Диссертация (1137386), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть (), ∈ (0, 1) — монотонное аналитическое семействодиффеоморфизмов окружности. Пусть среди отображений нет гиперболических (другими словами, отображение rot( ) строго монотонно —на его графике нет ступенек).Тогда rot( ) аналитически зависит от .Доказательство. Докажем, что в описанном случае аналитическое отображение ↦ (( )) можно по принципу симметрии продолжить в полнуюокрестность интервала (0, 1). Действительно, отображение (( )), ∈ ℍ ∩ rot( ), ∈ (0, 1) (( )), ∈ ℍ− ∩ 92голоморфно в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости, и непрерывно в окрестности вещественной оси.
Поэтому его интеграл по любомузамкнутому контуру равен нулю. Значит, оно голоморфно.938. Пузыри дробно-линейных отображений и ихвозмущенияСемейство + для дробно-линейного отображения — единственноеизвестное мне семейство вида + , для которого можно явно найти выпрямление и модуль эллиптической кривой Арнольда. Для такого семействапузырь только один и имеет вид вертикального отрезка, начинающегося внуле. Мы покажем это в параграфе 8.2.С помощью вычислений из статьи Рислера [7, стр. 76] (см.
предложения 60, 61 этого параграфа) можно посчитать производную отображениямодулей по параметру при = 0 в семействе () + , для которого0 () — дробно-линейное отображение. Это позволит получить картинкиинфинитезимальных пузырей, показывающие, как (в первом приближениипо ) выглядит пузырь семейства + . А именно, вместо настоящего пузыря — кривой ̄ u� () для фиксированного — я буду рисовать кривую̄ 0 () + ̄ u� ().
∣=0 8.1. Производная отображения модулейПусть ∶ ℝ/ℤ → ℍ/ℤ — семейство голоморфных отображений, аналитическое по , — поднятия . Пусть эллиптическая кривая ( ) получена факторизацией криволинейной полосы между кривыми ℝ/ℤ и (ℝ/ℤ)по отображению , () ∈ ℂ/ℤ — её модуль. Тут не требуется, чтобы семейство получалось из монотонного семейства диффеоморфизмов окружности.Я повторю выкладку из статьи Рислера [7, стр. 76] — выражу производную отображения ↦ () через выпрямляющее отображение эллиптической кривой ( ) и производнуюu� .94Пусть ∶ ℝ → ℝ, (+1) = ()+1 — отображение, выпрямляющееэллиптическую кривую ( ):−1 () = + ().(13)Из теоремы Альфорса-Берcа следует, что аналитически зависит отпараметра (см. [7, гл. 2, предложение 2] или 15 на стр.
26).Пусть = −1 . Фиксируем = 0 ; в дальнейших выкладках все значения и производные берутся в точке 0 , поэтому в записи я буду опускатьнижний индекс и писать , , вместо , , .Предложение 60. Верны следующие формулы для производной ′ (0 ). ∣() ′ (0 ) = ∫ −1 ([0,1]) ′ ( + )′ (0 ) = ∣() = ∫ −1 ([0,1]) ′ (()) ′ ()1 () ′∫ ′( ())2 ()0Через ′ , ′ , ′ тут обозначены производные по .Для семейства + формула принимает вид ′ () = ∫ −11∫ (′ ())2 .1′([0,1]) ()=0Доказательство. Продифференцируем выражение (13) по : −1∣ (())+ −1∣⋅ (())( −1 ∘ )∣+∣ ()()Заметим, что −1 ∘ () = −1 () + , и ∣ −1 () −1∣ = − .∣−1()∣ =. 95Поэтому −1 ( + )=− ′+∣ ( + ) (())=( −1 + )⋅∣+∣ ()⋅()(− ′ (∣ = + )()1+ ′+ ′ .∣+ ) ( + ) () ()Если проинтегрировать обе части этого выражения по кривой −1 ([0, 1]),первое и третье слагаемые в правой части сократятся, так как функцияu�u�u�u� () ′ ()голоморфна.
Получим формулу для ′ (): ′ (0 ) = ∫ ∣() −1 ([0,1]) ′ ( + )Заметим, что ′ ( + ) = ′ () ′ (()). Формула примет вид ′ () = ∫ −1 ([0,1]) ∣() ′ (()) ′ ()Чтобы получить третью формулу, достаточно сделать замену = ().Если () — это обычное семейство ()+, производная равна ∫ −1∫ −11′([0,1]) ()1= ∫ (′ ())2 .1′([0,1]) (0Аналогичные формулы верны для модуля эллиптической кривой ( ).Предложение 61.
Пусть ̄ () — модуль эллиптической кривой Бюффа, которая получена склейкой криволинейной полосы, заключенной междукривой и (). Пусть выпрямляет кривую Бюффа.Тогда для производной̄ () верны формулы из предложения 60,если интегралы брать по кривой −1 () в переменной и по кривой — впеременной = ().96Доказательство предложения полностью повторяет доказательство предыдущего предложения, но интеграл по отрезку [0, 1] следует всюду заменитьинтегралом по кривой . Стоит заметить, что кривую можно считать независящей от на достаточно малом отрезке параметров.8.2.
Пузыри дробно-линейных отображенийЗдесь и далее в этом параграфе большими буквами обозначены объекты, связанные с координатой на вещественной прямой ℝ, а маленькими — те же объекты в логарифмической карте, то есть на окружности 1 = { ∈ ℂ ∣ || = 1}.Пусть дробно-линейное отображение окружности 1 = { ∈ ℂ ∣ || =1} имеет вид() = − 0−0 + 1(14)где 0 < 0 < 1. Под действием точки 0 и 1/0 переходят в 0 и ∞ соответственно, точка 1 переходит в точку . Неподвижные точки — это корниквадратного уравнения (−0 2 + (1 − ) + 0 = 0).Дискриминант этого уравнения равен ( − 1)2 + 4 02 = −4 sin2 2 +4 02 = −4 (sin22− 02 ).• Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, неподвижнаяточка только одна, и она параболическая.
Это происходит при sin 2 =±0 .• Если | sin 2 | > 0 , легко убедиться, что один из корней лежит внутриединичного круга, другой — вне него.• Если | sin 2 | < 0 , оба корня лежат на единичной окружности.97Как легко убедиться, в последнем случае аттрактором является точка вида/2=−( sin + √− sin2 + 02 ) ,022а репеллером — точка вида=−/2( sin − √− sin2 + 02 ) .022Построим отображение , для которого −1 — растяжение. В качестве возьмем дробно-линейное отображение, переводящее в 0, в ∞:() =−.−Отображение −1 — это сжатие к нулю с коэффициентом ′ () =u�u� (1−02 )(1−0 )2 .Это вещественное число: ведь () = и сохраняет окружность {|| = 1},на которой лежит , поэтому производная ′ () обязана быть вещественной.Теперь сделаем из этих выкладок выводы о форме пузырей в семействе + , где () =122u�u�u�0ln( − 2u�u�u�− +1 ).
Заметим, что + =0122u�u�u�0ln(2 − 2u�u�u�− +1 ),0поэтому отображения семейства + отличаются от отображений вида (14)только сопряжением с логарифмом ↦12ln , причем соответствует 2.Из приведенных выкладок видно, что + является гиперболическимпри | sin | < 0 . Для таких значений построим эллиптическую кривуюБюффа ( + ), выбрав подходящую кривую Γ ∈ ℂ. В криволинейнойполосе между Γ и (Γ) + перейдем в логарифмическую карту12ln .Получим, что кривая ( + ) биголоморфно эквивалентна кривой, полученной склейкой криволинейного кольца между =12ln Γ и её образомпо отображению .
Отображение ln выпрямляет эту кривую, так как сопрягает со сдвигом на ln ′ () < 0; единичная окружность переходит приэтом в отрезок [0, 2]. Мы получаем, что112 (1 − 02 )′ () =ln () =ln22(1 − 0 )298Так как ′ () вещественно, модуль () — чисто мнимое число. Итак, пузырь в семействе дробно-линейных отображений — это вертикальный отрезок. Заметим, что других пузырей в этом семействе нет, поскольку дробнолинейное отображение окружности без неподвижных точек всегда можновыпрямить (сопрячь с поворотом) дробно-линейной заменой координат.8.3. Инфинитезимальные пузыри: формулыПусть () = () + (), где ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ определено выше, авозмущение мы выберем позже.
Пусть (, ) = ̄ u� () — модуль кривойБюффа ( + ). Предложение 61 позволяет найти его производную по при = 0.Действительно, нам точно известно как выпрямляющее отображение при = 0, так и производная по в семействе , и поэтому можно получить точную интегральную формулу для производной ̄′ (0, ). Если возмущать дробно-линейные отображения тригонометрическими полиномами , получается интеграл от рациональной функции, и его можно посчитатьс помощью вычетов.Этот счет проще всего делать на компьютере (воспользовавшись пакетом для символьных вычислений), но я приведу окончательные формулыдля () = sin 2 и () = cos 2, полученные вручную. В общем случае получаются более громоздкие выражения.
В следующем параграфе япривожу картинки инфинитезимальных пузырей.По предложению 61, формула для производной имеет вид̄′ (0, ) = ∫Γ () ′ 2( ) (). ′ ()В интеграле перейдем к координате = 2 . Заметим, что () =() =12ln (2 ), поэтому ′ () = ′ (2u�u�u� ) 2(2u�u�u� ) = ′ ()() ,12ln (2 ),′ () =′ ()() ,99 = 2 2 = 2 ӣ′ (0, )11() (′ )2 ()=∫ (ln ) ⋅ ′⋅.2 2 () 2 ()Логарифмическая производная дробно-линейного отображения равна++=−(+)(+) .̄′ (0, ) =−(+)2 ⋅Подставим это в подынтегральное выражение.11( − 0 )(1 − 0 )( − )2∫ (ln )2 2( − )2 ( − )2(1 − 02 )1Обозначим () ≔ ( 2ln ). В качестве () будем брать полиномы Лорана;они соответствуют тригонометрическим многочленам ().Тогда у подынтегрального выражения два полюса внутри кривой интегрирования: это точки 0 и (напомним, что точка лежит снаружи откривой ). Пусть — подынтегральное выражение. Нам достаточно найтиего вычеты в особых точках.
В полюсе вычет равен производной в точке от ⋅ ( − )2 : ( − )2[() ′]∣ ( − )2=() ( − )(−20 + 1 + 02 ) ( − )2() 2( − )2= () ′+ ()− () ′=( − )21 − 02 () ( − )2 () ( − )3(−20 + 1 + 02 )2′= () ′+ ()−().1 − 02 () ′ () ( − )′2=Чтобы найти вычет в полюсе 0, надо разложить() (′ )2 () ′ () 2 ()в ряд Тей-лора в точке 0. В общем случае для получения картинок (см. следующийпараграф) я применяю символьные вычисления. Здесь я приведу выкладкидля возмущений 1 () = sin 2 и 2 () = cos 2.1. Если () = sin 2, то () =12 (− −1 ), и вычет в нуле равен нуле2−0 (−)вому члену ряда Тейлора 0 = − 21 (1−2 ) 2 2 . Окончательная фор0100мула:̄′ (0, ) =1 (1 + −2 )1 ( − −1 )(−20 + 1 + 02 ) 1 ( − −1 )=+−+2 ′ ()2 ′ ()( − )1 − 020 ( − )2+.2(1 − 02 )2 2Здесь ′ () вычисляется для отображения , соответствующего =2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
