Автореферат (1137385), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Частично изучена его геометри-9ческая структура, в том числе с помощью численного эксперимента.• Часть полученных результатов обобщены на случай монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0.4. Теоретическая и практическая значимость работыРабота носит теоретический характер. Введенный в работеновый объект (пузыри) может оказаться не менее интересным,чем известные языки Арнольда. Полученные результаты применимы для изучения обычного числа вращения в семействах диффеоморфизмов окружности (как уже было сделано в работе9 ).Разработанные методы могут оказаться полезными в исследованиях по голоморфной динамике на комплексной плоскости.5.
Методы исследованияВ диссертации применяются методы комплексного анализа,метод контроля искажений (лемма Данжуа), а также метод квазиконформных отображений, основанный на теореме Альфорса –Берса о выпрямлении конформных структур.9Risler, см. сн. 3.106. Положения, выносимые на защитуВ диссертации доказаны следующие теоремы.• Комплексное число вращения непрерывно продолжаетсяна вещественную ось, то есть продолжается до непрерывно̄̄го отображения ̄ ∶ ℍ/ℤ→ ℍ/ℤ.• Образ вещественной оси ̄ (ℝ/ℤ) состоит из вещественнойоси и пузырей (см.
определение 2). Каждый из пузырей, соответствующих числу вращения /, — аналитическая кривая в верхней полуплоскости, которая начинается и заканчивается в точке /.• Отображение () может не быть инъективным в верхнейполуплоскости. Пузыри могут пересекаться и самопересекаться.• Конструкция комплексного числа вращения, первоначально определенная для семейства диффеоморфизмов + ,обобщается на случай произвольных монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности , > 0;результаты о непрерывности комплексного числа вращениявплоть до вещественной оси и об аналитичности кривой пузыря обобщаются на этот случай.117.
Апробация результатовРезультаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.На конференциях• Международная конференция « Holomorphic foliations andcomplex dynamics » (Москва, Россия), июнь 2012 г., доклад« Complex rotation numbers ».• Конференция ESF « Algebraic Methods in Dynamical Systems »(Бедлево, Польша), май 2010 г., постер « The rotation numberand the moduli of elliptic curves ».На семинарах• Коллоквиум Oliver club, Cornell University, Итака (США),октябрь 2015.• Семинар « Динамические системы » (Ю.С.Ильяшенко), МГУ,несколько докладов в разные годы (2010–2015).• Семинар « Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика » (С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман), Москва, Независимый московский университет, ноябрь 2014 и ноябрь 2012 г.12• « Seminario de foliaciones y singularidades », UNAM, Institutode Matemáticas, Мехико, февраль 2014.• Еженедельный семинар лаборатории алгебраической геометрии, Москва, Высшая школа экономики, апрель 2012.• Семинар по многомерному комплексному анализу (семинарВитушкина), Москва, МГУ, март 2012.• Семинар отдела дифференциальных уравнений, Москва, Математический институт им.
В.А.Стеклова, апрель 2011 и апрель 2010.• Séminaire à l’UMPA de géométrie et dynamique, ENS Lyon(Франция), апрель 2011 и февраль 2010.8. Структура и объем диссертацииДиссертация содержит 10 разделов (в том числе введение изаключение) и список литературы. Список литературы содержит19 наименований. Объем диссертации — 114 страниц.Основное содержание работыВо введении (раздел 1) описана актуальность темы исследования и степень её разработанности ; перечислены цели изадачи исследования ; описана научная новизна, теоретическая и13практическая значимость работы ; методы исследования ; апробация результатов исследования.В разделе 2 изложена история проблем, исследованию которых посвящена диссертационная работа.
Кроме того, определяются необходимые понятия и приводятся формулировки основных результатов работы.Напомним, что периодическая орбита с единичным мультипликатором называется параболической, а с неединичным мультипликатором — гиперболической. Диффеоморфизм окружностиназывается гиперболическим, если он имеет периодические орбиты, и все они гиперболические. В разделе 3 доказана следующаятеорема.Теорема. Отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность каждой точки 0 ∈ ℝ, для которой отображение + 0 гиперболическое.При доказательстве этой теоремы возникает конструкция вспомогательной эллиптической кривой (кривая Бюффа), имеющаяключевое значение для дальнейших доказательств.В разделе 4 доказана следующая теорема.Теорема.
Пусть — аналитический диффеоморфизм окружности, имеющий изолированные периодические орбиты. Пусть,кроме того, хотя бы одна из периодических орбит диффеомор-14физма является параболической. Тогдаlim () = rot().→0Раздел 5 основан на результатах совместной работы с Ксавье Бюффом. Здесь доказана теорема о непрерывной продолжимости () на вещественную ось.Пусть ∶= ∫ℝ/ℤ″()∣ ′ ()∣ — искажение отображения .Теорема (К.Бюфф, Н.Гончарук). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ непрерывно продолжаетсядо функции ̄ ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ.
Пусть ∈ ℝ/ℤ.• Если rot( ) иррационально, то ̄ () = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄ () лежит в замкнутом диске радиуса /(4 2 ), касающемся ℝ/ℤ в точке /.В частности, равенство lim () = rot(), доказанное Э.Ри→0слером и В.Молдавским независимо для диофантовых чисел вращения, оказывается верным для любого иррационального числавращения. Это даёт ответ на упоминавшийся вопрос Э.Жиса.10Эта теорема позволяет определить новое интересное множество (ℝ/ℤ), связанное с диффеоморфизмом окружности — « пузыри ».10Ghys, см.
сн. 8.150.200.200.150.150.100.100.050.05sin10πx, ε =0.0050.000.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.000.0060.0040.0020.000cos10πx, ε =0.0050.002 0.004 0.006Рис. 5. Результат численного эксперимента : пузырь возмущенного дробнолинейного отображения. Возмущения имеют вид sin 10 и cos 10 соответственно. Вертикальный отрезок – пузырь невозмущенного отображенияВ разделе 6 построены примеры семейств + , для которых пузыри пересекаются и самопересекаются.В разделе 7 конструкция комплексного числа вращения, атакже результат о непрерывном продолжении на вещественнуюось обобщены на случай произвольного монотонного семействааналитических диффеоморфизмов окружности , > 0.В разделе 8 приведено описание и результаты численногоэксперимента, позволяющего рисовать (с некоторой точностью)пузыри отображений, близких к дробно-линейным.
Для дробнолинейного отображения пузырь только один, он растёт из нуляи имеет вид вертикального отрезка. Мы рассматриваем возмущение такого пузыря — семейство + , где 0 дробно-линейно.Тогда ̄ u� () = ̄ 0 () + |=0 ̄ u� () + … ; оказывается, такую про-изводную по можно вычислить явно. Мы делаем это с помощьюсимвольных вычислений на компьютере, и отбрасываем члены16следующего порядка малости по . Две из полученных картинокприведены на рис. 5.Раздел 9 основан на результатах совместной работы с Ксавье Бюффом. Здесь исследовано поведение вблизи +∞ ; оказывается, оно связано с конструкцией conformal welding (конформной сварки) для отображения .Теорема (К.Бюфф, Н.Гончарук).
Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда () = + + (1)при → +∞ в ℂ/ℤ, где — константа сварки отображения (в частности, зависит только от отображения ).ЗаключениеЯ глубоко благодарна моему научному руководителю Ю.С.Ильяшенко за постановку задач, поддержку и неустанное внимание кмоей работе. Я признательна К.Бюффу за приглашение в университет Тулузы на месячную стажировку и за плодотворную совместную работу. Особая благодарность моему соавтору и мужуЮрию Кудряшову за многочисленные обсуждения и дружескуюподдержку.17Список публикаций автора по темедиссертации1.
Н.Гончарук, « Числа вращения и модули эллиптических кривых », Функц. анализ и его прил., 46 :1 (2012), с. 13-30.2. X. Buff, N.Goncharuk, « Complex rotation numbers », Journalof Modern Dynamics, Volume 9 (2015), pp. 169-190..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
