Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 7

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 7 страницаДиссертация (1137386) страница 72019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если же все параболические орбиты 0распадаются на комплексные попарно сопряженные периодические орбиты,то 0 — комплексный конец пузыря. Заметим, что в этом случае 0 должноиметь и другие — гиперболические — орбиты, иначе , ∈ (0 , 0 + ] неможет быть гиперболическим.Лемма 34 (Вещественные концы пузырей). Если 0 — вещественный конец пузыря, rot(0 ) = /, то кривая ̄ (), → 0 , > 0 , стремится кточке∈ ℝ/ℤ сверху: входит в каждый орицикл в точке , см.

рис. 11(a).49Лемма 35 (Комплексные концы пузырей). Если 0 — левый комплексныйконец пузыря, rot(0 ) = /, то кривая ̄ (), → 0 , > 0 расположенамежду двумя орициклами в точкеи касается отрезка [ , + ), см. рис.11(b).Если 0 — правый комплексный конец пузыря, то кривая ̄ (), →0 , < 0 расположена между двумя орициклами в точкеи касаетсяотрезка ( − , ].Рис. 11: Схематическое изображение кривой ̄ (), ∈ [0 , 0 + ], в случае, когда 0 — (a) вещественный и (b) комплексный левый конец пузыря;rot(0 ) = .Замечание 36. Когда мы переходим к диффеоморфизму ↦ −(−), отображение ̄ сопрягается отображением ↦ −.̄ Поэтому достаточно доказывать леммы 34 и 35 для левых концов пузырей.Пользуясь этими леммами, мы опровергаем гипотезу об инъективности (см.

гипотезу (1) п. 2) .Следствие 37. Предположим, что − () имеет два локальных максимума в точках 1 и 2 , причем 1 − (1 ) ≠ 2 − (2 ) (см. рис. 12). Тогда не инъективно.Доказательство. Пусть 1 и 2 — значения − () в точках 1 и 2 соответственно. Допустим, 1 < 2 . Тогда отображение при 1 < < 2 имеет50Рис.

12: Графики функций , + 1 , + 2 .нулевое число вращения, и при = 1 , = 2 оно имеет параболическиенеподвижные точки. Заметим, что когда возрастает от 1 к 1 + , параболическая неподвижная точка исчезает (1 — комплексный левый конецпузыря), поэтому в силу леммы 35 кривая ↦ ̄ () касается [0, 0+). Когда < 2 стремится к 2 , две гиперболические особые точки сливаются в параболическую (2 — вещественный конец пузыря). Поэтому, в силу леммы 34,кривая ↦ ̄ () входит в каждый орицикл в 0, когда < 2 стремится 2 .На рис. 13 схематически изображен этот пузырь.

Но если бы отображение было инъективным, ростки кривой ̄ |ℝ/ℤ в точках 1 и 2 (проходящие через0) были бы ориентированы по часовой стрелке. Полученное противоречиепоказывает, что не инъективно в верхней полуплоскости.Рис. 13: Схематическое изображение кривой ̄ ((1 , 2 )).Для отображения , график которого изображен на рисунке 12, рас-51смотрим кривую ̄ ((0, 2 )) — букет пузырей (это все пузыри, соответствующие нулевому числу вращения). Такие же рассуждения позволяют выяснить, как ведут себя эти пузыри вблизи концевых точек, и тем самымполучить некоторые сведения о форме букета пузырей (см.

вопрос (5) изп. 2). Но как могут себя вести эти кривые вдали от вещественной оси ипод какими углами они могут подходить к вещественной оси, до сих порнеизвестно. Две из возможных картинок изображены на рис. 14.Рис. 14: «Букет пузырей»: возможные формы кривой ̄ ((0, 2 )).5.2. План доказательства теоремы 8Доказательство теоремы 8 мы разобъем на несколько этапов.Шаг 1.

Напомним, что число ∈ ℝ/ℤ называется диофантовым, если длянекоторых > 0 и > 0 любое рациональное число / ∈ ℚ/ℤ удовлетворяет равенству∣ − ∣ > 2+ .Теорема 38. Если ∈ ℝ/ℤ и если rot( ) диофантово, тоlim ( + ) = rot( ).→0>0Теорему 38 доказал Рислер [7], получив её в качестве одного из следствий довольно тонкого аналога теоремы Арнольда—Эрмана. Очень корот-52кое непосредственное доказательство получил Молдавский [19].Шаг 2. Если ∈ ℝ/ℤ и rot( ) рационально, то заключение теоремы 38неверно. Это впервые доказали Ю.Ильяшенко и В.Молдавский [5]. Позднеея доказала теорему 6 (см.

§3), в силу которой отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность точки . В дальнейшем мы будемобозначать это аналитическое продолжение через ̄ () (это обозначение согласуется с обозначениями §3). На данном этапе ̄ () определено на счетном множестве отрезков вещественной оси, но в дальнейшем мы определим̄ на всем множестве ℝ/ℤ.Шаг 3. Напомним, что ∈ ℝ/ℤ лиувиллево, если оно иррационально, но недиофантово. Мы воспользуемся следующим результатом М.

Цуджи.Теорема 39 (М. Цуджи [11]). Множество точек ∈ ℝ/ℤ, для которыхrot( ) лиувиллево, имеет нулевую меру Лебега.Отсюда следует, что почти все ∈ ℝ/ℤ удовлетворяют предположениям или теоремы 38, или теоремы 6 (заметим, что множество , для которых имеет параболические периодические орбиты, счетно, так как наше семейство аналитическое).Для полноты изложения мы приводим упрощенный вариант доказательства Цуджи в Дополнении 5.11.Шаг 4. Если число вращения рационально, мы будем обозначать его/.

Пусть Per( ) — множество периодических точек ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ. Длякаждого ∈ Per( ) пусть — мультипликатор как неподвижной точки ∘ . Первый из наших результатов — аналог неравенства Йоккоза, котороепозволяет оценить мультипликатор неподвижной точки полиномиальногоотображения в терминах его комбинаторного числа вращения (см. [4]).53Лемма 40. Допустим, — гиперболическое отображение с рациональным числом вращения /.

Тогда ̄ () принадлежит диску, который касается ℝ/ℤ в точке / и имеет радиус ≔112 ⋅ ∑| log |∈Per( ).(8 )u�При этом ≤ /(4 2 ).(9 )Мощность множества Per( ) для гиперболических отображений равнапо крайней мере 2, и в силу леммы 44 (см. ниже) для каждого ∈ Per( )выполнено неравенство | log | ≤ . Поэтому из оценки (8) следует неравенство (9).Из оценки (9) немедленно следует лемма о размере пуырей:Лемма 41 (Размер пузырей). Пузырь, соответствующий rot( ) = /,лежит внутри диска радиусаu� /(4),2касающегося ℝ/ℤ в точке /.Заметим, что из леммы 40 следует лемма 34 (о вещественных концахпузырей).

Действительно, для вещественных концов пузырей один из мультипликаторов стремится к 1, а тогда из (8) следует, что стремится кнулю при → 0. Поэтому ̄ () заходит в любой орицикл в точке /.Шаг 5. Пусть ̄ ∶ ℝ/ℤ → ℂ/ℤ определено равенством• ̄ () ≔ rot( ), если число вращения иррационально или если имеет параболическую орбиту и• ̄ () ≔ lim ( + ), если гиперболическое.→0>054Это определение согласовано с определением ̄ () для гиперболических (см. Шаг 2). Мы докажем, что ̄ — непрерывное продолжение на вещественную ось; таким образом, совпадение с обозначением из формулировкитеоремы 8 не случайно и не приведет к недоразумениям.Лемма 42 (Непрерывность граничной функции).

Функция ̄ непрерывнана ℝ/ℤ.Довольно сложно доказать непрерывность ̄ в комплексных концахпузырей. Для тех точек , для которых гиперболическое (для точек пузырей) это следует из теоремы 6; для вещественных концов пузырей мывоспользуемся леммой 34; для точек с иррациональным rot( ) нам будетнужна лемма 41 о размере пузырей.Шаг 6.

Голоморфное отображение ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ имеет пределы вдольвертикальных отрезков на ℝ/ℤ почти всюду, и эти пределы совпадают снепрерывным отображением ̄ . Из этого легко следует, что непрерывнопродолжается на ℝ/ℤ функцией ̄ .5.3. Мультипликаторы периодических орбит и искажениеПеред тем, как приступить к доказательству наших результатов, мыполучим полезную оценку на мультипликаторы периодических орбит диффеоморфизма окружности (лемма 44).Искажение диффеоморфизма ∶ → — это ′ ()dis () = max log ′ .,∈ ()Для любых двух диффеоморфизмов ∶ → и ∶ → выполненоdis ( −1 ) = dis () иdis ( ∘ ) ≤ dis () + dis ().55Лемма 43 (А.

Данжуа). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию 2 -гладкий диффеоморфизм окружности, а ⊂ ℝ/ℤ — интервал,образы которого , (), ∘2 (), …, ∘ () не пересекаются. Тогдаdis ( ∘ ) ≤ .Доказательство. Пусть и — точки отрезка . Положим ≔ ∘ () и ≔ ∘ (). Тогда∘ ′∘ ′−1∣log( ) () − log( ) ()∣ = ∣∑ log ′ ( ) − log ′ ( )∣=0−1u�≤ ∑ ∣∫=0≤∫ ∣ℝ/ℤu�″ ″ ()∣ ′ () ()∣ = .

′ ()В качестве следствия мы получаем следующую оценку на мультипликаторы периодических орбит . Эта оценка, разумеется, известна специалистам, но мы не нашли текстов, где бы она была бы доказана именно в такойформулировке, и потому приводим здесь её доказательство.Лемма 44 (Оценка на мультипликаторы). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкийдиффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, и пусть — мультипликаторего периодической орбиты. Тогда | log | ≤ .Доказательство.

Среднее значение производной ( ∘ )′ на окружности ℝ/ℤравно 1. Поэтому существует точка 0 ∈ ℝ/ℤ, для которой ( ∘ )′ (0 ) = 1.Каждая периодическая орбита { , (), … , ∘ () = } делит окружностина непересекающиеся интервалы 1 , … , , и переставляет эти интервалы.Без потери общности мы можем считать, что 1 содержит и 0 . Тогда всилу предыдущей леммы( ∘ )′ ()| log | = ∣log( ) ()∣ = ∣log ∘ ′∣ ≤ dis1 ( ∘ ) ≤ .( ) (0 )∘ ′565.4. Диофантово число вращенияМы приводим доказательство теоремы 38. Это упрощенный вариантисходного доказательства Молдавского [19]. Доказательство основано налемме 19 из §3 о близости модулей квазиконформно близких эллиптических кривых.Без потери общности мы можем считать, что = 0, то есть ∶ ℝ/ℤ →ℝ/ℤ имеет диофантово число вращения ∈ ℝ/ℤ.

В силу теоремы Арнольда–Эрмана–Йоккоза (см. [12]) существует аналитический диффеоморфизм окружности ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ, сопрягающий и поворот на угол : для всякого ∈ ℝ/ℤ имеем( + ) = ∘ ().Пусть ̂ ∶ ℂ/ℤ → ℂ/ℤ — гомеоморфизм, определенный равенством̂ = (Re()) + Im().()Тогда ̂ ∶ ℂ/ℤ → ℂ/ℤ — -квазиконформный гомеоморфизм с ≔ max(‖′ ‖∞ , ‖1/′ ‖∞ ).Далее, для каждого > 0̂ + + ) = (())̂(+ ,поэтому ̂ индуцирует -квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми ℂ/(ℤ + ( + )ℤ) и ( ). Отсюда следует, что для > 0расстояние в метрике Пуанкаре в ℍ/ℤ между + и () равномерноограничено, а потомуlim () = .→0>0575.5.

Гиперболические диффеоморфизмы: возникновение пузырейМы коротко напомним конструкцию эллиптической кривой Бюффа(), использованной в доказательстве 6 (см. §3), и заодно введём удобныенам обозначения. Эта эллиптическая кривая понадобится нам при доказательстве лемм 41, 34, 35 и 40; в качестве мы будем брать .Допустим, диффеоморфизм ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ гиперболический: имеетрациональное число вращения и только гиперболические периодические орбиты. Пусть ≥ 1 — количество притягивающих периодических орбит ;оно равно числу отталкивающих орбит. Пусть , ∈ ℤ/(2)ℤ — периодические точки с циклической нумерацией; пусть точки притягивающихорбит имеют четные номера, а отталкивающих — нечетные.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее