Диссертация (1137386), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Переход к другому семейству эллиптических кривых.̃ семейством эллиптических кривых , полуЗаменим семейство 1ченных факторизацией полосы по отображениям → +() + / и ↦ +1 (формально кривые определены в начале п. 4.4). Для этого в лемме̃ и и32 построены квазиконформные отображения между кривыми получена равномерная оценка для их квазиконформного отклонения.Шаг 3. Вычисление модулей вспомогательного семейства эллиптическихкривых.Теперь, как и в случае нулевого числа вращения, осталось вычислитьмодули семейства и доказать, что lim ( ) = / (см.
лемму 33).→04.2. Вспомогательные утверждения для теоремы 7Здесь мы приведем несколько утверждений, которые мы использовалипри доказательстве теоремы 7.В шаге 1 доказательства теоремы 7, при сведении общего случая кслучаю включаемого (псевдовключаемого) диффеоморфизма окружности,оказывается полезной следующая лемма (лемма 2.2 из статьи [5]):Лемма 22. Пусть 1 и 2 — аналитические диффеоморфизмы окружности, сопряженные билипшицевым гомеоморфизмом ℎ.
Пусть 1 и 2 —их поднятия на прямую. Тогда для любого > 0 эллиптические кривые36(1 + ) и (2 + ) квазиконформно эквивалентны, причем отклонениеих квазиконформного сопряжения не превосходит большей из константЛипшица отображений ℎ и ℎ−1 .По этой лемме, если построить липшицево сопряжение диффеоморфизмов окружности и , то мы получим квазиконформное сопряжение междусоответствующими эллиптическими кривыми ( ) и ( ) с равномерной оценкой для квазиконформного отклонения.
Следующие три утверждения мы будем применять при построении липшицевых сопряжений диффеоморфизмов окружности.Теорема 23 (Ф. Такенс). Любой бесконечно гладкий параболический росток ∶ (ℝ, 0) → (ℝ, 0) вида () = + +… бесконечно гладко сопряженс одним из стандартных ростков, = 1u�,u� ,, =.1 + −1Доказательство теоремы см. в статье [10].Лемма 24. Стандартные отображения , для разных (и одинаковых ) 1 -гладко сопряжены в окрестности нуля.Доказательство. Сопряжение потоков полей , и 0, можно получить,если решить уравнения ̇ =u�1+u�−1и ̇ = . Мы получим выпрямляющие11карты = − (−1)u�−1 + ln + для первого уравнения и = − (−1)u�−1 + 1для второго.
Значит, отображение, отождествляющее точки с одинаковым (например, ↦ (−(−1) − ( − 1) ln )−1/(−1) ), доопределенное нулем внуле, сопрягает потоки этих векторных полей.Посчитав производную этого отображения, легко убедиться, что в окрестности нуля она существует и непрерывна. Итак, отображения 0, и , 1 -гладко сопряжены для любого .37Следующая лемма позволяет в некоторых случаях продолжать билипшицевы сопряжения из окрестностей неподвижных точек диффеоморфизмов окружности на всю окружность.Лемма 25. Пусть — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм отрезка = [0, 1] на себя, не имеющий неподвижных точек, кроме концовотрезка; — такое 1 -гладкое векторное поле, что (0) = (1) = 0,() ≠ 0 при 0 < < 1, и поле () монотонно в окрестностях концовотрезка; = 1 — преобразование фазового потока поля за единичноевремя.Пусть отображения и сопряжены непрерывно дифференцируемыми отображениями в проколотых окрестностях концов отрезка, причемпроизводные сопрягающих отображений ограничены и отделены от нуля.Тогда существует билипшицево отображение отрезка на себя, сопрягающее с .Доказательство.
Пусть ℎ — отображение, сопрягающее и в окрестности нуля: ℎ( ()) = (ℎ()). Поскольку производная отображения ℎ ограничена и отделена от нуля, отображения ℎ и ℎ−1 липшицевы вблизи нуля.Продолжим сопряжение ℎ по формуле ℎ( ()) = (ℎ()) до сопряжения на полуинтервале [0, 1). Аналогичным образом отображение ℎ1 , сопрягающее и вблизи единицы, продолжается до сопряжения на полуинтервале (0, 1].Доопределим отображение ℎ единицей в единице, ℎ(1) = 1. Полученноеотображение сопрягает и на всем отрезке, является гладким на интервале (0, 1) и липшицевым вместе со своим обратным в точке 0.
Нам осталосьпоказать, что оно липшицево вместе со своим обратным вблизи точки 1, т.е.что производная отображения ℎ равномерно ограничена и отделена от нуляв проколотой окрестности точки 1.38Пусть поле — образ поля под действием ℎ−1 , а поле 1 — образ поля11 под действием ℎ−11 . Заметим, что тогда = = 1 .Представим ℎ′ () в видеℎ′ () =(ℎ())(ℎ1 ()) 1 () (ℎ())=()1 () () (ℎ1 ())и оценим эти отношения по отдельности.Отношение (ℎ1 ())/1 () ограничено и отделено от нуля в проколотой окрестности точки 1, так как оно равно ℎ′1 () по построению поля 1 .Отношение 1 ()/() -инвариантно:1 ( ()) ′ ()1 () ()= ′= 1.( ())() ()()В любой фундаментальной области отображения оно ограничено и отделено от нуля как отношение непрерывных и не обращающихся в 0 функций.Значит, оно ограничено и отделено от нуля на всем интервале (0, 1).Рассмотрим отношение (ℎ())/(ℎ1 ()).Будем считать, что образы любой фундаментальной области отображения под действием ℎ и ℎ1 пересекаются.
В противном случае отображениеℎ или ℎ1 можно заменить отображением ∘ ℎ или ∘ ℎ1 .Тогда выполнены неравенства −2 (ℎ1 ()) < ℎ() < 2 (ℎ1 ()).В некоторой окрестности единицы поле монотонно. Будем, например,считать, что оно возрастает (в частности, отрицательно). Тогда выполнена оценка(−2 (ℎ1 ()))(ℎ())(2 (ℎ1 ()))>>,(ℎ1 ())(ℎ1 ())(ℎ1 ())т.е.
(−2 )′ (ℎ1 ()) > (ℎ())/(ℎ1 ()) > (2 )′ (ℎ1 ()). Но в окрестности 1 производная ′ ограничена и отделена от нуля. Значит, отношение (ℎ())/(ℎ1 ())ограничено и отделено от нуля в проколотой окрестности точки 1.Итак, ℎ′ () =(ℎ1 ()) 1 () (ℎ())1 () () (ℎ1 ())лотой окрестности точки 1.ограничено и отделено от нуля в проко-39Значит, отображения ℎ и ℎ−1 липшицевы. Итак, отображения и липшицево сопряжены отображением ℎ, что и требовалось доказать.4.3. Случай нулевого числа вращенияСведение к случаю включаемого диффеоморфизмаЛемма 26. Любой аналитический диффеоморфизм окружности с нулевым числом вращения билипшицево сопряжен диффеоморфизму = 1 ,включаемому в поток аналитического векторного поля.Доказательство. Пусть отображение имеет некоторое количество гиперболических неподвижных точек 1 , … , с мультипликаторами 1 , … , (возможно, не имеет ни одной, = 0) и некоторое ненулевое количество параболических точек 1 , … , , в которых порядки касания отображения стождественным отображением равны 1 , … , соответственно.По отображению построим аналитическое векторное поле , имеющее гиперболические неподвижные точки 1 , … , с мультипликаторамиln 1 , … , ln и параболические неподвижные точки 1 , … , , в которых поле имеет нули порядков 1 , … , .
Тогда к отображениям и 1 на дугах,соединяющих соседние неподвижные точки, можно применить лемму 25.Действительно, эти отображения сопряжены в окрестностях концов дуг всилу теоремы 23 и леммы 24, если соответствующая концевая точка параболическая. Для гиперболических концевых точек можно воспользоватьсятеоремой Шрёдера—Кёнига об аналитическом выпрямлении гиперболического ростка.Значит, отображения и 1 липшицево сопряжены.Следствие 27. Пусть диффеоморфизмы окружности и удовлетво̃ = ( ) — эллиптическая кривая,ряют условию леммы 26. Пусть 40построенная с помощью конструкции Арнольда по отображению . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими̃ , отклонение которого равномерно ограничено по .кривыми и Доказательство.
Это следует из предыдущей леммы и леммы 22.Семейство эллиптических кривых и его свойстваКонструкция эллиптических кривых . Пусть = 1 — поток заединичное время аналитического поля на окружности. Поднимем поле до 1-периодического поля на прямой. Пусть поле аналитически продолжается в полосу 0 ≤ Im < . Аналитическое продолжение поля мы тожебудем обозначать через . При < через обозначим эллиптическуюкривую, получающуюся при факторизации окрестности криволинейной по11лосы между кривыми ℝ и +(ℝ) по отображениям ↦ +1 и ↦ +().Лемма 28.
При любом достаточно малом существует квазиконформ̃ = ( ), построеннойное отображение ℎ из эллиптической кривой в следствии 27, в эллиптическую кривую , отклонение которого равномерно ограничено по .Доказательство. Доказательство леммы аналогично доказательству лем1мы 3.3 из статьи [5].
Пусть = +и = 1 + .В качестве квазиконформного отображения ℎ возьмемℎ ( + ) = + +( () − ()), = −1 (),где 0 < < .В статье [5] проверено, что это отображение опускается до отображенияэллиптических кривых, а также оценено его квазиконформное отклонение: −1(ℎ ) ̄1 + ( −1 ())= sup= sup+ (1), +1(ℎ )1 − ( −1 ())41где() = ( ())′ ∣=0.Если мы докажем, что функция −() вещественна и положительна наокружности, то получим, что для малых значение дроби ( − 1)/( + 1)отделено от 1. Следовательно, значение равномерно ограничено при →0.В статье [5] получена формула для функции :() = (1, ) ∫01,( , )где функция (, ) — решение уравнения ̇ = ′ ( ()).
В неособых точках поля получаем (, ) = ( ())/() > 0, в гиперболической точкес мультипликатором имеем (, ) = > 0, в параболической имеем1(,)0(, ) = 1 > 0. Значит, функция −() = (1, ) ∫вещественна иположительна на окружности, что и требовалось.В следующей лемме мы вычислим модули эллиптических кривых и докажем равенство lim ( ) = rot() = 0. Лемма используется в шаге 3→0доказательства теоремы 7 в случае нулевого числа вращения.Лемма 29. Пусть диффеоморфизм = 1 удовлетворяет условиям теоремы 7, а поле аналитическое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
