Диссертация (1137386), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если же все параболические орбиты 0распадаются на комплексные попарно сопряженные периодические орбиты,то 0 — комплексный конец пузыря. Заметим, что в этом случае 0 должноиметь и другие — гиперболические — орбиты, иначе , ∈ (0 , 0 + ] неможет быть гиперболическим.Лемма 34 (Вещественные концы пузырей). Если 0 — вещественный конец пузыря, rot(0 ) = /, то кривая ̄ (), → 0 , > 0 , стремится кточке∈ ℝ/ℤ сверху: входит в каждый орицикл в точке , см.
рис. 11(a).49Лемма 35 (Комплексные концы пузырей). Если 0 — левый комплексныйконец пузыря, rot(0 ) = /, то кривая ̄ (), → 0 , > 0 расположенамежду двумя орициклами в точкеи касается отрезка [ , + ), см. рис.11(b).Если 0 — правый комплексный конец пузыря, то кривая ̄ (), →0 , < 0 расположена между двумя орициклами в точкеи касаетсяотрезка ( − , ].Рис. 11: Схематическое изображение кривой ̄ (), ∈ [0 , 0 + ], в случае, когда 0 — (a) вещественный и (b) комплексный левый конец пузыря;rot(0 ) = .Замечание 36. Когда мы переходим к диффеоморфизму ↦ −(−), отображение ̄ сопрягается отображением ↦ −.̄ Поэтому достаточно доказывать леммы 34 и 35 для левых концов пузырей.Пользуясь этими леммами, мы опровергаем гипотезу об инъективности (см.
гипотезу (1) п. 2) .Следствие 37. Предположим, что − () имеет два локальных максимума в точках 1 и 2 , причем 1 − (1 ) ≠ 2 − (2 ) (см. рис. 12). Тогда не инъективно.Доказательство. Пусть 1 и 2 — значения − () в точках 1 и 2 соответственно. Допустим, 1 < 2 . Тогда отображение при 1 < < 2 имеет50Рис.
12: Графики функций , + 1 , + 2 .нулевое число вращения, и при = 1 , = 2 оно имеет параболическиенеподвижные точки. Заметим, что когда возрастает от 1 к 1 + , параболическая неподвижная точка исчезает (1 — комплексный левый конецпузыря), поэтому в силу леммы 35 кривая ↦ ̄ () касается [0, 0+). Когда < 2 стремится к 2 , две гиперболические особые точки сливаются в параболическую (2 — вещественный конец пузыря). Поэтому, в силу леммы 34,кривая ↦ ̄ () входит в каждый орицикл в 0, когда < 2 стремится 2 .На рис. 13 схематически изображен этот пузырь.
Но если бы отображение было инъективным, ростки кривой ̄ |ℝ/ℤ в точках 1 и 2 (проходящие через0) были бы ориентированы по часовой стрелке. Полученное противоречиепоказывает, что не инъективно в верхней полуплоскости.Рис. 13: Схематическое изображение кривой ̄ ((1 , 2 )).Для отображения , график которого изображен на рисунке 12, рас-51смотрим кривую ̄ ((0, 2 )) — букет пузырей (это все пузыри, соответствующие нулевому числу вращения). Такие же рассуждения позволяют выяснить, как ведут себя эти пузыри вблизи концевых точек, и тем самымполучить некоторые сведения о форме букета пузырей (см.
вопрос (5) изп. 2). Но как могут себя вести эти кривые вдали от вещественной оси ипод какими углами они могут подходить к вещественной оси, до сих порнеизвестно. Две из возможных картинок изображены на рис. 14.Рис. 14: «Букет пузырей»: возможные формы кривой ̄ ((0, 2 )).5.2. План доказательства теоремы 8Доказательство теоремы 8 мы разобъем на несколько этапов.Шаг 1.
Напомним, что число ∈ ℝ/ℤ называется диофантовым, если длянекоторых > 0 и > 0 любое рациональное число / ∈ ℚ/ℤ удовлетворяет равенству∣ − ∣ > 2+ .Теорема 38. Если ∈ ℝ/ℤ и если rot( ) диофантово, тоlim ( + ) = rot( ).→0>0Теорему 38 доказал Рислер [7], получив её в качестве одного из следствий довольно тонкого аналога теоремы Арнольда—Эрмана. Очень корот-52кое непосредственное доказательство получил Молдавский [19].Шаг 2. Если ∈ ℝ/ℤ и rot( ) рационально, то заключение теоремы 38неверно. Это впервые доказали Ю.Ильяшенко и В.Молдавский [5]. Позднеея доказала теорему 6 (см.
§3), в силу которой отображение ↦ () аналитически продолжается в окрестность точки . В дальнейшем мы будемобозначать это аналитическое продолжение через ̄ () (это обозначение согласуется с обозначениями §3). На данном этапе ̄ () определено на счетном множестве отрезков вещественной оси, но в дальнейшем мы определим̄ на всем множестве ℝ/ℤ.Шаг 3. Напомним, что ∈ ℝ/ℤ лиувиллево, если оно иррационально, но недиофантово. Мы воспользуемся следующим результатом М.
Цуджи.Теорема 39 (М. Цуджи [11]). Множество точек ∈ ℝ/ℤ, для которыхrot( ) лиувиллево, имеет нулевую меру Лебега.Отсюда следует, что почти все ∈ ℝ/ℤ удовлетворяют предположениям или теоремы 38, или теоремы 6 (заметим, что множество , для которых имеет параболические периодические орбиты, счетно, так как наше семейство аналитическое).Для полноты изложения мы приводим упрощенный вариант доказательства Цуджи в Дополнении 5.11.Шаг 4. Если число вращения рационально, мы будем обозначать его/.
Пусть Per( ) — множество периодических точек ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ. Длякаждого ∈ Per( ) пусть — мультипликатор как неподвижной точки ∘ . Первый из наших результатов — аналог неравенства Йоккоза, котороепозволяет оценить мультипликатор неподвижной точки полиномиальногоотображения в терминах его комбинаторного числа вращения (см. [4]).53Лемма 40. Допустим, — гиперболическое отображение с рациональным числом вращения /.
Тогда ̄ () принадлежит диску, который касается ℝ/ℤ в точке / и имеет радиус ≔112 ⋅ ∑| log |∈Per( ).(8 )u�При этом ≤ /(4 2 ).(9 )Мощность множества Per( ) для гиперболических отображений равнапо крайней мере 2, и в силу леммы 44 (см. ниже) для каждого ∈ Per( )выполнено неравенство | log | ≤ . Поэтому из оценки (8) следует неравенство (9).Из оценки (9) немедленно следует лемма о размере пуырей:Лемма 41 (Размер пузырей). Пузырь, соответствующий rot( ) = /,лежит внутри диска радиусаu� /(4),2касающегося ℝ/ℤ в точке /.Заметим, что из леммы 40 следует лемма 34 (о вещественных концахпузырей).
Действительно, для вещественных концов пузырей один из мультипликаторов стремится к 1, а тогда из (8) следует, что стремится кнулю при → 0. Поэтому ̄ () заходит в любой орицикл в точке /.Шаг 5. Пусть ̄ ∶ ℝ/ℤ → ℂ/ℤ определено равенством• ̄ () ≔ rot( ), если число вращения иррационально или если имеет параболическую орбиту и• ̄ () ≔ lim ( + ), если гиперболическое.→0>054Это определение согласовано с определением ̄ () для гиперболических (см. Шаг 2). Мы докажем, что ̄ — непрерывное продолжение на вещественную ось; таким образом, совпадение с обозначением из формулировкитеоремы 8 не случайно и не приведет к недоразумениям.Лемма 42 (Непрерывность граничной функции).
Функция ̄ непрерывнана ℝ/ℤ.Довольно сложно доказать непрерывность ̄ в комплексных концахпузырей. Для тех точек , для которых гиперболическое (для точек пузырей) это следует из теоремы 6; для вещественных концов пузырей мывоспользуемся леммой 34; для точек с иррациональным rot( ) нам будетнужна лемма 41 о размере пузырей.Шаг 6.
Голоморфное отображение ∶ ℍ/ℤ → ℍ/ℤ имеет пределы вдольвертикальных отрезков на ℝ/ℤ почти всюду, и эти пределы совпадают снепрерывным отображением ̄ . Из этого легко следует, что непрерывнопродолжается на ℝ/ℤ функцией ̄ .5.3. Мультипликаторы периодических орбит и искажениеПеред тем, как приступить к доказательству наших результатов, мыполучим полезную оценку на мультипликаторы периодических орбит диффеоморфизма окружности (лемма 44).Искажение диффеоморфизма ∶ → — это ′ ()dis () = max log ′ .,∈ ()Для любых двух диффеоморфизмов ∶ → и ∶ → выполненоdis ( −1 ) = dis () иdis ( ∘ ) ≤ dis () + dis ().55Лемма 43 (А.
Данжуа). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — сохраняющий ориентацию 2 -гладкий диффеоморфизм окружности, а ⊂ ℝ/ℤ — интервал,образы которого , (), ∘2 (), …, ∘ () не пересекаются. Тогдаdis ( ∘ ) ≤ .Доказательство. Пусть и — точки отрезка . Положим ≔ ∘ () и ≔ ∘ (). Тогда∘ ′∘ ′−1∣log( ) () − log( ) ()∣ = ∣∑ log ′ ( ) − log ′ ( )∣=0−1u�≤ ∑ ∣∫=0≤∫ ∣ℝ/ℤu�″ ″ ()∣ ′ () ()∣ = .
′ ()В качестве следствия мы получаем следующую оценку на мультипликаторы периодических орбит . Эта оценка, разумеется, известна специалистам, но мы не нашли текстов, где бы она была бы доказана именно в такойформулировке, и потому приводим здесь её доказательство.Лемма 44 (Оценка на мультипликаторы). Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкийдиффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, и пусть — мультипликаторего периодической орбиты. Тогда | log | ≤ .Доказательство.
Среднее значение производной ( ∘ )′ на окружности ℝ/ℤравно 1. Поэтому существует точка 0 ∈ ℝ/ℤ, для которой ( ∘ )′ (0 ) = 1.Каждая периодическая орбита { , (), … , ∘ () = } делит окружностина непересекающиеся интервалы 1 , … , , и переставляет эти интервалы.Без потери общности мы можем считать, что 1 содержит и 0 . Тогда всилу предыдущей леммы( ∘ )′ ()| log | = ∣log( ) ()∣ = ∣log ∘ ′∣ ≤ dis1 ( ∘ ) ≤ .( ) (0 )∘ ′565.4. Диофантово число вращенияМы приводим доказательство теоремы 38. Это упрощенный вариантисходного доказательства Молдавского [19]. Доказательство основано налемме 19 из §3 о близости модулей квазиконформно близких эллиптических кривых.Без потери общности мы можем считать, что = 0, то есть ∶ ℝ/ℤ →ℝ/ℤ имеет диофантово число вращения ∈ ℝ/ℤ.
В силу теоремы Арнольда–Эрмана–Йоккоза (см. [12]) существует аналитический диффеоморфизм окружности ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ, сопрягающий и поворот на угол : для всякого ∈ ℝ/ℤ имеем( + ) = ∘ ().Пусть ̂ ∶ ℂ/ℤ → ℂ/ℤ — гомеоморфизм, определенный равенством̂ = (Re()) + Im().()Тогда ̂ ∶ ℂ/ℤ → ℂ/ℤ — -квазиконформный гомеоморфизм с ≔ max(‖′ ‖∞ , ‖1/′ ‖∞ ).Далее, для каждого > 0̂ + + ) = (())̂(+ ,поэтому ̂ индуцирует -квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми ℂ/(ℤ + ( + )ℤ) и ( ). Отсюда следует, что для > 0расстояние в метрике Пуанкаре в ℍ/ℤ между + и () равномерноограничено, а потомуlim () = .→0>0575.5.
Гиперболические диффеоморфизмы: возникновение пузырейМы коротко напомним конструкцию эллиптической кривой Бюффа(), использованной в доказательстве 6 (см. §3), и заодно введём удобныенам обозначения. Эта эллиптическая кривая понадобится нам при доказательстве лемм 41, 34, 35 и 40; в качестве мы будем брать .Допустим, диффеоморфизм ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ гиперболический: имеетрациональное число вращения и только гиперболические периодические орбиты. Пусть ≥ 1 — количество притягивающих периодических орбит ;оно равно числу отталкивающих орбит. Пусть , ∈ ℤ/(2)ℤ — периодические точки с циклической нумерацией; пусть точки притягивающихорбит имеют четные номера, а отталкивающих — нечетные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
