Диссертация (1137386), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заметим, что( ) = +2 .Пусть — мультипликатор точки как неподвижной точки ∘ , а ∶ (ℂ, 0) → (ℂ/ℤ, ) — линеаризующее отображение, которое сопрягаетумножение на и ∘ : ∘ ∘ () = ( )и нормировано условием ′ (0) = 1. Тогда ∘ () = +2 ( ⋅ ), где ≔ ′ ( ).Заметим, что для достаточно малого > 0 линеаризующая карта продолжается до инъективного отображения полосы { ∈ ℂ | | Im()| < } и (ℝ) = (−1 , +1 ).Для каждого ∈ ℤ/(2)ℤ, выберем точку на интервале ( , +1 )так,чтобы• ( ) ∈ (+2 , +2 ), если орбита точки притягивает (то есть чётно) и58• ( ) ∈ (+2 , +2+1 ), если орбита точки отталкивает (то есть нечетно).Это возможно, так как ∘ ( ) ∈ ( , ) для четных и ∘ ( ) ∈ ( , +1 )для нечетных.
Подобным образом выберем точку на отрицательной части мнимой оси для четных и на положительной части мнимой оси длянечётных так, что для каждого ∈ ℤ/(2ℤ)• | | < , | | < и• лежит выше +2 .()0110011Рис. 15: Одна из возможных кривых для отображения ∶ ℂ/ℤ ∋ ↦+14sin(2) ∈ ℂ/ℤ, которое в ограничении на ℝ/ℤ даёт гиперболическийдиффеоморфизм окружности ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ. Кривая () лежит над вℂ/ℤ. Кольцо между и () отмечено серым (в верхней полуплоскости —светло-серым, а в нижней — темно-серым).
Отображение имеет аттракторв 0 ≔ 0 ∈ ℝ/ℤ и репеллер в 1 ≔ 1/2 ∈ ℝ/ℤ.Пусть — дуга окружности с концами в точках −1 (−1 ) и −1 ( ),проходящая через , и пусть≔⋃∈ℤ/(2ℤ) ( ).59Тогда — простая замкнутая кривая на ℂ/ℤ, и инъективно на некоторой окрестности . Точки притягивающих орбит лежат выше кривой , аточки отталкивающих орбит — ниже . При этом() =⋃∈ℤ/(2ℤ)+2 ( ),и потому () лежит выше в ℂ/ℤ.Если достаточно близко к нулю, кривая () = () + тоже лежит выше в ℂ/ℤ. Кривые и () ограничивают нестягиваемое кольцов ℂ/ℤ.
Склеивая две его граничных окружности по , мы получаем эллиптическую кривую Бюффа ( ), которая биголоморфно эквивалентнастандартной кривой ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ) для подходящего ∈ ℍ/ℤ; будем считать, что гомотопический класс в ( ) соответствует гомотопическомуклассу ℝ/ℤ в ℰ . Понятно, что ( ) не зависит от выбора . Положим̄ () ≔ ∈ ℍ/ℤ.В силу результатов Рислера [7, глава 2, предложение 2], отображение ↦ ̄ () голоморфно. При ∈ ℍ/ℤ эллиптическая кривая Бюффа ( )биголоморфно эквивалентна кривой Арнольда ( ), причем гомотопической класс в ( ) соответствует гомотопическому классу ℝ/ℤ в ( )(см. более подробное доказательство в §3.) Значит, ̄ () = (), если число ∈ ℍ/ℤ достаточно близко к нулю. Это завершает доказательство теоремы6 для 0 = 0: отображение ̄ аналитически продолжает в окрестностьнуля, что и требовалось.
Случай произвольного 0 отличается заменой на 0 .Замечание 45. Кривая Бюффа () не зависит от выбора аналитическойкарты на окружности: ̄ (0) = ̄ −1 (0) для любого сохраняющего ориентацию аналитического диффеоморфизма окружности . Поэтому можноописать () в терминах модулей аналитической классификации, то есть60мультипликаторов периодических орбит и отображений перехода междувыпрямляющими картами . Это описание дано в начале п. 5.7.Нам также понадобится следующее наблюдение:Лемма 46.
Модуль ( ∘ ) в раз больше, чем модуль ( ): ̄ ∘u� (0) = ̄ (0).Доказательство. Диффеоморфизм индуцирует автоморфизм ( ∘ ) порядка . Фактор-многообразие эллиптической кривой ( ∘ ) по этому автоморфизму биголоморфно эквивалентно (). Класс кривой в () имеет непересекающихся прообразов в ( ∘ ), и на каждом из прообразов отображение инъективно. Поэтому эллиптическая кривая ( ∘ ) биголоморфноэквивалентна ℰu�̄ (0) = ℂ/(ℤ+ ̄ (0)ℤ).
При этом класс кривой в ( ∘ ) соответствует классу ℝ/ℤ в ℰu�̄ (0) , а класс второй образующей (которая соединяет точку с точкой ∘ ()) соответствует ̄ (0), что и требовалось.5.6. Лемма 41 (о размере пузырей) и лемма 34 (о непрерывностив вещественных концах пузырей)Мы переходим к доказательству наших результатов, и начнем с доказательства леммы 40. Допустим, ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ гиперболическое: имеетрациональное число вращения / и только гиперболические периодическиеорбиты. Чтобы упростить обозначения, мы будем считать, что = 0, тогдавместо можно писать = 0 .Как и в п.
5.5, рассмотрим простую замкнутую кривую , обходящуюс разных сторон притягивающие и отталкивающие орбиты (притягивающие орбиты оказываются над кривой в ℂ/ℤ, а отталкивающие — подней). Кривые и () ограничивают нестягиваемое кольцо в ℂ/ℤ. Склеив границы этого кольца по отображению , мы получаем эллиптическую61кривую Бюффа (), биголоморфно эквивалентную ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ) при = ̄ (0) ∈ ℍ/ℤ, причем класс в () соответствует классу ℝ/ℤ в ℰ .Проекция ℝ/ℤ на () состоит из 2 топологических окружностей,которые делят () на 2 колец; каждое кольцо соответствует одной периодической орбите . Модули колец зависят только от мультипликаторовэтих орбит.
Точнее, каждая притягивающая (соотв., отталкивающая) периодическая орбита имеет бассейн притяжения для (соотв., для −1 ), ипроекция ℍ− ∩ (соотв., ℍ+ ∩ ) на () и является кольцом ; модультакого кольца равенmod =,| log |где — мультипликатор как периодической орбиты .Эти кольца на торе () соответствуют классу гомологий (−, ) относительно выделенных образующих кривой Бюффа ().
Теперь мы можемоценить модуль кривой () в терминах модулей колец . Из классическихнеравенств типа «длины и площади» (см. лемму 47) следует, что∑ — периодическая орбита mod ≤Im(̄ (0)).| − + ̄ (0)|2Значит,1 |̄ (0) − /|2≤ ≔ 22 Im(̄ (0))2 ⋅1∑ — периодическая орбита mod ,из чего следует лемма 40, так как∑ — периодическая орбита mod =∑ — периодическая орбита 1=∑.| log | ∈Per() | log |Доказательство первой оценки из леммы 40 завершает следующая лемма.62Лемма 47.1. Пусть эллиптическая кривая ℰ = ℂ/(ℤ + ℤ) содер-жит несколько неперекрывающихся колец , которые соответствуют первой образующей 1 ().
Тогда Im( ) ⩾ ∑ mod .2. Пусть эллиптическая кривая ℰ = ℂ/(ℤ + ℤ) содержит несколько неперекрывающихся колец . Пусть эти кольца соответствуютэлементу (, ) ∼ + группы 1 (), где и взаимно просты.ТогдаIm( )⩾∑| + |2mod .(10 )Доказательство. Выведем второе утверждение леммы из первого. Пусть, — целые числа, удовлетворяющие равенству + = 1. Применим первое утверждение леммы к эллиптической кривой ℂ/(( + )ℤ + (− + )ℤ)(это та же кривая ℰ , но с другим выбором образующих). Мы получаемIm− + ⩾∑ + mod .Это равносильно (10), так какIm− + (− + )( + ̄)( + ) Im( )Im( )= Im== + | + |2| + |2| + |2Для доказательства первого утверждения мы используем стандартныерассуждения типа «длины и площади». А именно, пусть = { ∈ ℂ ∣ 0 <Im() <mod }/ℤ — стандартное кольцо, имеющее модульmod , ипусть Φ ∶ → ⊂ ℰ — биголоморфное отображение.
Тогда∬ |Φ′ |2 = Area ;u�1∫ |Φ′ (, )| = Length Φ ([, + 1]) ⩾ |Φ ( + 1) − Φ ()| = 1.0Последнее равенство следует из того, что Φ корректно определено как отображение кольца в эллиптическую кривую. Интегрируя по отрезку ∈ [0,63mod ], получаем∬ |Φ′ | ⩾u�mod .Применим неравенство Коши:2 mod ≤ 2 ∫ ∫ |Φ′ | ≤ ∫ |Φ′ |2 + 1 =u�u�mod + Area .поэтому mod ≤ Area . Складывая эти неравенства, получаемIm( ) ⩾ ∑ Area ⩾ ∑mod .Напомним, что первое утверждение леммы 40 влечет лемму 34 (о вещественных концах пузырей). Грубо говоря, в вещественном конце пузыряодин из мультипликаторов стремится к единице, и модуль соответствующего кольца стремится к бесконечности; поэтому эллиптическая криваяБюффа ( ) вырождается, и её модуль стремится к вещественной оси.Напомним, что из первого утверждения леммы 40 и из леммы 44 (омультипликаторах периодических орбит) немедленно следует второе утверждение леммы 40, а потому и лемма 41 (о размере пузырей).5.7.
Лемма 35: непрерывность в комплексных концах пузырейСначала мы расскажем основную идею доказательства в случае нулевого числа вращения.Опишем другую конструкцию, которая приводит к той же эллиптической кривой (). Для каждого аттрактора рассмотрим кольцо ℍ− /{ ∼ } в линеаризующей карте ; для репеллеров возьмем кольца ℍ+ /{ ∼ }. Эти кольца биголоморфно эквивалентны . Теперь склеим последо-64−1вательные кольца по отображениям перехода +1∘ между последователь-ными линеаризующими картами. Получится кривая () 4 .Для вещественных концов пузырей некоторые из модулей колец стремятся к бесконечности, и поэтому эллиптическая кривая Бюффа ()вырождается. Для комплексных концов пузырей модули не стремятся к−1бесконечности.
Мы исследуем отображение переклейки +1∘ в том слу-чае, когда новая параболическая неподвижная точка появляется между и +1 при → 0 , > 0 ; это в точности и происходит в комплексномконце пузыря. Грубо говоря, мы выясним, что при → 0 , > 0 к кривойБюффа ( ) применяется бесконечное число скруток Дэна, и поэтому этаэллиптическая кривая вырождается. Однако в доказательстве мы заменим( ) квазиконформно близкой эллиптической кривой ′ (лемма 48), полученной из тех же колец склейкой по близким отображениям. Затеммы докажем, что при → 0 , > 0 к кривой ′ применяется бесконечномного скруток Дэна.Сейчас мы будем работать с одним гиперболическим отображением ,и для простоты обозначений мы рассматриваем только случай = 0. Пустьrot() = /; мы перейдем к отображению ∘ , пользуясь леммой 46.Проекция ℝ/ℤ на ( ∘ ) делит тор на 2 колец , ∈ ℤ/(2)ℤ, которые соответствуют второй образующей тора ( ) (если поднятие отображения выбрано так, что оно имеет неподвижные точки на окружности).Модули колец равныmod = ≔4log u�u�log u�u�.| log |Далее мы подробно описываем именно эту конструкцию, но переходим в логарифмические картыдля удобства обозначений.65Определим полосу ⊂ ℂ и кольцо ⊂ ℂ/ℤ равенством ≔ { ∈ ℂ ∣ 0 < Im() < }и ≔ /ℤ,пусть ∶ → — естественная проекция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
