Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1137385), страница 2

Файл №1137385 Автореферат (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 2 страницаАвтореферат (1137385) страница 22019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Частично изучена его геометри-9ческая структура, в том числе с помощью численного эксперимента.• Часть полученных результатов обобщены на случай монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0.4. Теоретическая и практическая значимость работыРабота носит теоретический характер. Введенный в работеновый объект (пузыри) может оказаться не менее интересным,чем известные языки Арнольда. Полученные результаты применимы для изучения обычного числа вращения в семействах диффеоморфизмов окружности (как уже было сделано в работе9 ).Разработанные методы могут оказаться полезными в исследованиях по голоморфной динамике на комплексной плоскости.5.

Методы исследованияВ диссертации применяются методы комплексного анализа,метод контроля искажений (лемма Данжуа), а также метод квазиконформных отображений, основанный на теореме Альфорса –Берса о выпрямлении конформных структур.9Risler, см. сн. 3.106. Положения, выносимые на защитуВ диссертации доказаны следующие теоремы.• Комплексное число вращения непрерывно продолжаетсяна вещественную ось, то есть продолжается до непрерывно̄̄го отображения ̄ ∶ ℍ/ℤ→ ℍ/ℤ.• Образ вещественной оси ̄ (ℝ/ℤ) состоит из вещественнойоси и пузырей (см.

определение 2). Каждый из пузырей, соответствующих числу вращения /, — аналитическая кривая в верхней полуплоскости, которая начинается и заканчивается в точке /.• Отображение () может не быть инъективным в верхнейполуплоскости. Пузыри могут пересекаться и самопересекаться.• Конструкция комплексного числа вращения, первоначально определенная для семейства диффеоморфизмов + ,обобщается на случай произвольных монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0;результаты о непрерывности комплексного числа вращениявплоть до вещественной оси и об аналитичности кривой пузыря обобщаются на этот случай.117.

Апробация результатовРезультаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.На конференциях• Международная конференция « Holomorphic foliations andcomplex dynamics » (Москва, Россия), июнь 2012 г., доклад« Complex rotation numbers ».• Конференция ESF « Algebraic Methods in Dynamical Systems »(Бедлево, Польша), май 2010 г., постер « The rotation numberand the moduli of elliptic curves ».На семинарах• Коллоквиум Oliver club, Cornell University, Итака (США),октябрь 2015.• Семинар « Динамические системы » (Ю.С.Ильяшенко), МГУ,несколько докладов в разные годы (2010–2015).• Семинар « Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика » (С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман), Москва, Независимый московский университет, ноябрь 2014 и ноябрь 2012 г.12• « Seminario de foliaciones y singularidades », UNAM, Institutode Matemáticas, Мехико, февраль 2014.• Еженедельный семинар лаборатории алгебраической геометрии, Москва, Высшая школа экономики, апрель 2012.• Семинар по многомерному комплексному анализу (семинарВитушкина), Москва, МГУ, март 2012.• Семинар отдела дифференциальных уравнений, Москва, Математический институт им.

В.А.Стеклова, апрель 2011 и апрель 2010.• Séminaire à l’UMPA de géométrie et dynamique, ENS Lyon(Франция), апрель 2011 и февраль 2010.8. Структура и объем диссертацииДиссертация содержит 10 разделов (в том числе введение изаключение) и список литературы. Список литературы содержит19 наименований. Объем диссертации — 114 страниц.Основное содержание работыВо введении (раздел 1) описана актуальность темы исследования и степень её разработанности ; перечислены цели изадачи исследования ; описана научная новизна, теоретическая и13практическая значимость работы ; методы исследования ; апробация результатов исследования.В разделе 2 изложена история проблем, исследованию которых посвящена диссертационная работа.

Кроме того, определяются необходимые понятия и приводятся формулировки основных результатов работы.Напомним, что периодическая орбита с единичным мультипликатором называется параболической, а с неединичным мультипликатором — гиперболической. Диффеоморфизм окружностиназывается гиперболическим, если он имеет периодические орбиты, и все они гиперболические. В разделе 3 доказана следующаятеорема.Теорема. Отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность каждой точки 0 ∈ ℝ, для которой отображение + 0 гиперболическое.При доказательстве этой теоремы возникает конструкция вспомогательной эллиптической кривой (кривая Бюффа), имеющаяключевое значение для дальнейших доказательств.В разделе 4 доказана следующая теорема.Теорема.

Пусть — аналитический диффеоморфизм окружности, имеющий изолированные периодические орбиты. Пусть,кроме того, хотя бы одна из периодических орбит диффеомор-14физма является параболической. Тогдаlim () = rot().→0Раздел 5 основан на результатах совместной работы с Ксавье Бюффом. Здесь доказана теорема о непрерывной продолжимости () на вещественную ось.Пусть ∶= ∫ℝ/ℤ″()∣ ′ ()∣ — искажение отображения .Теорема (К.Бюфф, Н.Гончарук). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ непрерывно продолжаетсядо функции ̄ ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ.

Пусть ∈ ℝ/ℤ.• Если rot( ) иррационально, то ̄ () = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄ () лежит в замкнутом диске радиуса /(4 2 ), касающемся ℝ/ℤ в точке /.В частности, равенство lim () = rot(), доказанное Э.Ри→0слером и В.Молдавским независимо для диофантовых чисел вращения, оказывается верным для любого иррационального числавращения. Это даёт ответ на упоминавшийся вопрос Э.Жиса.10Эта теорема позволяет определить новое интересное множество (ℝ/ℤ), связанное с диффеоморфизмом окружности — « пузыри ».10Ghys, см.

сн. 8.150.200.200.150.150.100.100.050.05sin10πx, ε =0.0050.000.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.000.0060.0040.0020.000cos10πx, ε =0.0050.002 0.004 0.006Рис. 5. Результат численного эксперимента : пузырь возмущенного дробнолинейного отображения. Возмущения имеют вид sin 10 и cos 10 соответственно. Вертикальный отрезок – пузырь невозмущенного отображенияВ разделе 6 построены примеры семейств + , для которых пузыри пересекаются и самопересекаются.В разделе 7 конструкция комплексного числа вращения, атакже результат о непрерывном продолжении на вещественнуюось обобщены на случай произвольного монотонного семействааналитических диффеоморфизмов окружности , > 0.В разделе 8 приведено описание и результаты численногоэксперимента, позволяющего рисовать (с некоторой точностью)пузыри отображений, близких к дробно-линейным.

Для дробнолинейного отображения пузырь только один, он растёт из нуляи имеет вид вертикального отрезка. Мы рассматриваем возмущение такого пузыря — семейство + , где 0 дробно-линейно.Тогда ̄ u� () = ̄ 0 () + |=0 ̄ u� () + … ; оказывается, такую про-изводную по можно вычислить явно. Мы делаем это с помощьюсимвольных вычислений на компьютере, и отбрасываем члены16следующего порядка малости по . Две из полученных картинокприведены на рис. 5.Раздел 9 основан на результатах совместной работы с Ксавье Бюффом. Здесь исследовано поведение вблизи +∞ ; оказывается, оно связано с конструкцией conformal welding (конформной сварки) для отображения .Теорема (К.Бюфф, Н.Гончарук).

Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда () = + + (1)при → +∞ в ℂ/ℤ, где — константа сварки отображения (в частности, зависит только от отображения ).ЗаключениеЯ глубоко благодарна моему научному руководителю Ю.С.Ильяшенко за постановку задач, поддержку и неустанное внимание кмоей работе. Я признательна К.Бюффу за приглашение в университет Тулузы на месячную стажировку и за плодотворную совместную работу. Особая благодарность моему соавтору и мужуЮрию Кудряшову за многочисленные обсуждения и дружескуюподдержку.17Список публикаций автора по темедиссертации1.

Н.Гончарук, « Числа вращения и модули эллиптических кривых », Функц. анализ и его прил., 46 :1 (2012), с. 13-30.2. X. Buff, N.Goncharuk, « Complex rotation numbers », Journalof Modern Dynamics, Volume 9 (2015), pp. 169-190..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
177,43 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее