Диссертация (1137386), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Идея доказательства очень проста: мы докажем, что в семействе + может дважды встретиться одно и то же (с точностью до аналитического сопряжения) отображение окружности.Пусть 1 и 2 — два северо-южных отображения окружности, которыеотличаются аналитическим сопряжением. Рассмотрим отображение 1 2−1 .Допустим, rot(1 2−1 ) =∶ диофантово. Тогда по теореме Арнольда—Эрмана—Йоккоза 1 2−1 является поворотом в некоторой карте: найдется ана-84литический диффеоморфизм , для которого( ∘ 1 ∘ −1 ∘ ∘ 2−1 ∘ −1 )() = (1 2−1 )−1 () = + ̃ = ∘ ∘−1 .
Тогда ̃ −1̃̃̃Положим 1,21,21 2 () = +. Поэтому 1 () = 2 ()+.С другой стороны, 1̃ и 2̃ сопряжены, поэтому по замечанию 45 соответствующие эллиптические кривые Бюффа имеют одинаковый модуль:̄ ̃ (0) = ̄ ̃ (0). Значит, в семействе 1̃ + нулевой пузырь будет самопересе12каться или самокасаться в точке ̄ ̃ (0) = ̄ ̃ () = ̄ ̃ (0), что и требовалось.112Осталось подобрать сопряженные отображения 1 , 2 , чтобы число вращения rot(1 2−1 ) было диофантово. Фиксируем северо-южное отображение1 , и пусть 2 = ℎ ∘ 1 ∘ ℎ−1 .Сначала добъемся, чтобы rot(1 2−1 ) принимало значение 1/2.
Пусть1 () = , 1 () = . Выберем ℎ так, чтобы отображение 2−1 удовлетворялоравенствам 2−1 () = и 2−1 () = ; этого всегда можно достичь для североюжных отображений. Тогда rot(1 2−1 ) = 1/2, так как орбита точки имеетпериод 2.Теперь построим непрерывное семейство аналитических диффеоморфизмов ℎ , соединяющее ℎ и : ℎ0 = и ℎ1 = ℎ. Так как число вращенияотображения 1 ∘ (ℎ ∘ 1 ∘ (ℎ )−1 )−1 непрерывно зависит от параметра и меняется от rot(1 1−1 ) = rot() = 0 до 1/2, для какого-то значения параметраоно будет диофантовым, что и требовалось.Доказательство теоремы 10 о пересечении разных пузырей.
Доказательствоаналогично доказательству предыдущей теоремы. Возьмем гиперболическое отображение окружности 2 с числом вращения /, имеющее 2 периодических точек. Пользуясь предложением 53, построим отображение 1 снулевым числом вращения, имеющее 2 неподвижных точек, для которого85̄ 1 (0) = ̄ 2 (0). Мы рассматриваем отображения 1̂ , аналитически сопряженные 1 , и хотим добиться того, чтобы rot 1̂ 2−1 принимало два разныхзначения. Тогда мы заключим, что оно может принимать диофантовы значения, и отображения, сопряженные 1 и 2 , могут встретиться в одномсемействе вида + . Это завершит доказательство леммы.Чтобы получить число вращения rot(1̂ 2−1 ) = /, достаточно расположить 2 неподвижных точек 1̂ во всех периодических точках 2 .
Теперьполучим число вращения rot(1̂ 2−1 ) = 0. Пусть = 2−1 (). Аналитическимсопряжением добъемся того, что 1̂ () = . Тогда 1̂ 2−1 () = , поэтомучисло вращения равно 0.867. Комплексное число вращения в монотонныхсемействах диффеоморфизмов окружностиВ предыдущих параграфах мы работали с семейством диффеоморфизмов окружности вида = +. В этом параграфе мы будем рассматриватьпроизвольные семества , монотонные по параметру.Определение 54. Пусть () — аналитическое семейство аналитическихдиффеоморфизмов окружности, ∈ [0, 1], ∈ ℝ/ℤ. Пусть все () сохраняют ориентацию, и семейство монотонно по : ()> 0.Тогда мы будем называть семейство монотонным аналитическимсемейством диффеоморфизмов окружности.Оказывается, комплексное число вращения можно определить и в этомслучае.7.1.
Конструкция РислераАналитически продолжим отображение → до отображения открытой области ∈ , (0, 1) ∈ . Пусть + = ℍ ∩ . Уменьшая окрестность отрезка (0, 1), добъемся того, чтобы при ∈ + кривая (ℝ/ℤ)находилась выше ℝ/ℤ. Это возможно, так как при малом > 0 имеемIm + () ≈ Im( () + |= ()) = |= () > 0.Как это сделано в работе Э.Рислера [7], факторизуем окрестность криволинейного кольца между ℝ/ℤ и (ℝ/ℤ) по отображению . Мы получимэллиптическую кривую ( ). Её модуль мы будем обозначать (( ));как и ранее, первая образующая тора — кривая ℝ/ℤ — отмеченная, поэтому (( )) ∈ ℍ/ℤ. Заметим, что для семейства + отображение ↦ (( )) совпадает с ранее определенным отображением ↦ ().87Заметим также, что величина (( )) зависит только от отображения ,a не от семейства ↦ .По предложению 2 главы 2 из статьи [7], отображение ↦ (( ))голоморфно в + .
(0)Im = 00 (1) ()1Рис. 20: Конструкция Рислера для монотонных аналитических семействдиффеоморфизмов окружности. — поднятие диффеоморфизма на вещественную осьДля монотонных семейств диффеоморфизмов окружности верен точный аналог теоремы 8:Теорема 55. Пусть , ∈ [0, 1] — монотонное аналитическое семействодиффеоморфизмов окружности. Пусть , ∈ — его аналитическое продолжение в окрестность (0, 1) ⊂ ⊂ ℂ. Положим = max∈[0,1] u� .Тогда функция ↦ (( )), ∈ + , непрерывно продолжается на(0, 1) функцией ̄(). Пусть ∈ (0, 1).• Если rot( ) иррационально, то ̄() = rot( ).• Если rot( ) = / рационально, то ̄() принадлежит замкнутомудиску радиуса /(4 2 ), касающемуся ℝ/ℤ в точке /; более того,– если имеет параболическую орбиту, то ̄() = rot( ).– если — гиперболическое отображение, то ̄() ∈ ℍ/ℤ, в частности, ̄() ≠ rot( ).
В этом случае функция → ̄() аналитическая в точке .88Доказательство теоремы довольно просто следует из утверждения теоремы 8 и следующей леммы 56.7.2. Сравнение семейств и 0 + Лемма 56. Пусть () — монотонное аналитическое семейство диффеоморфизмов окружности. Рассмотрим семейство 0 () + .
Тогда расстояние между (( )) и ((0 + )) в метрике Пуанкаре ограничено,когда ∈ ℝ+ , → 0.Замечание 57. Утверждение остаётся верным (и доказывается таким жеобразом), если стремится к нулю, оставаясь внутри некоторого конусаIm > | Re |.Доказательство. Построим квазиконформное отображение из (0 + ) в( ). Пусть ∶ ℝ → ℝ — поднятие семейства отображений на вещественную ось.
Рассмотрим отображение полосы { ∈ ℂ ∣ 0 < Im < },определенное формулойΨ( + ) = + (), () − 0 ()где () = ,=0−1 (),, ∈ ℝ.(12)Тогда Ψ( + 1) = Ψ() + 1, иΨ(0 () + ) = 0 () + () − 0 ()= ()поэтому Ψ опускается до корректно определённого отображения (0 + )в ( ). Вычислим его квазиконформное отклонение. Так какΨ′ = 1 + ′ (),тоΨ′ = (),11Ψ′ ̄ = (1 + ′ () − ()), Ψ′ = (1 + ′ () + ()).2289Напомним, что () зависит от , см.
(12). При → 0 значение ()равномерно стремится кu�−1 |=0 (0 ()),поэтому его можно равномернооценить: 0 < < | ()|, ′ () < . Так как 0 < < , при малых ′1− ()u� ̄комплексная характеристика ∣ ΨΨ′ ∣ мало отличается от ∣ 1+ () ∣. Получаем,u�что при малых эта величина отделена от 1, поэтому квазиконформноеотклонение Ψ ограничено.По лемме 19, отсюда следует, что расстояние в метрике Пуанкаре между модулями кривых ( ) и (0 + ) ограничено.7.3. Доказательство теоремы 55Оказывается, лемма 56 в наиболее тонком случае — для лиувиллевыхчисел вращения — позволяет сослаться на теорему 8.Лемма 58. Если ∈ ℝ, и• либо rot(0 ) ∉ ℚ/ℤ;• либо 0 имеет параболическую орбиту,то ((0 + )) → rot(0 ) при → 0.Доказательство.
Это следует из предыдущей леммы и из теоремы 8. Действительно, в обоих случаях lim u� () = ̄ u� (0) = rot(0 ), а это чис→000ло лежит на вещественной оси. Поэтому по лемме 56 мы получаем, что ((0 + )) → rot(0 ) при → 0.Для монотонных семейств также верен аналог теоремы 6:Лемма 59. Если 0 ∈ ℝ/ℤ и если 0 — гиперболическое отображение,то (( )) аналитически продолжается в окрестность точки 0 . Более90того, его предельное значение ̄(0 ) зависит только от отображения 0 ,а не от семейства .Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 6. Я опишу его для 0 = 0.
Построим эллиптическую кривую Бюффа( ) (см. параграф 3.1), которая• имеет тот же модуль при = , ∈ (ℝ+ , 0), что и наша кривая ( );• аналитически зависит от ;• определена в полной окрестности 0.Модули кривых ( ) и дают требуемое аналитическое продолжение.Эллиптическая кривая ( ) есть результат склейки фундаментальной области отображения , заключенной между кривой и её образом.Кривая выбирается так же, как и раньше. Единственное отличие во всехдоказательствах состоит в том, что мы ничего не утверждаем о ( ) при = , если велико.Выбор кривой и построение эллиптической кривой (0 ) зависяттолько от отображения 0 , поэтому значение ̄(0) также зависит только от0 .Доказательство теоремы 55.
Из лемм 58 и 59 мы получаем, что для всехточек ∈ ℝ существует предел ̄() ≔ lim ((+ )), вещественный для→0иррационального числа вращения и лежащий в верхней полуплоскости —для рационального.Докажем, что граничная функция ̄() непрерывна на вещественнойоси (ср. с п. 5.8). Для внутренних точек пузыря достаточно воспользоватьсялеммой 59.
Заметим, что лемма 40 применима, так как в ней идет речь обиндивидуальном отображении ; из неё, как и ранее, следует результат о91вещественных концах пузыря. Из леммы 40 и леммы 44 (оценка на мультипликаторы) следует оценка на размер пузыря. Из неё, в свою очередь,следует непрерывность предельной функции ̄() в точках , rot( ) ∉ ℚ/ℤ.Осталось исследовать комплексные концы пузырей. Мы можем применить лемму 48, так как в ней вновь идет речь об индивидуальном отображении . Поведение вблизи комплексного конца пузыря исследуетсядословно так же, как и раньше, см. два последних абзаца параграфа 5.7.Итак, граничная функция непрерывна и всюду равна пределу lim (+→0). Значит, функция непрерывно продолжается на вещественную ось.7.4. Аналитичность числа вращения в семействах без ступенекС помощью конструкции комплексного числа вращения в монотонныхсемействах можно доказать теорему 11, касающуюся поведения обычногочисла вращения:Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
