Диссертация (1137386), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда модуль эллиптической кривой 1.()+0равен 1/ , где = ∫При → 0 этот модуль стремится к 0.Доказательство. Выпрямим поле + с помощью замены координат ↦, =()+ .Эта замена переводит эллиптическую кривую в стан-дартную кривую ℂ/Γ, где Γ — решетка, порожденная числами 1 и (так11как 1 = ∫ u� , = ∫ ). Значит, модуль исходной эллиптической кривой00равен 1/ . Первое утверждение леммы доказано.42Найдем предел 0 = lim . Для этого выберем число > 0 так, чтобы→0поле голоморфно продолжалось в полосу 0 < Im < и в ее замыканиине имело других нулей, кроме нулей на вещественной прямой. Рассмотримконтур , обходящий границу прямоугольника = {0 < Im < , 0 <. ()+Re < 1} против часовой стрелки.
Для 0 < < положим ≔ ∫С одной стороны, в силу 1-периодичности интеграл представляется в виде разности интегралов вдоль верхней и нижней сторон прямоуголь1. С другой стороны, его можно0 (+)+1посчитать как сумму вычетов функции ()+в прямоугольнике .1Предел 0 = lim равен интегралу ∫ (+), т.е. некоторому конеч0→0ника: = − , где = ∫ному комплексному числу.Оценим интеграл .Вблизи каждой гиперболической особой точки поля есть одна особаяточка поля () + . При → 0 вычеты функции 1/(() + ) в этих ееполюсах стремятся к вычетам функции 1/() в соответствующих особыхточках поля , т.е. к конечным комплексным числам.При малых вблизи параболической точки поля , () = ( − )u� + … , находятся нулей поля () + . В прямоугольник попадаютте из них, которые лежат в верхней полуплоскости. Такой нуль имеет вид = +1/u� (1+(1)), где — один из корней -й степени из −/ .
Вычетфункции 1/(() + ) в точке равенRes11= ′=(1 + (1)).() + ()−(u� −1)/u� Если точка лежит в верхней полуплоскости, то при достаточно малом соответствующий корень тоже лежит в верхней полуплоскости. Значит,вещественная часть вычета отрицательна при малых и стремится к бесконечности, когда стремится к 0.43Следовательно, сумма этих вычетов стремится к бесконечности и тоже стремится к бесконечности.
Предел 0 ∈ ℂ конечен, значит, = + стремится к бесконечности.Отсюда вытекает, что lim 1/ = 0.→04.4. Случай произвольного рационального числа вращенияДоказательства лемм для этого случая во многом повторяют доказательства из п. 4.3.Сведение к случаю псевдовключаемого диффеоморфизмаОпределение псевдовключаемого диффеоморфизма дано в п. 4.1.Лемма 30.
Любой аналитический диффеоморфизм окружности с числом вращения / липшицево сопряжен псевдовключаемому диффеоморфизму = 1 + /.Доказательство. Сначала докажем, что если в условиях леммы для некоторого диффеоморфизма отображения и липшицево сопряжены, то и также липшицево сопряжены.Пусть ℎ — отображение, сопрягающее и . Построим сопряжение ℎ̃между и .Фиксируем произвольную дугу между соседними неподвижными точками отображения . На этой дуге положим ℎ̃ ≔ ℎ. На образах этой дугипод действием определим ℎ̃ таким образом:̃ ()) = (ℎ()),̃ℎ( < , ∈ .(6)Для = это равенство тоже выполнено:̃ ()) = ℎ( ()) = (ℎ()) = (ℎ()),̃ℎ( ∈ .44Если ℎ̃ определено еще не на всех дугах, соединяющих неподвижныеточки диффеоморфизма , берем любую из оставшихся дуг и повторяем туже операцию.Построенное таким образом отображение ℎ̃ будет сопрягать отображения и — это следует из равенства (6).
Если отображения ℎ и ℎ−1 былилипшицевыми, то отображения ℎ̃ и ℎ̃ −1 тоже будут липшицевыми.Теперь докажем, что отображения и липшицево сопряжены длянекоторого псевдовключаемого диффеоморфизма = 1 +/. Пусть у отображения есть периодических орбит длины . Легко убедиться, что точкиэтих орбит упорядочены на окружности так же, как корни -й степени из1 под действием поворота на /.Рассмотрим аналитическое поле на окружности, обладающее следующими свойствами:• Особыми точками поля являются корни -й степени из 1. Поставимих в биективное соответствие периодическим точкам отображения ,сохранив их порядок на окружности.• Собственные значения поля в особых точках равны1ln , где —мультипликаторы соответствующих орбит отображения .• В точках, соответствующих параболическим орбитам отображения ,поле имеет тот же порядок касания с 0, что — c тождественнымотображением.Усредним поле по действию поворота на 1/.
Получим 1/-периодическоеполе с такими же мультипликаторами в особых гиперболических точкахи тем же порядком касания в параболических.Отображения и = (1 + /) = (1 ) на дугах, соединяющих неподвижные точки, удовлетворяют условиям леммы 25. Значит, они липши-45цево сопряжены. Отсюда следует, что отображения и тоже липшицевосопряжены.Следствие 31. Пусть диффеоморфизм окружности удовлетворяет усло̃ = ( ) — эллиптическая кривая, построенвиям леммы 30.
Пусть ная с помощью конструкции Арнольда по отображению . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми ̃ , отклонение которого равномерно ограничено по .и Доказательство. Это следует из предыдущей леммы и леммы 22.Семейство эллиптических кривых и его свойстваКонструкция эллиптических кривых .Пусть = 1 + / — псев-довключаемый диффеоморфизм окружности. Поднимем поле до 1-периодическполя на всей прямой и аналитически продолжим его в некоторую полосу0 ≤ Im < .
Полученное поле мы тоже будем обозначать через . При < 1рассмотрим криволинейную полосу, заключенную между ℝ и +(ℝ) + /;обозначим через эллиптическую кривую, полученную факторизацией1окрестности этой полосы по отображениям ↦ + 1 и ↦ +() + /.Лемма 32. При любом достаточно малом существует квазиконформ̃ в , отклонение которого равномерно ограное отображение ℎ из ничено по .01Доказательство. Пусть ≔ 1 + + /, ≔ 1 + , ≔ ++ /,10 ≔ +.
Как и в лемме 28, положимℎ ( + ) ≔ + + 00( () − ()), = ( 0 )−1 ().(7)Тогда отображение ℎ опускается до корректно определенного отоб̃ в . Действительно, ℎ тождественно на вещественнойражения из 460прямой и точка () переходит в точку 0 (), как и в лемме 28. Но отоб-ражение ℎ удовлетворяет равенству ℎ ( + /) = ℎ () + /.
Значит, поддействием ℎ точка () перейдет в точку ().Квазиконформное отклонение отображения ℎ оценивается так же, каки в лемме 28: роль отображений и из леммы 28 играют отображения0и 0 .В следующей лемме мы вычислим модули эллиптических кривых и докажем равенство lim ( ) = rot() = /. Эта лемма применяется в→0шаге 3 доказательства теоремы 7 для случая ненулевого числа вращения.Лемма 33. Модуль эллиптической кривой равен / + 1/ , где =1.()+0∫При → 0 этот модуль стремится к /.Доказательство.
Выпрямим поле + с помощью замены координат →, ≔()+ .Это отображение переводит эллиптическую кривую в1стандартную кривую ℂ/Γ, где решетка Γ порождена числами ∫ = и1u�+u�u�(0)+/∫00 = 1 + / .Значит, модуль эллиптической кривой равен / + 1/ . Первоеутверждение доказано.Теперь заметим, что предел lim 1/ для произвольного 1-периодического→0аналитического поля на прямой с параболическими неподвижными точками посчитан в лемме 29 и равен нулю. Значит, предел модулей эллиптических кривых равен /.Вместе с леммами этого параграфа доказана и теорема 7.475. Теорема 8 о непрерывном продолженииотображения модулей до границыПараграф основан на совместной работе с К. БюффомЭта глава основана на первой части статьи [1].
Здесь доказана теорема8:Теорема. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ непрерывно продолжается до функции ̄ ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ. Пусть ∈ ℝ/ℤ.• Если rot( ) иррационально, то ̄ () = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄ () лежит в замкнутом дискерадиуса /(4 2 ), касающемся ℝ/ℤ в точке /.5.1. Форма пузырейМы начнем с описания формы пузырей вблизи их концевых точек,раскрывающего геометрический смысл вспомогательных лемм к теореме8. Кроме того, мы приведем пример диффеоморфизма окружности, для которого отображение модулей неинъективно (следствие 37 теоремы 8).Введем следующие понятия:Определение.
Если для некоторого все отображения , ∈ (0 , 0 +] гиперболические, а 0 — нет, то мы будем называть 0 левым концомпузыря.• Если мультипликатор какой-нибудь периодической орбиты стремится к единице при → 0 , > 0 , то мы будем называть 0 (левым)вещественным концом пузыря.48Рис. 10: Пузыри.
Схематическое изображение множества ̄ (ℝ/ℤ).• Если мультипликаторы периодических орбит не стремятся к единице при → 0 , > 0 , то 0 называется (левым) комплексным концомпузыря.Аналогичным образом мы определяем понятие правых вещественных и комплексных концов пузырей.Например, если параболическая орбита 0 распадается на вещественные гиперболические периодические орбиты на интервале (0 , 0 + ], то0 — вещественный конец пузыря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
