Диссертация (1137386), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если () = cos 2, то () =1 −0 (−)22 (1−02 ) 2 2 .̄′ (0, )12 (+ −1 ), и вычет в нуле равенОкончательная формула:(1 − −2 ) ( + −1 )(−20 + 1 + 02 )( + −1 )=+− ′+2(1 − 02 )2 ′ () ()( − )−0 ( − )2+.2(1 − 02 )2 28.4. Инфинитезимальные пузыри: картинкиЗдесь я приведу картинки, полученные с помощью компьютера и результатов, доказанных выше.Для возмущений = sin 2, = cos 2 я рисую точки вида ̄(0, )+̄′ (0, ) при ∈ (− 1 arcsin 0 , 1 arcsin 0 ). Значение и выбранное возмущение указаны вверху страницы.Таким образом, нарисованы «инфинитезимальные пузыри»: именно таким образом (в первом порядке по ) выглядят пузыри в семействе + ,где фиксировано. Кроме того, на каждом рисунке отмечен вертикальныйотрезок – пузырь невозмущенного семейства 0 + .Оказывается, что при → ± 1 arcsin 0 производная ̄′ (0, ) стремитсяк бесконечности, поэтому картинка не отражает поведения пузыря возму-101щенного отображения; по этой причине я не рисую нижнюю часть пузыря,когда ≈ ± 1 arcsin 0 .Замечание 62 (О пересечении пузырей).
Пузыри для возмущений sin 6, sin 8и далее трансверсально самопересекаются. Легко доказать почти без вычислений, что такой эффект действительно имеет место для семейств вида + + , если достаточно мало.Действительно, функция ′ |=0 (0, ) линейно зависит от возмущения . Легко доказать, что для () = sin 2 инфинитезимальные пузырисимметричны. Подберём вещественную линейную комбинацию ( sin 2 + sin 4) функций sin 2 и sin 4, для которой образ отрезка [0, 1 arcsin 0 ]под действием ↦ ′ |=0 (0, ) трансверсально пересекает мнимую ось. Этовозможно для любой пары не пропорциональных функций.
Тогда инфинитезимальный пузырь для семейства +( sin 2+ sin 4) трансверсально самопересекается на вертикальном луче [0, +∞]. Значит, и настоящийпузырь этого семейства при малых будет трансверсально самопересекаться вблизи этого луча.1020.200.150.100.05sin2πx, ε =0.050.000.004 0.003 0.002 0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.0040.200.150.100.050.000.030.020.010.00sin4πx, ε =0.050.010.020.030.250.200.150.100.05sin6πx, ε =0.050.000.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04Рис. 21: Инфинитезимальные пузыри для возмущений sin 21030.200.150.100.050.000.0040.0020.000sin8πx, ε =0.0050.0020.0040.200.150.100.05sin10πx, ε =0.0050.000.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0080.200.150.100.05sin20πx, ε =0.00010.000.0003 0.0002 0.0001 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003Рис.
22: Инфинитезимальные пузыри для возмущений sin 21040.200.150.100.050.000.0100.0050.000cos2πx, ε =0.050.0050.0100.200.150.100.05cos4πx, ε =0.050.000.010 0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.0300.200.150.100.05cos6πx, ε =0.030.000.020 0.015 0.010 0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020Рис. 23: Инфинитезимальные пузыри для возмущений cos 21050.200.150.100.050.000.0040.002cos8πx, ε =0.0050.0020.0040.0060.0000.200.150.100.050.000.0060.0040.0020.000cos10πx, ε =0.0050.002 0.004 0.0060.200.150.100.05cos20πx, ε =0.00050.000.0015 0.0010 0.0005 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015Рис.
24: Инфинитезимальные пузыри для возмущений cos 21069. Поведение комплексного числа вращения вблизи+∞Параграф основан на совместной работе с К. БюффомЭтот параграф основан на второй части статьи [1]. Здесь доказана теорема 13 о поведении функции () на бесконечности:Теорема. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию аналитический диффеоморфизм окружности. Тогда () = + + (1)при → +∞ в ℂ/ℤ. Здесь — константа сварки отображения .Дадим определение константы сварки:Определение 63. Склеим множества ℍ/ℤ и ℍ− /ℤ по границе по отображению ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ. Мы получим риманову поверхность, изоморфную ℂ/ℤ.Выберем изоморфизм таким образом, что (±∞) = ±∞ (такой изоморфизм определён с точностью до прибавления константы). В ограничении наверхнюю и нижнюю полуплоскости он даёт пару инъективных аналитических отображений ± ∶ ℍ± /ℤ → ℂ/ℤ.
Так как они голоморфны вблизи ±∞,мы получаем, что± () = + ± + (1) при → ±∞для подходящих констант ± ∈ ℂ/ℤ. Так как определено однозначно сточностью до прибавления константы, разность ≔ + − −107зависит только от . Она и называется константой сварки (welding constant)отображения . Приведенное построение носит название конформной сварки (conformal welding) и обычно проводится для негладких гомеоморфизмовокружности.Доказательство мы разобъём на следующие этапы.Шаг 1. Напомним, что ⊂ ℂ/ℤ — кольцо, ограниченное окружностями ℝ/ℤ и ℝ/ℤ + . Изоморфизм между эллиптической кривой ( ) истандартной кривой ℰu� () индуцирует инъективное голоморфное отображение ∶ → ℂ/ℤ, которое продолжается до аналитического отображения окрестности замкнутого кольца , причем ( ()) = () + () вокрестности ℝ/ℤ.Шаг 2.
При → +∞ последовательность инъективных голоморфныхотображений+ ∶ ↦ () − (0)сходится в ℍ+ /ℤ равномерно на компактах к предельной функции + ∶ℍ+ /ℤ → ℂ/ℤ, а последовательность отображений− ∶ ↦ ( + ) − ((0) + )сходится в ℍ− /ℤ равномерно на компактах к предельной функции − ∶ℍ− /ℤ → ℂ/ℤ. Пара отображений ± ∶ ℍ+ /ℤ → ℂ/ℤ — это те самые отображения, которые возникали в конструкции «конформной сварки» (conformalwelding), см. Введение.Шаг 3. Сравнивая первые коэффициенты ряда Фурье для функций , +и − , мы получаем, что + + (0) = − + − + ((0) + ) + (1)108при → +∞, поэтому () = ((0) + ) − (0) = + + − − + (1) = + + (1).9.1. Отображение Пусть > 0 достаточно мало, так что ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ продолжается доголоморфного инъективного отображения кольца ≔ { ∈ ℂ/ℤ | | Im()| < }.Положим+ ≔ ∪ ∪ ( + ( )).Эллиптическая кривая ( ) получается из + отождествлением точек ∈ с точками () ∈ ( ) + .Биголоморфное отображение из ( ) в ℰ ≔ ℂ/(ℤ + ℤ), переводящеегомотопический класс ℝ/ℤ на торе ( ) в гомотопический класс ℝ/ℤ наторе ℰu� () , поднимается до инъективного отображения ∶ + → ℂ/ℤ,переводящего ℝ/ℤ в кривую, гомотопную ℝ/ℤ, с сохранением ориентации.На выполняется следующее соотношение: ∘ = + ().9.2.
Сходимость ±При → +∞ открытые множества + покрывают любое компактноеподмножество ℍ+ /ℤ ∪ . Последовательность инъективных голоморфныхотображений + ∶ + → ℂ/ℤ, определённая равенством+ () ≔ () − (0),нормальна, и любой её частичный предел + ∶ ℍ+ /ℤ ∪ удовлетворяетравенству + (0) = 0. Этот предел не может быть постоянной функцией, таккак каждое отображение + переводит ℝ/ℤ в нестягиваемую кривую в ℂ/ℤ,109проходящую через 0. Значит, по классической лемме о нормальных отображениях, любой предел + ∶ ℍ+ /ℤ ∪ → ℂ/ℤ — голоморфная инъективнаяфункция.Аналогичным образом при → +∞ открытые множества+− ≔ − + покрывают любое компактное подмножество ℍ− /ℤ ∪ ( ). Последовательность инъективных голоморфных отображений − ∶ − → ℂ/ℤ, определенных равенством− () ≔ ( + ) − ((0) + ),нормальна, каждый её частичный предел − ∶ ℍ/ℤ ∪ ( ) → ℂ/ℤ — голоморфная инъективная функция, удовлетворяющая равенству − ((0)) = 0.Переходя к пределу в следующем соотношении, выполненном на :− ∘ () = (() + ) − ((0) + )= () + () − ((0) + ) = () − (0) = + (),мы получаем соотношение, выполненное на :− ∘ = + .Поэтому пара отображений (− , + ) индуцирует изоморфизм из (+ ⊔+− )/ (где мы отождествляем точку ∈ ⊆ с точкой () ∈ ( ) ⊆−+− ) в ℂ/ℤ.
Следовательно, и и есть та единственная пара изоморфиз-мов, возникающих в конструкции «конформной сварки» (conformal welding)и нормированных условиями + (0) = − ((0)) = 0. Единственность такихфункций показывает, что существует только одна пара частичных пределов последовательностей ± , поэтому последовательности − ∶ − → ℂ/ℤ и+ ∶ + → ℂ/ℤ сходятся.1109.3.
Сравнение коэффициентов ФурьеЗаметим, что ↦ ± () − и ↦ ± () — корректно определенныефункции на ℝ/ℤ со значениями в ℂ. Из сходимости соответствующих рядовследует, что+ ≔ ∫ (+ () − ) ⟶ + ≔ ∫ (+ () − ) →+∞ℝ/ℤℝ/ℤи− ≔ ∫ (− () − ) ⟶ − ≔ ∫ (− () − ) .→+∞ℝ/ℤℝ/ℤТак как голоморфно на + , мы получаем∫ ( () − ) = ∫ℝ/ℤ+ℝ/ℤ( () − ) = ∫ ( ( + ) − ) − .ℝ/ℤПоэтому+ ≔ ∫ (+ () − ) ℝ/ℤ= ∫ ( () − ) − (0)ℝ/ℤ= ∫ ( ( + ) − ) − − (0)ℝ/ℤ= ∫ (− () − ) − + ((0) + ) − (0) = − − + ().ℝ/ℤЗначит, при → +∞ выполнено + + (1) = − + (1) − + (),откуда следует () = + + − − + (1) = + + (1),что и требовалось доказать.11110.
ЗаключениеЯ глубоко благодарна моему научному руководителю Ю.С.Ильяшенкоза постановку задач, поддержку и неустанное внимание к моей работе. Япризнательна К.Бюффу за приглашение в университет Тулузы на месячнуюстажировку и за плодотворную совместную работу. Особая благодарностьмоему соавтору и мужу Юрию Кудряшову за многочисленные обсужденияи дружескую поддержку.112Список литературы1. Buff X., Goncharuk N. Complex rotation numbers // Journal of moderndynamics. — 2015. — Vol. 9. — Pp. 169–190.2.
Denjoy A. Sur les courbes définies par les équations différentielles à lasurface du tore // J. Math. Pures Appl. — 1932. — T. 11. — P. 333–376. — (9e Sér.)3. Ghys É. Groups acting on the circle : a selection of open problems : Лекцияна открытии весенней школы « Groups and Dynamics » в Les Diablerets. —Mar. 9, 2008. — URL : http ://perso.ens- lyon.fr/ghys/articles/diablerets.pdf.4. Hubbard J. H. Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci : threetheorems of J. C. Yoccoz // Topological Methods in Modern Mathematics.
— 1993. — Pp. 467–511.5. Ilyashenko Y., Moldavskis V. Morse-Smale circle diffeomorphisms and moduli of complex tori // Moscow Mathematical Journal. — 2003. — Vol. 3,April-June, no. 2. — Pp. 531–540.6. Koenigs G. Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles // Ann. Sci. École Norm. Sup. — 1884. — T. 1. — P. 3–41. —(3e sér.)7. Risler E. Linéarisation des perturbations holomorphes des rotations et applications // Mémoires de la S.M.F. — 1999.
— T. 77. — P. 1–102. —(2e sér.)8. Schröder E. Über iterierte Funktionen // Math. Ann. — 1871. — Jg. 3. —S. 296–322.1139. Schröder E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen // Math. Ann. — 1870. — Jg. 2, Ausg. 2. — S. 317–365.10. Takens F. Normal forms for certain singularities of vector fields // Ann.Inst. Fourier. — 1973. — Vol. 23, issue 2. — Pp. 163–195.11. Tsujii M. Rotation number and one-parameter family of circle diffeomorphisms // Ergod. th. & Dynam. sys. — 1992. — Vol. 12. — Pp. 359–363.12. Yoccoz J.-C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
