Диссертация (1137386)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиГОНЧАРУК Наталия БорисовнаДиффеоморфизмы окружностии комплексная динамика01.01.02 – “Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управление”Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук, профессорИльяшенко Юлий СергеевичМосква — 20152Оглавление1.Введение . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32.Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123.Теорема 6 об аналитичности кривой пузыря . . . . . . . . . .224.Комплексное число вращения в параболическом случае . . .325.Теорема 8 о непрерывном продолжении отображения модулейдо границы . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476.Пересечение и самопересечение пузырей . . . . . . . . . . . .807.Комплексное число вращения в монотонных семействах диффеоморфизмов окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .868.Пузыри дробно-линейных отображений и их возмущения . .939.Поведение комплексного числа вращения вблизи +∞ . . . . 10610.Заключение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231. Введение1.1. Актуальность темы и степень разработанности проблемыДиссертационная работа посвящена изучению комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности.Теория динамических систем с дискретным временем изучает итерацииотображения ∶ → некоторого пространства в себя.
Один из самыхпростых примеров динамической системы — это гомеоморфизм окружности ∶ 1 → 1 . Изучение динамики на окружности началось с работ А.Пуанкаре; он же предложил определение числа вращения гомеоморфизмаокружности.Определение. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности, ∶ ℝ → ℝ — его поднятие на вещественную ось.Тогда число вращения равно1 ∘( () − ),→∞ rot = limrot ∈ ℝ/ℤгде предел существует и не зависит от точки .Как показал А.
Данжуа [2], для 2 -гладких диффеоморфизмов окружности возможны два типа поведения:• или диффеоморфизм непрерывно сопряжен иррациональному повороту ↦ + (тогда число вращения иррационально и равно ),• или диффеоморфизм имеет -периодическую орбиту (тогда число вращения рационально со знаменателем ).В семействах диффеоморфизмов окружности вида + число вращенияrot( + ) непрерывно зависит от и растет с ростом . Оказывается, в4rot( + )101Рис. 1: График функции ↦ rot( + ) для () = +12sin 2Рис.
2: Языки Арнольда для семейства + , где () = + sin 2типичном семействе такого вида (например, для () = + sin 2) график отображения ↦ rot( + ) имеет счетное число ступенек (см. рис. 1),где число вращения локально постоянно и рационально. Ступеньки возникают тогда, когда + имеет периодическую орбиту с неединичныммультипликатором: такая орбита сохраняется при малом изменении . Длясемейств диффеоморфизмов окружности вида + В.
И. Арнольд предложил рассматривать множество тех параметров на плоскости 0, которые соответствуют ступенькам на графиках ↦ rot( + ) — множество{ (, ) ∣ rot( + ) ∈ ℚ/ℤ }, см. рис. 2. Это множество носит название языкиАрнольда: каждый язык { (, ) ∣ rot( + ) = / } растет из точки = /на оси 0.5Следующее определение предложил В.И.Арнольд в 1978 г.[14].Определение 1. По аналитическому диффеоморфизму окружности икомплексному числу в верхней полуплоскости, ∈ ℍ, построим эллиптическую кривую — фактор-пространство кольца { ∈ ℂ/ℤ ∣ 0 < Im < Im }по отображению + . Модуль этой эллиптической кривой () ∈ ℍ/ℤ называется комплексным числом вращения отображения + .Im = Im Im = 0 (0) + 0 (0) () + () (1) + 1 (1)Рис.
3: Конструкция Арнольда (в поднятии с ℂ/ℤ на ℂ)Верна следующая гипотеза В. И. Арнольда (1978 г.):lim () = rot(), если rot() диофантово.→0(1)Гипотеза была доказана независимо в работах Э. Рислера[7] и В. Молдавского[19]; доказательство опирается на теорему Арнольда – Эрмана – Йоккозао выпрямлении аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения.Вопрос о предельном поведении вблизи вещественной оси, такжевосходящий к В. И. Арнольду, изучался в следующих работах.Э. Рислер.[7] Доказана аналитичность в верхней полуплоскости.В.Молдавский.[19] Независимо от Э.Рислера получено элементарное доказательство гипотезы Арнольда.Ю. Ильяшенко и В. Молдавский.[5] Доказано, что если диффеоморфизм имеет рациональное число вращения и все его периодические орбиты6гиперболические (имеют мультипликаторы, отличные от 1), то равенство (1) не выполнено; напротив, величина () отделена от ℝ/ℤ.Ж.
Лакруа (не опубликовано). Доказано, что если диффеоморфизм имеет рациональное число вращения и по крайней мере одну параболическую периодическую орбиту (орбиту с мультипликатором 1), торавенство (1) выполнено.Вопрос о значении предела lim () = rot() для лиувиллевого чис→0ла вращения был включен Э.Жисом в его список проблем о динамике наокружности[3].В диссертационной работе проведено полное исследование предельногоповедения комплексного числа вращения вблизи вещественной оси (частьрезультатов получена в соавторстве с К.Бюффом). Доказано, что комплексное число вращения продолжается на вещественную ось, то есть продол̄̄жается до непрерывного отображения ̄ ∶ ℍ/ℤ→ ℍ/ℤ.В частности, получен ответ на вопрос Э.Жиса.
Результаты исследований позволяют определить новое интересное множество ̄ (ℝ/ℤ), связанное с диффеоморфизмомокружности — «пузыри» (см. рис. 4), которое является комплексным аналогом языков Арнольда.Определение 2. Пусть ∈ ℝ/ℤ — максимальный по включению интервал,для которого все отображения окружности +, ∈ , имеют гиперболические периодические орбиты и не имеют параболических орбит.
В частности,rot( + ) постоянно и рационально на этом интервале, rot( + ) = /.Тогда ̄ () — пузырь, соответствующий числу вращения /.В силу результатов диссертации (теорема 6), в окрестности любой внутренней точке отрезка отображение ̄ аналитическое, поэтому пузырь —аналитическая кривая в верхней полуплоскости. Из теоремы 8 следует, что7эта кривая начинается и заканчивается в точке / (пузырь растет из точки/).Рассмотрим отрезок на вещественной оси, для которого + имеетпостоянное рациональное число вращения /. Этот отрезок состоит изнескольких (возможно, одного) интервалов, внутри каждого из которыхотображение + гиперболическое, а на концах которых имеет параболическую орбиту.
Под действием отображения ̄ каждый из таких интерваловпереходит в пузырь, поэтому каждому числу вращения может соответствовать несколько пузырей, растущих из точки /.Множество ̄ (ℝ/ℤ) есть объединение всех пузырей и вещественной оси(в силу теоремы 8).В работе изучена геометрическая структура «пузырей», в том числе спомощью численного эксперимента: а именно, описано поведение «пузырей»вблизи вещественной оси, изучен вопрос о пересечении и самопересечениипузырей.Рис. 4: Пузыри.
Схематическое изображение множества ̄ (ℝ/ℤ).Наконец, мы изучаем поведение () вдали от вещественной оси, когда8мнимая часть стремится к +∞.Таким образом, исследования, проведённые в работе, открывают и описывают новое множество («пузыри»), связанное с семействами диффеоморфизмов окружности. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по теории дифференциальных уравнений и динамических систем.1.2.
Цель работыЦелью работы являлось всестороннее исследование комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности.1.3. Научная новизна работыВсе результаты диссертации являются новыми. Основные результатызаключаются в следующем.• Доказана непрерывная продолжимость комплексного числа вращенияна вещественную ось. Установлена связь этого продолжения с обычным числом вращения.• Для семейства аналитических диффеоморфизмов окружности + введен новый объект — «пузыри», комплексный аналог языков Арнольда. Частично изучена его геометрическая структура, в том числес помощью численного эксперимента.• Часть полученных результатов обобщены на случай монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0.91.4.
Теоретическая и практическая значимость работыРабота носит теоретический характер. Введенный в работе новый объект (пузыри) может оказаться не менее интересным, чем известные языкиАрнольда. Полученные результаты применимы для изучения обычного числа вращения в семействах диффеоморфизмов окружности (как уже былосделано в работе [7]). Разработанные методы могут оказаться полезными висследованиях по голоморфной динамике на комплексной плоскости.1.5. Методы исследованияВ диссертации применяются методы комплексного анализа, метод контроля искажений (лемма Данжуа), а также метод квазиконформных отображений, основанный на теореме Альфорса – Берса о выпрямлении конформных структур.1.6.
Положения, выносимые на защитуВ диссертации доказаны следующие теоремы.• Комплексное число вращения непрерывно продолжается на вещественную ось, то есть продолжается до непрерывного отображения̄̄̄ ∶ ℍ/ℤ→ ℍ/ℤ.• Образ вещественной оси ̄ (ℝ/ℤ) состоит из вещественной оси и пузырей (см. определение 2).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
