Автореферат (1137385)
Текст из файла
На правах рукописиГончарук Наталия БорисовнаДиффеоморфизмы окружности и комплексная динамикаСпециальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеАвтореферат диссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2015Работа выполнена на факультете математики Национальногоисследовательского университета ”Высшая Школа Экономики”.Научный руководитель: доктор физико-математических наук,профессор Юлий Сергеевич Ильяшенко.Официальные оппоненты:Воронин Сергей Михайлович, доктор физико-математическихнаук, профессор Челябинского государственного университета;Клепцын Виктор Алексеевич, кандидат физико-математическихнаук, chargé de recherches (1er classe) CNRS, Institut de RechercheMathématique de Rennes.Ведущая организация: Математический институт им.
В. А. Стеклова Российской академии наук.Защита состоитсяна заседании диссертационного совета Д 002.077.03на базе ИППИ РАНБольшой Каретный пер., д. 19, стр. 1, Москва, ГСП-4, 127994.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАНАвтореферат разослан «»Учёный секретарьдиссертационного советадоктор физико-математических наукСоболевский А. Н.2016 г.1Общая характеристика работы1. Актуальность темы и степень разработанностипроблемыДиссертационная работа посвящена изучению комплексногочисла вращения для диффеоморфизмов окружности.Теория динамических систем с дискретным временем изучает итерации отображения ∶ → некоторого пространства всебя. Один из самых простых примеров динамической системы —это гомеоморфизм окружности ∶ 1 → 1 .
Изучение динамикина окружности началось с работ А. Пуанкаре; он же предложилопределение числа вращения гомеоморфизма окружности.Определение. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности, ∶ ℝ → ℝ — его поднятие навещественную ось. Тогда число вращения равно1 ∘( () − ),→∞ rot = limrot ∈ ℝ/ℤгде предел существует и не зависит от точки .Как показал А. Данжуа,1 для 2 -гладких диффеоморфизмов окружности возможны два типа поведения :1A.
DENJOY. “Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore”.In : J. Math. Pures Appl. 9e Sér. 11 (1932), p. 333–376 .2• или диффеоморфизм непрерывно сопряжен иррациональному повороту ↦ + (тогда число вращения иррационально и равно ),• или диффеоморфизм имеет -периодическую орбиту (тогдачисло вращения рационально со знаменателем ).В семействах диффеоморфизмов окружности вида + числовращения rot( + ) непрерывно зависит от и растет с ростом .Оказывается, в типичном семействе такого вида (например, для() = + sin 2) график отображения ↦ rot( + ) имеетсчетное число ступенек (см.
рис. 1), где число вращения локально постоянно и рационально. Ступеньки возникают тогда, когда + имеет периодическую орбиту с неединичным мультипликатором : такая орбита сохраняется при малом изменении . Для семейств диффеоморфизмов окружности вида + В. И. Арнольдпредложил рассматривать множество тех параметров на плоскости 0, которые соответствуют ступенькам на графиках ↦rot( + ) — множество { (, ) ∣ rot( + ) ∈ ℚ/ℤ }, см. рис. 2.Это множество носит название языки Арнольда : каждый язык{ (, ) ∣ rot( + ) = / } растет из точки = / на оси 0.Следующее определение предложил В.И.Арнольд в 1978 г..2Определение 1.
По аналитическому диффеоморфизму окруж2В. И. Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. 4-е изд. Москва : Издательство МЦНМО, 2012 .3rot( + )101Рис. 1. График функции ↦ rot( + ) для () = +12u�sin 2Рис. 2. Языки Арнольда для семейства u� + , где u� () = + sin 24ности и комплексному числу в верхней полуплоскости, ∈ ℍ,построим эллиптическую кривую — фактор-пространство кольца{ ∈ ℂ/ℤ ∣ 0 < Im < Im } по отображению + . Модуль этойэллиптической кривой () ∈ ℍ/ℤ называется комплексным числом вращения отображения + .Im = Im Im = 0 (0) + 0 (0) () + () (1) + 1 (1)Рис.
3. Конструкция Арнольда (в поднятии с ℂ/ℤ на ℂ)Верна следующая гипотеза В. И. Арнольда (1978 г.) :lim () = rot(), если rot() диофантово.→0(1)Гипотеза была доказана независимо в работах Э. Рислера3 и В. Молдавского ;4 доказательство опирается на теорему Арнольда – Эрмана – Йоккоза о выпрямлении аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения.Вопрос о предельном поведении вблизи вещественной оси,также восходящий к В.
И. Арнольду, изучался в следующих работах.3E. RISLER. “Linéarisation des perturbations holomorphes des rotations et applications”.In : Mémoires de la S.M.F. 2e sér. 77 (1999), p. 1–102 .4В. С. Молдавский. “Модули эллиптических кривых и числа вращения диффеомор-физмов окружности”. В : Функц. анализ и его прил. 35.3 (2001), с. 88—91 .5Э.
Рислер.5 Доказана аналитичность в верхней полуплоскости.В.Молдавский.6 Независимо от Э.Рислера получено элементарное доказательство гипотезы Арнольда.Ю. Ильяшенко и В. Молдавский.7 Доказано, что если диффеоморфизм имеет рациональное число вращения и всеего периодические орбиты гиперболические (имеют мультипликаторы, отличные от 1), то равенство (1) не выполнено ;напротив, величина () отделена от ℝ/ℤ.Ж. Лакруа (не опубликовано). Доказано, что если диффеоморфизм имеет рациональное число вращения и по крайней мере одну параболическую периодическую орбиту (орбиту с мультипликатором 1), то равенство (1) выполнено.Вопрос о значении предела lim () = rot() для лиувилле→0вого числа вращения был включен Э.Жисом в его список проблемо динамике на окружности.85Risler, см.
сн. 3.6Молдавский, см. сн. 4.7Y. Ilyashenko and V. Moldavskis. “Morse-Smale circle diffeomorphisms and moduli of com-plex tori”. In : Moscow Mathematical Journal 3.2 (April-June 2003), pp. 531–540 .8É. Ghys. Groups acting on the circle : a selection of open problems. Лекция на открытиивесенней школы « Groups and Dynamics » в Les Diablerets. Mar. 9, 2008. URL : http ://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/diablerets.pdf .6В диссертационной работе проведено полное исследованиепредельного поведения комплексного числа вращения вблизи вещественной оси (часть результатов получена в соавторстве с К.Бюффом). Доказано, что комплексное число вращения продолжается на вещественную ось, то есть продолжается до непрерывно̄̄го отображения ̄ ∶ ℍ/ℤ→ ℍ/ℤ.В частности, получен ответ навопрос Э.Жиса. Результаты исследований позволяют определитьновое интересное множество ̄ (ℝ/ℤ), связанное с диффеоморфизмом окружности — « пузыри » (см. рис. 4), которое является комплексным аналогом языков Арнольда.Определение 2.
Пусть ∈ ℝ/ℤ — максимальный по включениюинтервал, для которого все отображения окружности +, ∈ ,имеют гиперболические периодические орбиты и не имеют параболических орбит. В частности, rot( +) постоянно и рационально на этом интервале, rot( + ) = /.Тогда ̄ () — пузырь, соответствующий числу вращения/.В силу результатов диссертации (теорема 6), в окрестностилюбой внутренней точке отрезка отображение ̄ аналитическое,поэтому пузырь — аналитическая кривая в верхней полуплоскости. Из теоремы 8 следует, что эта кривая начинается и заканчивается в точке / (пузырь растет из точки /).Рассмотрим отрезок на вещественной оси, для которого +7имеет постоянное рациональное число вращения /. Этот отрезок состоит из нескольких (возможно, одного) интервалов, внутри каждого из которых отображение + гиперболическое, ана концах которых имеет параболическую орбиту.
Под действием отображения ̄ каждый из таких интервалов переходит в пузырь, поэтому каждому числу вращения может соответствоватьнесколько пузырей, растущих из точки /.Множество ̄ (ℝ/ℤ) есть объединение всех пузырей и вещественной оси (в силу теоремы 8).В работе изучена геометрическая структура « пузырей », втом числе с помощью численного эксперимента : а именно, описано поведение « пузырей » вблизи вещественной оси, изучен вопросо пересечении и самопересечении пузырей.Рис. 4.
Пузыри. Схематическое изображение множества u�̄ (ℝ/ℤ).8Наконец, мы изучаем поведение () вдали от вещественнойоси, когда мнимая часть стремится к +∞.Таким образом, исследования, проведённые в работе, открывают и описывают новое множество (« пузыри »), связанное с семействами диффеоморфизмов окружности.
Это обстоятельствоотносит диссертацию к кругу актуальных исследований по теории дифференциальных уравнений и динамических систем.2. Цель работыЦелью работы являлось всестороннее исследование комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности.3. Научная новизна работыВсе результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.• Доказана непрерывная продолжимость комплексного числа вращения на вещественную ось. Установлена связь этогопродолжения с обычным числом вращения.• Для семейства аналитических диффеоморфизмов окружности + введен новый объект — « пузыри », комплексныйаналог языков Арнольда.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
