Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 8

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 8 страницаДиссертация (1137386) страница 82019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Заметим, что( ) = +2 .Пусть — мультипликатор точки как неподвижной точки ∘ , а ∶ (ℂ, 0) → (ℂ/ℤ, ) — линеаризующее отображение, которое сопрягаетумножение на и ∘ : ∘ ∘ () = ( )и нормировано условием ′ (0) = 1. Тогда ∘ () = +2 ( ⋅ ), где ≔ ′ ( ).Заметим, что для достаточно малого > 0 линеаризующая карта продолжается до инъективного отображения полосы { ∈ ℂ | | Im()| < } и (ℝ) = (−1 , +1 ).Для каждого ∈ ℤ/(2)ℤ, выберем точку на интервале ( , +1 )так,чтобы• ( ) ∈ (+2 , +2 ), если орбита точки притягивает (то есть чётно) и58• ( ) ∈ (+2 , +2+1 ), если орбита точки отталкивает (то есть нечетно).Это возможно, так как ∘ ( ) ∈ ( , ) для четных и ∘ ( ) ∈ ( , +1 )для нечетных.

Подобным образом выберем точку на отрицательной части мнимой оси для четных и на положительной части мнимой оси длянечётных так, что для каждого ∈ ℤ/(2ℤ)• | | < , | | < и• лежит выше +2 .()0110011Рис. 15: Одна из возможных кривых для отображения ∶ ℂ/ℤ ∋ ↦+14sin(2) ∈ ℂ/ℤ, которое в ограничении на ℝ/ℤ даёт гиперболическийдиффеоморфизм окружности ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ. Кривая () лежит над вℂ/ℤ. Кольцо между и () отмечено серым (в верхней полуплоскости —светло-серым, а в нижней — темно-серым).

Отображение имеет аттракторв 0 ≔ 0 ∈ ℝ/ℤ и репеллер в 1 ≔ 1/2 ∈ ℝ/ℤ.Пусть — дуга окружности с концами в точках −1 (−1 ) и −1 ( ),проходящая через , и пусть≔⋃∈ℤ/(2ℤ) ( ).59Тогда — простая замкнутая кривая на ℂ/ℤ, и инъективно на некоторой окрестности . Точки притягивающих орбит лежат выше кривой , аточки отталкивающих орбит — ниже . При этом() =⋃∈ℤ/(2ℤ)+2 ( ),и потому () лежит выше в ℂ/ℤ.Если достаточно близко к нулю, кривая () = () + тоже лежит выше в ℂ/ℤ. Кривые и () ограничивают нестягиваемое кольцов ℂ/ℤ.

Склеивая две его граничных окружности по , мы получаем эллиптическую кривую Бюффа ( ), которая биголоморфно эквивалентнастандартной кривой ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ) для подходящего ∈ ℍ/ℤ; будем считать, что гомотопический класс в ( ) соответствует гомотопическомуклассу ℝ/ℤ в ℰ . Понятно, что ( ) не зависит от выбора . Положим̄ () ≔ ∈ ℍ/ℤ.В силу результатов Рислера [7, глава 2, предложение 2], отображение ↦ ̄ () голоморфно. При ∈ ℍ/ℤ эллиптическая кривая Бюффа ( )биголоморфно эквивалентна кривой Арнольда ( ), причем гомотопической класс в ( ) соответствует гомотопическому классу ℝ/ℤ в ( )(см. более подробное доказательство в §3.) Значит, ̄ () = (), если число ∈ ℍ/ℤ достаточно близко к нулю. Это завершает доказательство теоремы6 для 0 = 0: отображение ̄ аналитически продолжает в окрестностьнуля, что и требовалось.

Случай произвольного 0 отличается заменой на 0 .Замечание 45. Кривая Бюффа () не зависит от выбора аналитическойкарты на окружности: ̄ (0) = ̄ −1 (0) для любого сохраняющего ориентацию аналитического диффеоморфизма окружности . Поэтому можноописать () в терминах модулей аналитической классификации, то есть60мультипликаторов периодических орбит и отображений перехода междувыпрямляющими картами . Это описание дано в начале п. 5.7.Нам также понадобится следующее наблюдение:Лемма 46.

Модуль ( ∘ ) в раз больше, чем модуль ( ): ̄ ∘u� (0) = ̄ (0).Доказательство. Диффеоморфизм индуцирует автоморфизм ( ∘ ) порядка . Фактор-многообразие эллиптической кривой ( ∘ ) по этому автоморфизму биголоморфно эквивалентно (). Класс кривой в () имеет непересекающихся прообразов в ( ∘ ), и на каждом из прообразов отображение инъективно. Поэтому эллиптическая кривая ( ∘ ) биголоморфноэквивалентна ℰu�̄ (0) = ℂ/(ℤ+ ̄ (0)ℤ).

При этом класс кривой в ( ∘ ) соответствует классу ℝ/ℤ в ℰu�̄ (0) , а класс второй образующей (которая соединяет точку с точкой ∘ ()) соответствует ̄ (0), что и требовалось.5.6. Лемма 41 (о размере пузырей) и лемма 34 (о непрерывностив вещественных концах пузырей)Мы переходим к доказательству наших результатов, и начнем с доказательства леммы 40. Допустим, ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ гиперболическое: имеетрациональное число вращения / и только гиперболические периодическиеорбиты. Чтобы упростить обозначения, мы будем считать, что = 0, тогдавместо можно писать = 0 .Как и в п.

5.5, рассмотрим простую замкнутую кривую , обходящуюс разных сторон притягивающие и отталкивающие орбиты (притягивающие орбиты оказываются над кривой в ℂ/ℤ, а отталкивающие — подней). Кривые и () ограничивают нестягиваемое кольцо в ℂ/ℤ. Склеив границы этого кольца по отображению , мы получаем эллиптическую61кривую Бюффа (), биголоморфно эквивалентную ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ) при = ̄ (0) ∈ ℍ/ℤ, причем класс в () соответствует классу ℝ/ℤ в ℰ .Проекция ℝ/ℤ на () состоит из 2 топологических окружностей,которые делят () на 2 колец; каждое кольцо соответствует одной периодической орбите . Модули колец зависят только от мультипликаторовэтих орбит.

Точнее, каждая притягивающая (соотв., отталкивающая) периодическая орбита имеет бассейн притяжения для (соотв., для −1 ), ипроекция ℍ− ∩ (соотв., ℍ+ ∩ ) на () и является кольцом ; модультакого кольца равенmod =,| log |где — мультипликатор как периодической орбиты .Эти кольца на торе () соответствуют классу гомологий (−, ) относительно выделенных образующих кривой Бюффа ().

Теперь мы можемоценить модуль кривой () в терминах модулей колец . Из классическихнеравенств типа «длины и площади» (см. лемму 47) следует, что∑ — периодическая орбита mod ≤Im(̄ (0)).| − + ̄ (0)|2Значит,1 |̄ (0) − /|2≤ ≔ 22 Im(̄ (0))2 ⋅1∑ — периодическая орбита mod ,из чего следует лемма 40, так как∑ — периодическая орбита mod =∑ — периодическая орбита 1=∑.| log | ∈Per() | log |Доказательство первой оценки из леммы 40 завершает следующая лемма.62Лемма 47.1. Пусть эллиптическая кривая ℰ = ℂ/(ℤ + ℤ) содер-жит несколько неперекрывающихся колец , которые соответствуют первой образующей 1 ().

Тогда Im( ) ⩾ ∑ mod .2. Пусть эллиптическая кривая ℰ = ℂ/(ℤ + ℤ) содержит несколько неперекрывающихся колец . Пусть эти кольца соответствуютэлементу (, ) ∼ + группы 1 (), где и взаимно просты.ТогдаIm( )⩾∑| + |2mod .(10 )Доказательство. Выведем второе утверждение леммы из первого. Пусть, — целые числа, удовлетворяющие равенству + = 1. Применим первое утверждение леммы к эллиптической кривой ℂ/(( + )ℤ + (− + )ℤ)(это та же кривая ℰ , но с другим выбором образующих). Мы получаемIm− + ⩾∑ + mod .Это равносильно (10), так какIm− + (− + )( + ̄)( + ) Im( )Im( )= Im== + | + |2| + |2| + |2Для доказательства первого утверждения мы используем стандартныерассуждения типа «длины и площади». А именно, пусть = { ∈ ℂ ∣ 0 <Im() <mod }/ℤ — стандартное кольцо, имеющее модульmod , ипусть Φ ∶ → ⊂ ℰ — биголоморфное отображение.

Тогда∬ |Φ′ |2 = Area ;u�1∫ |Φ′ (, )| = Length Φ ([, + 1]) ⩾ |Φ ( + 1) − Φ ()| = 1.0Последнее равенство следует из того, что Φ корректно определено как отображение кольца в эллиптическую кривую. Интегрируя по отрезку ∈ [0,63mod ], получаем∬ |Φ′ | ⩾u�mod .Применим неравенство Коши:2 mod ≤ 2 ∫ ∫ |Φ′ | ≤ ∫ |Φ′ |2 + 1 =u�u�mod + Area .поэтому mod ≤ Area . Складывая эти неравенства, получаемIm( ) ⩾ ∑ Area ⩾ ∑mod .Напомним, что первое утверждение леммы 40 влечет лемму 34 (о вещественных концах пузырей). Грубо говоря, в вещественном конце пузыряодин из мультипликаторов стремится к единице, и модуль соответствующего кольца стремится к бесконечности; поэтому эллиптическая криваяБюффа ( ) вырождается, и её модуль стремится к вещественной оси.Напомним, что из первого утверждения леммы 40 и из леммы 44 (омультипликаторах периодических орбит) немедленно следует второе утверждение леммы 40, а потому и лемма 41 (о размере пузырей).5.7.

Лемма 35: непрерывность в комплексных концах пузырейСначала мы расскажем основную идею доказательства в случае нулевого числа вращения.Опишем другую конструкцию, которая приводит к той же эллиптической кривой (). Для каждого аттрактора рассмотрим кольцо ℍ− /{ ∼ } в линеаризующей карте ; для репеллеров возьмем кольца ℍ+ /{ ∼ }. Эти кольца биголоморфно эквивалентны . Теперь склеим последо-64−1вательные кольца по отображениям перехода +1∘ между последователь-ными линеаризующими картами. Получится кривая () 4 .Для вещественных концов пузырей некоторые из модулей колец стремятся к бесконечности, и поэтому эллиптическая кривая Бюффа ()вырождается. Для комплексных концов пузырей модули не стремятся к−1бесконечности.

Мы исследуем отображение переклейки +1∘ в том слу-чае, когда новая параболическая неподвижная точка появляется между и +1 при → 0 , > 0 ; это в точности и происходит в комплексномконце пузыря. Грубо говоря, мы выясним, что при → 0 , > 0 к кривойБюффа ( ) применяется бесконечное число скруток Дэна, и поэтому этаэллиптическая кривая вырождается. Однако в доказательстве мы заменим( ) квазиконформно близкой эллиптической кривой ′ (лемма 48), полученной из тех же колец склейкой по близким отображениям. Затеммы докажем, что при → 0 , > 0 к кривой ′ применяется бесконечномного скруток Дэна.Сейчас мы будем работать с одним гиперболическим отображением ,и для простоты обозначений мы рассматриваем только случай = 0. Пустьrot() = /; мы перейдем к отображению ∘ , пользуясь леммой 46.Проекция ℝ/ℤ на ( ∘ ) делит тор на 2 колец , ∈ ℤ/(2)ℤ, которые соответствуют второй образующей тора ( ) (если поднятие отображения выбрано так, что оно имеет неподвижные точки на окружности).Модули колец равныmod = ≔4log u�u�log u�u�.| log |Далее мы подробно описываем именно эту конструкцию, но переходим в логарифмические картыдля удобства обозначений.65Определим полосу ⊂ ℂ и кольцо ⊂ ℂ/ℤ равенством ≔ { ∈ ℂ ∣ 0 < Im() < }и ≔ /ℤ,пусть ∶ → — естественная проекция.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее