ℝ, 0) вида () = + +… бесконечно гладко сопряженс одним из стандартных ростков, = 1u�,u� ,, =.1 + −1Доказательство теоремы см. в статье [10].Лемма 24. Стандартные отображения , для разных (и одинаковых ) 1 -гладко сопряжены в окрестности нуля.Доказательство. Сопряжение потоков полей , и 0, можно получить,если решить уравнения ̇ =u�1+u�−1и ̇ = . Мы получим выпрямляющие11карты = − (−1)u�−1 + ln + для первого уравнения и = − (−1)u�−1 + 1для второго.

Значит, отображение, отождествляющее точки с одинаковым (например, ↦ (−(−1) − ( − 1) ln )−1/(−1) ), доопределенное нулем внуле, сопрягает потоки этих векторных полей.Посчитав производную этого отображения, легко убедиться, что в окрестности нуля она существует и непрерывна. Итак, отображения 0, и , 1 -гладко сопряжены для любого .37Следующая лемма позволяет в некоторых случаях продолжать билипшицевы сопряжения из окрестностей неподвижных точек диффеоморфизмов окружности на всю окружность.Лемма 25. Пусть — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм отрезка = [0, 1] на себя, не имеющий неподвижных точек, кроме концовотрезка; — такое 1 -гладкое векторное поле, что (0) = (1) = 0,() ≠ 0 при 0 < < 1, и поле () монотонно в окрестностях концовотрезка; = 1 — преобразование фазового потока поля за единичноевремя.Пусть отображения и сопряжены непрерывно дифференцируемыми отображениями в проколотых окрестностях концов отрезка, причемпроизводные сопрягающих отображений ограничены и отделены от нуля.Тогда существует билипшицево отображение отрезка на себя, сопрягающее с .Доказательство.

Пусть ℎ — отображение, сопрягающее и в окрестности нуля: ℎ( ()) = (ℎ()). Поскольку производная отображения ℎ ограничена и отделена от нуля, отображения ℎ и ℎ−1 липшицевы вблизи нуля.Продолжим сопряжение ℎ по формуле ℎ( ()) = (ℎ()) до сопряжения на полуинтервале [0, 1). Аналогичным образом отображение ℎ1 , сопрягающее и вблизи единицы, продолжается до сопряжения на полуинтервале (0, 1].Доопределим отображение ℎ единицей в единице, ℎ(1) = 1. Полученноеотображение сопрягает и на всем отрезке, является гладким на интервале (0, 1) и липшицевым вместе со своим обратным в точке 0.

Нам осталосьпоказать, что оно липшицево вместе со своим обратным вблизи точки 1, т.е.что производная отображения ℎ равномерно ограничена и отделена от нуляв проколотой окрестности точки 1.38Пусть поле — образ поля под действием ℎ−1 , а поле 1 — образ поля11 под действием ℎ−11 . Заметим, что тогда = = 1 .Представим ℎ′ () в видеℎ′ () =(ℎ())(ℎ1 ()) 1 () (ℎ())=()1 () () (ℎ1 ())и оценим эти отношения по отдельности.Отношение (ℎ1 ())/1 () ограничено и отделено от нуля в проколотой окрестности точки 1, так как оно равно ℎ′1 () по построению поля 1 .Отношение 1 ()/() -инвариантно:1 ( ()) ′ ()1 () ()= ′= 1.( ())() ()()В любой фундаментальной области отображения оно ограничено и отделено от нуля как отношение непрерывных и не обращающихся в 0 функций.Значит, оно ограничено и отделено от нуля на всем интервале (0, 1).Рассмотрим отношение (ℎ())/(ℎ1 ()).Будем считать, что образы любой фундаментальной области отображения под действием ℎ и ℎ1 пересекаются.

В противном случае отображениеℎ или ℎ1 можно заменить отображением ∘ ℎ или ∘ ℎ1 .Тогда выполнены неравенства −2 (ℎ1 ()) < ℎ() < 2 (ℎ1 ()).В некоторой окрестности единицы поле монотонно. Будем, например,считать, что оно возрастает (в частности, отрицательно). Тогда выполнена оценка(−2 (ℎ1 ()))(ℎ())(2 (ℎ1 ()))>>,(ℎ1 ())(ℎ1 ())(ℎ1 ())т.е.

(−2 )′ (ℎ1 ()) > (ℎ())/(ℎ1 ()) > (2 )′ (ℎ1 ()). Но в окрестности 1 производная ′ ограничена и отделена от нуля. Значит, отношение (ℎ())/(ℎ1 ())ограничено и отделено от нуля в проколотой окрестности точки 1.Итак, ℎ′ () =(ℎ1 ()) 1 () (ℎ())1 () () (ℎ1 ())лотой окрестности точки 1.ограничено и отделено от нуля в проко-39Значит, отображения ℎ и ℎ−1 липшицевы. Итак, отображения и липшицево сопряжены отображением ℎ, что и требовалось доказать.4.3. Случай нулевого числа вращенияСведение к случаю включаемого диффеоморфизмаЛемма 26. Любой аналитический диффеоморфизм окружности с нулевым числом вращения билипшицево сопряжен диффеоморфизму = 1 ,включаемому в поток аналитического векторного поля.Доказательство. Пусть отображение имеет некоторое количество гиперболических неподвижных точек 1 , … , с мультипликаторами 1 , … , (возможно, не имеет ни одной, = 0) и некоторое ненулевое количество параболических точек 1 , … , , в которых порядки касания отображения стождественным отображением равны 1 , … , соответственно.По отображению построим аналитическое векторное поле , имеющее гиперболические неподвижные точки 1 , … , с мультипликаторамиln 1 , … , ln и параболические неподвижные точки 1 , … , , в которых поле имеет нули порядков 1 , … , .

Тогда к отображениям и 1 на дугах,соединяющих соседние неподвижные точки, можно применить лемму 25.Действительно, эти отображения сопряжены в окрестностях концов дуг всилу теоремы 23 и леммы 24, если соответствующая концевая точка параболическая. Для гиперболических концевых точек можно воспользоватьсятеоремой Шрёдера—Кёнига об аналитическом выпрямлении гиперболического ростка.Значит, отображения и 1 липшицево сопряжены.Следствие 27. Пусть диффеоморфизмы окружности и удовлетво̃ = ( ) — эллиптическая кривая,ряют условию леммы 26. Пусть 40построенная с помощью конструкции Арнольда по отображению . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими̃ , отклонение которого равномерно ограничено по .кривыми и Доказательство.

Это следует из предыдущей леммы и леммы 22.Семейство эллиптических кривых и его свойстваКонструкция эллиптических кривых . Пусть = 1 — поток заединичное время аналитического поля на окружности. Поднимем поле до 1-периодического поля на прямой. Пусть поле аналитически продолжается в полосу 0 ≤ Im < . Аналитическое продолжение поля мы тожебудем обозначать через . При < через обозначим эллиптическуюкривую, получающуюся при факторизации окрестности криволинейной по11лосы между кривыми ℝ и +(ℝ) по отображениям ↦ +1 и ↦ +().Лемма 28.

При любом достаточно малом существует квазиконформ̃ = ( ), построеннойное отображение ℎ из эллиптической кривой в следствии 27, в эллиптическую кривую , отклонение которого равномерно ограничено по .Доказательство. Доказательство леммы аналогично доказательству лем1мы 3.3 из статьи [5].

Пусть = +и = 1 + .В качестве квазиконформного отображения ℎ возьмемℎ ( + ) = + +( () − ()), = −1 (),где 0 < < .В статье [5] проверено, что это отображение опускается до отображенияэллиптических кривых, а также оценено его квазиконформное отклонение: −1(ℎ ) ̄1 + ( −1 ())= sup= sup+ (1), +1(ℎ )1 − ( −1 ())41где() = ( ())′ ∣=0.Если мы докажем, что функция −() вещественна и положительна наокружности, то получим, что для малых значение дроби ( − 1)/( + 1)отделено от 1. Следовательно, значение равномерно ограничено при →0.В статье [5] получена формула для функции :() = (1, ) ∫01,( , )где функция (, ) — решение уравнения ̇ = ′ ( ()).

В неособых точках поля получаем (, ) = ( ())/() > 0, в гиперболической точкес мультипликатором имеем (, ) = > 0, в параболической имеем1(,)0(, ) = 1 > 0. Значит, функция −() = (1, ) ∫вещественна иположительна на окружности, что и требовалось.В следующей лемме мы вычислим модули эллиптических кривых и докажем равенство lim ( ) = rot() = 0. Лемма используется в шаге 3→0доказательства теоремы 7 в случае нулевого числа вращения.Лемма 29. Пусть диффеоморфизм = 1 удовлетворяет условиям теоремы 7, а поле аналитическое.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее