Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 6

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 6 страницаДиссертация (1137386) страница 62019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда модуль эллиптической кривой 1.()+0равен 1/ , где = ∫При → 0 этот модуль стремится к 0.Доказательство. Выпрямим поле + с помощью замены координат ↦, =()+ .Эта замена переводит эллиптическую кривую в стан-дартную кривую ℂ/Γ, где Γ — решетка, порожденная числами 1 и (так11как 1 = ∫ u� , = ∫ ). Значит, модуль исходной эллиптической кривой00равен 1/ . Первое утверждение леммы доказано.42Найдем предел 0 = lim . Для этого выберем число > 0 так, чтобы→0поле голоморфно продолжалось в полосу 0 < Im < и в ее замыканиине имело других нулей, кроме нулей на вещественной прямой. Рассмотримконтур , обходящий границу прямоугольника = {0 < Im < , 0 <. ()+Re < 1} против часовой стрелки.

Для 0 < < положим ≔ ∫С одной стороны, в силу 1-периодичности интеграл представляется в виде разности интегралов вдоль верхней и нижней сторон прямоуголь1. С другой стороны, его можно0 (+)+1посчитать как сумму вычетов функции ()+в прямоугольнике .1Предел 0 = lim равен интегралу ∫ (+), т.е. некоторому конеч0→0ника: = − , где = ∫ному комплексному числу.Оценим интеграл .Вблизи каждой гиперболической особой точки поля есть одна особаяточка поля () + . При → 0 вычеты функции 1/(() + ) в этих ееполюсах стремятся к вычетам функции 1/() в соответствующих особыхточках поля , т.е. к конечным комплексным числам.При малых вблизи параболической точки поля , () = ( − )u� + … , находятся нулей поля () + . В прямоугольник попадаютте из них, которые лежат в верхней полуплоскости. Такой нуль имеет вид = +1/u� (1+(1)), где — один из корней -й степени из −/ .

Вычетфункции 1/(() + ) в точке равенRes11= ′=(1 + (1)).() + ()−(u� −1)/u� Если точка лежит в верхней полуплоскости, то при достаточно малом соответствующий корень тоже лежит в верхней полуплоскости. Значит,вещественная часть вычета отрицательна при малых и стремится к бесконечности, когда стремится к 0.43Следовательно, сумма этих вычетов стремится к бесконечности и тоже стремится к бесконечности.

Предел 0 ∈ ℂ конечен, значит, = + стремится к бесконечности.Отсюда вытекает, что lim 1/ = 0.→04.4. Случай произвольного рационального числа вращенияДоказательства лемм для этого случая во многом повторяют доказательства из п. 4.3.Сведение к случаю псевдовключаемого диффеоморфизмаОпределение псевдовключаемого диффеоморфизма дано в п. 4.1.Лемма 30.

Любой аналитический диффеоморфизм окружности с числом вращения / липшицево сопряжен псевдовключаемому диффеоморфизму = 1 + /.Доказательство. Сначала докажем, что если в условиях леммы для некоторого диффеоморфизма отображения и липшицево сопряжены, то и также липшицево сопряжены.Пусть ℎ — отображение, сопрягающее и . Построим сопряжение ℎ̃между и .Фиксируем произвольную дугу между соседними неподвижными точками отображения . На этой дуге положим ℎ̃ ≔ ℎ. На образах этой дугипод действием определим ℎ̃ таким образом:̃ ()) = (ℎ()),̃ℎ( < , ∈ .(6)Для = это равенство тоже выполнено:̃ ()) = ℎ( ()) = (ℎ()) = (ℎ()),̃ℎ( ∈ .44Если ℎ̃ определено еще не на всех дугах, соединяющих неподвижныеточки диффеоморфизма , берем любую из оставшихся дуг и повторяем туже операцию.Построенное таким образом отображение ℎ̃ будет сопрягать отображения и — это следует из равенства (6).

Если отображения ℎ и ℎ−1 былилипшицевыми, то отображения ℎ̃ и ℎ̃ −1 тоже будут липшицевыми.Теперь докажем, что отображения и липшицево сопряжены длянекоторого псевдовключаемого диффеоморфизма = 1 +/. Пусть у отображения есть периодических орбит длины . Легко убедиться, что точкиэтих орбит упорядочены на окружности так же, как корни -й степени из1 под действием поворота на /.Рассмотрим аналитическое поле на окружности, обладающее следующими свойствами:• Особыми точками поля являются корни -й степени из 1. Поставимих в биективное соответствие периодическим точкам отображения ,сохранив их порядок на окружности.• Собственные значения поля в особых точках равны1ln , где —мультипликаторы соответствующих орбит отображения .• В точках, соответствующих параболическим орбитам отображения ,поле имеет тот же порядок касания с 0, что — c тождественнымотображением.Усредним поле по действию поворота на 1/.

Получим 1/-периодическоеполе с такими же мультипликаторами в особых гиперболических точкахи тем же порядком касания в параболических.Отображения и = (1 + /) = (1 ) на дугах, соединяющих неподвижные точки, удовлетворяют условиям леммы 25. Значит, они липши-45цево сопряжены. Отсюда следует, что отображения и тоже липшицевосопряжены.Следствие 31. Пусть диффеоморфизм окружности удовлетворяет усло̃ = ( ) — эллиптическая кривая, построенвиям леммы 30.

Пусть ная с помощью конструкции Арнольда по отображению . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми ̃ , отклонение которого равномерно ограничено по .и Доказательство. Это следует из предыдущей леммы и леммы 22.Семейство эллиптических кривых и его свойстваКонструкция эллиптических кривых .Пусть = 1 + / — псев-довключаемый диффеоморфизм окружности. Поднимем поле до 1-периодическполя на всей прямой и аналитически продолжим его в некоторую полосу0 ≤ Im < .

Полученное поле мы тоже будем обозначать через . При < 1рассмотрим криволинейную полосу, заключенную между ℝ и +(ℝ) + /;обозначим через эллиптическую кривую, полученную факторизацией1окрестности этой полосы по отображениям ↦ + 1 и ↦ +() + /.Лемма 32. При любом достаточно малом существует квазиконформ̃ в , отклонение которого равномерно ограное отображение ℎ из ничено по .01Доказательство. Пусть ≔ 1 + + /, ≔ 1 + , ≔ ++ /,10 ≔ +.

Как и в лемме 28, положимℎ ( + ) ≔ + + 00( () − ()), = ( 0 )−1 ().(7)Тогда отображение ℎ опускается до корректно определенного отоб̃ в . Действительно, ℎ тождественно на вещественнойражения из 460прямой и точка () переходит в точку 0 (), как и в лемме 28. Но отоб-ражение ℎ удовлетворяет равенству ℎ ( + /) = ℎ () + /.

Значит, поддействием ℎ точка () перейдет в точку ().Квазиконформное отклонение отображения ℎ оценивается так же, каки в лемме 28: роль отображений и из леммы 28 играют отображения0и 0 .В следующей лемме мы вычислим модули эллиптических кривых и докажем равенство lim ( ) = rot() = /. Эта лемма применяется в→0шаге 3 доказательства теоремы 7 для случая ненулевого числа вращения.Лемма 33. Модуль эллиптической кривой равен / + 1/ , где =1.()+0∫При → 0 этот модуль стремится к /.Доказательство.

Выпрямим поле + с помощью замены координат →, ≔()+ .Это отображение переводит эллиптическую кривую в1стандартную кривую ℂ/Γ, где решетка Γ порождена числами ∫ = и1u�+u�u�(0)+/∫00 = 1 + / .Значит, модуль эллиптической кривой равен / + 1/ . Первоеутверждение доказано.Теперь заметим, что предел lim 1/ для произвольного 1-периодического→0аналитического поля на прямой с параболическими неподвижными точками посчитан в лемме 29 и равен нулю. Значит, предел модулей эллиптических кривых равен /.Вместе с леммами этого параграфа доказана и теорема 7.475. Теорема 8 о непрерывном продолженииотображения модулей до границыПараграф основан на совместной работе с К. БюффомЭта глава основана на первой части статьи [1].

Здесь доказана теорема8:Теорема. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда функция ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ непрерывно продолжается до функции ̄ ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ. Пусть ∈ ℝ/ℤ.• Если rot( ) иррационально, то ̄ () = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄ () лежит в замкнутом дискерадиуса /(4 2 ), касающемся ℝ/ℤ в точке /.5.1. Форма пузырейМы начнем с описания формы пузырей вблизи их концевых точек,раскрывающего геометрический смысл вспомогательных лемм к теореме8. Кроме того, мы приведем пример диффеоморфизма окружности, для которого отображение модулей неинъективно (следствие 37 теоремы 8).Введем следующие понятия:Определение.

Если для некоторого все отображения , ∈ (0 , 0 +] гиперболические, а 0 — нет, то мы будем называть 0 левым концомпузыря.• Если мультипликатор какой-нибудь периодической орбиты стремится к единице при → 0 , > 0 , то мы будем называть 0 (левым)вещественным концом пузыря.48Рис. 10: Пузыри.

Схематическое изображение множества ̄ (ℝ/ℤ).• Если мультипликаторы периодических орбит не стремятся к единице при → 0 , > 0 , то 0 называется (левым) комплексным концомпузыря.Аналогичным образом мы определяем понятие правых вещественных и комплексных концов пузырей.Например, если параболическая орбита 0 распадается на вещественные гиперболические периодические орбиты на интервале (0 , 0 + ], то0 — вещественный конец пузыря.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее