Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137386), страница 10

Файл №1137386 Диссертация (Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика) 10 страницаДиссертация (1137386) страница 102019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

По теореме Лебега об ограниченнойсходимости,21() =∫ ℎ( ) ( , ) .2 0По теореме Пуассона, правая часть этого равенства дает решение задачиДирихле для уравнения Лапласа. Значит, Re и Im удовлетворяют равенствуlimu�u� Re () = Re ℎ( ),→limu�u� Im () = Im ℎ( ).→735.10. Доказательство леммы 48Чтобы завершить доказательство леммы 48 (см. п. 5.7), мы построим-квазиконформное отображениеΨ ∶ ( ∘ ) → ℰ ≡ ′которое переводит гомотопический класс ℝ/ℤ на торе ( ∘ ) в класс ℝ/ℤна торе ℰ . Мы покажем, что log ≤ 5 . Тогда утверждение леммы будетследовать из леммы 19.Гомеоморфизм ∶ − → − , определенный формулой () ≔ () − +1 + ,оставляет на месте точку ∈ − . Пусть ̃ ∶ ℝ → ℝ — поднятие ∶− → − , которое оставляет на месте точку ̃ ; пусть Ψ̃ ∶ → — егопродолжение на , определенное равенствомΨ̃ ( + ) ≔( + ) + (1 −) ̃ ().Гомеоморфизм Ψ̃ ∶ → тождественен в ограничении на ℝ + иопускается до корректно определённого гомеоморфизма Ψ ∶ → .

Попостроению, следующая диаграмма коммутативна:−u�Ψu�+/+1Ψu�+1/−↦−u� +u�+1++1.Поэтому набор гомеоморфизмов Ψ ∶ → индуцирует гомеоморфизмΨ ∶ ( ∘ ) → ′ (см. рис. 17). Так как Ψ̃ оставляет на месте точки ̃ и ̃ ,гомеоморфизм Ψ переводит гомотопический класс кривой на торе ( ∘ )в гомотопический класс кривой ′ на торе ′ .74u�+u�u�−u�u�Ψu�−u�u�u�↦−u� +u�+1+u�+1u�+1+−u�+1u�+u�+1+Ψ+1u�+1+u�+1u�+1−u�+1Рис. 17: Отображения Ψ и Ψ+1Теперь достаточно доказать, что гомеоморфизм Ψ ∶ ( ∘ ) → ′ является 5u� -квазиконформным.Заметим, что Ψ ∞ -гладкий всюду, кроме точек на образах кривых± в эллиптической кривой ( ∘ ).

Эти образы — аналитические кривые(так как отображения склейки аналитические). Поэтому Ψ — кусочно ∞ -гладкий гомеоморфизм с ограниченными частными производными вблизи множества негладкости — набора аналитических кривых.Значит, достаточно оценивать квазиконформное отклонение в областяхгладкости Ψ, то есть нужно доказать, что каждое отображение Ψ ∶ → является 5u� -квазиконформным. Или, что то же самое, достаточно проверить выполнение неравенства∥ Ψ̃ / ̄∥ Ψ̃ /≤ < 1,гдеdist (0, ) < 5 .∞Тут dist — расстояние в метрике Пуанкаре в единичном диске.Для простоты мы опускаем индекс в следующей выкладке:̃ ̄̃̃ Ψ/ Ψ/+ Ψ/( + ) =( + )̃̃̃ Ψ/ Ψ/− Ψ/̃(1 − ) ⋅ (′̃ () − 1) − (()− )=.′̃̃2 + (1 − ) ⋅ ( () − 1) + (() − )75Последнее выражение имеет вид ( − 1)/(̄ + 1), где̃()−) ⋅ (′̃ () − 1) и Im() =.−1−1−1Заметим, что ∣∣ = ∣∣ и дробно-линейное отображение ↦̄ + 1+1+1переводит правую полуплоскость в единичный диск.

Поэтому достаточноRe() = 1 + (1 −показать, что принадлежит правой полуплоскости { ∈ ℂ | Re() > 0 } ипри этом расстояние в метрике Пуанкаре в этой полуплоскости между точками 1 и не превосходит 5 .Это расстояние в метрике Пуанкаре ограничено сверху величиной ∣Im()∣+∣log Re()∣. Так как ̃ ∶ ℝ → ℝ — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм,оставляющий на месте точки + ℤ ∈ ℝ, то выполнены неравенства ′̃ () > 0̃и ∣()− ∣ < 1. Так как 0 < 1 − / < 1, получаем1| log |=≤ | log | ≤ ℝℝ(последнее неравенство следует из леммы 44). Среднее значение ′̃ на от0 < min ′̃ ≤ Re() ≤ max ′̃и∣Im()∣ ≤̃ − (0)̃ = 1.

Поэтому ′̃ принимает значение 1 ирезке [0, 1] равно (1)− disℝ () = − disℝ ()̃ < log min(′̃ ) ≤ 0 ≤ log max(′̃ ) < disℝ ()̃ = disℝ ().ℝℝНаконец, ℝ не превосходит 4 по лемме 49. Это даёт оценку наRe :exp(−4 ) ≤ Re ≤ exp(4 ),а значит, и требуемую оценку на расстояние между и 1.5.11. Дополнение: доказательство теоремы ЦуджиДля полноты изложения мы приводим доказательство теоремы Цуджи (см. теорему 39), которое кажется нам проще доказательства из статьи[11], хотя основные идеи остаются такими же. Следующее предложение —основной шаг доказательства Цуджи.76Предложение 51.

Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкий диффеоморфизмокружности, сохраняющий ориентацию, с иррациональным числом вращения ∈ ℝ/ℤ. Если / — подходящая дробь для , полученная разложением в цепную дробь, то существует значение параметра ∈ ℝ/ℤ, удовлетворяющее равенству|| < u� ⋅ | − /|иrot( ) = /.Доказательство. По классической теореме, доказанной А.

Данжуа, существует гомеоморфизм ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ, для которого ( + ) = ∘ () длявсех ∈ ℝ/ℤ.Без потери общности мы будем считать, что < /, и положим ≔ − . Пусть ⊂ ℝ/ℤ — объединение интервалов ≔ ⋃ с1≤≤ ≔ (, + ).Так как / — подходящая дробь для , это объединение непересекающихся интервалов длины . По лемме 52 (см. ниже), можно выбрать сдвиг ∈ ℝ/ℤ так, что мера Лебега множества ( + ) не превосходит .Теперь положим ≔ (), и для каждого ∈ ℤ положим ≔ ∘ () = ( + ) и ≔ ( , − ) = ( + ).Интервалы 1 , 2 = (1 ), …, = ∘ (1 ) попарно не пересекаются, и суммаих длин равна∑ | | ≤ = 2 ⋅ | − /|.=1Когда параметр ∈ ℝ/ℤ возрастает от нуля, число вращения rot( ) ∈ ℝ/ℤвозрастает от , и найдется первое значение 0 , для которого rot(0 ) = /.Для каждого ∈ [0, ] положим ≔ (0 )∘ () и ≔ ∘(−) ( ).77Наконец, для ∈ [1, ] пусть ≔ ((−1 ), ) = ((−1 ), (−1 ) + 0 ) и ≔ (−1 , ).Тогда точки (0 , 1 , … , ) образуют разбиение отрезка (0 , ) (см.

рис. 18).11111−u�22(1 ) 2 ∘(u�−2)u�22−u� ∘(u�−2)u� =0112u�−12u� =u�0u� =u�Рис. 18: Интервалы , и .Когда возрастает от нуля к 0 , точка ( )∘ () движется от точки к точке , но остается в отрезке , так как rot( ) остается меньше /.Поэтому (0 , ) = ( , ) ⊆ , а значит,| | ≥ | − 0 | = ∑ | |.=1Кроме того, ⊂ и = ∘(−) ( ). Теперь из леммы Данжуа (лемма 43)следует, что| || |≥ −u�= −u� 0 .| || || |Пользуясь неравенством Коши-Буняковского-Шварца, мы получаем1 ⎞⎛⎟ =⎜⎜∑ √| | ⋅⎟|=1√| ⎠⎝2211≤ (∑ | |) ⋅ (∑) ≤ 2 ⋅ | − /| ⋅ ∑.||||=1=1=178Поэтому| | ≥ ∑ | | ≥ =1а значит,−u�−u� 0 | |10 | | ⋅ ∑≥,|||−/|=10 ≤ u� ⋅ | − /|.Лемма 52. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — гомеоморфизм. Тогда для каждогоизмеримого множества ⊆ ℝ/ℤ существует ∈ ℝ/ℤ, для которогоLeb(( + )) ≤ Leb( ).Доказательство.

Пусть — мера Лебега на ℝ/ℤ. По теореме Фубини∫(( + )) = ∫∈ℝ/ℤ∈ℝ/ℤ=∫∈ℝ/ℤ=∫(∫(∗ )) ∈ +(∫) (∗ )∈− +( ) (∗ )∈ℝ/ℤ= ( ) ⋅ ((ℝ/ℤ)) = ( ).Поэтому среднее значение (( + )), когда пробегает всю окружность,равно ( ). Отсюда следует утверждение леммы.Теорема 39 легко следует из предложения 51. Фиксируем > 0, и пусть — множество таких ∈ ℝ/ℤ, что rot( ) иррационально и для бесконечного числа , ∈ ℤ выполняется неравенство ∣rot( ) − /∣ < 1/ 2+ . Интересующее нас множество чисел ∈ ℝ/ℤ, для которых rot( ) лиувиллево,есть пересечение всех .

Поэтому достаточно доказать, что Leb( ) = 0для всех > 0.Так как подходящие дроби дают наилучшие приближения к иррациональному числу, то = lim sup , ,→+∞79где , — множество таких ∈ ℝ/ℤ, что rot( ) иррационально и имеетподходящую дробь вида /, удовлетворяющую неравенству ∣rot( )−/∣ <1/ 2+ .Положим ≔ u� ; из предложения 51 следует, что множество ,расположено в / 2+ -окрестности объединения интервалов, где числовращения рационально и имеет знаменатель .

ПоэтомуLeb(, ) ≤ 2 ⋅ 2+=2. 1+В частности, для всех > 0Leb( ) = Leb (lim sup , ) ≤ lim sup ∑→+∞→+∞ ≥2= 0.1+806. Пересечение и самопересечение пузырейВ этом параграфе доказана теорема 9:Теорема (Самопересекающийся пузырь). Существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которого нулевой пузырь самопересекается (возможно, самокасается).и теорема 10:Теорема (Пересечение пузырей).

Для каждого рационального числа /существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которогонулевой и /-й пузырь имеют общую точку.Для начала установим следующее вспомогательное утверждение.Предложение 53. Для любого натурального числа и любой точки ∈ ℍ/ℤ cуществует аналитический диффеоморфизм окружности с нулевым числом вращения и 2 гиперболическими неподвижными точками,для которого ̄ (0) (модуль кривой Бюффа ()) равен .Доказательство основано на следующем наблюдении. Эллиптическаякривая () есть результат склейки колец , модули которых равны| log u� | .Склейка производится по отображениям перехода между линеаризующими картами особых точек. Таким образом, () восстанавливается по модулям аналитической классификации диффеоморфизма : мультипликаторамособых точек и отображениям перехода между линеаризующими картамисоседних особых точек.Мы будем действовать в обратном порядке: разрежем эллиптическуюкривую ℂ/⟨1, ⟩ на кольца, которые впоследствии превратятся в , и выясним, по каким отображениям (в выпрямляющих картах для этих колец) их81нужно склеивать.

Так мы восстановим набор модулей аналитической классификации для отображения , а по ним построим и само отображение .Доказательство. Рассмотрим эллиптическую кривую ℰ = ℂ/⟨1, ⟩ с образующими 1, . Рассмотрим произвольный набор из 2 замкнутых кривых ⊂ ℰ , идущих вдоль второй образующей ℝ/ ℤ. Сейчас мы построимдиффеоморфизм , для которого существует биголоморфное отображениеиз () в ℰ , причём проекция вещественной оси на (), состоящая из 2замкнутых кривых, перейдет в ⋃1≤≤2 ⊂ ℰ .Для этого разрежем ℰ по . Мы получим кольца 1 , 2 , … , 2 , идущие вдоль второй образующей; пустьmod 2−1 =∶log 2u�−1 ,mod 2 =∶− log , где 2−1 > 1 > 2 .

Каждое такое кольцо можно биголоморфно2u�отобразить в кольцо { ∈ ℂ ∣ 0 < Im(±) < }/{ ∼ + log }, а затем отоб±ражение exp переведёт его в кольцо ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ∼ }. ВозникаетотображениеΨ̃ ∶ → , где+ ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ↦ } для нечётных − ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ↦ } для чётных .±Выберем поднятия отображений Ψ̃ до отображений Ψ ∶ → ℍ ∖ {0}.Каждое отображение Ψ аналитично в окрестности кольца , так как граничные окружности кольца аналитические.У нас возникают отображения переклейки ;+1 ∶ ℝ+ → ℝ− ,;+1 = Ψ+1 ∘ Ψ−1 ,причем ;+1 ( ) = +1 ;+1 ().На каждом кольце будет кривая ̃ = Ψ̃ (ℝ/ℤ); после склейки этикривые склеиваются в одну.

Пусть = Ψ (ℝ/ℤ), и точки , — левый и82Рис. 19: Построение отображения для = 1. Пунктиром обозначеныкривые и их образы при биголоморфизмах, жирным обозначена криваяℝ/ℤ ∈ ℰ и её образы при биголоморфизмах.правый конец кривой .Чтобы построить , возьмём набор из 2 копий вещественной осии склеим по аналитическим отображениям ;+1 . Получится абстрактноевещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфное окружности. Какизвестно, любое вещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфноеокружности, вещественно-аналитически эквивалентно окружности ℝ/ℤ. Зна-83чит, существует набор вещественно-аналитических отображений ∶ ℝ →−1ℝ/ℤ, для которых ;+1 = +1∘ ; в силу равенства ;+1 ( ) = +1 ;+1 (),отображения ( −1 ()) определяют один аналитический диффеоморфизм на окружности ℝ/ℤ.Докажем, что отображение искомое.

Диффеоморфизм имеет 2неподвижных точек — это точки (0); отображения есть их линеаризующие карты. Продолжим их в комплексную область. В качестве кривой ,необходимой для конструкции Бюффа, возьмем кривую, проходящую черезточки ( ), ( ) и лежащую в объединении областей определения −1 .Пусть ⊂ ℂ/ℤ — окрестность криволинейного кольца между и ().Тогда под действием набора отображений −1 проекции на () компонент связности пересечений ∩ (ℍ+ /ℤ), ∩ (ℍ− /ℤ) переходят в поднятияколец . Участки кривой перейдут в кривые, гомотопные (при гомотопии с фиксированными концами). Тождественные склейки превратятсяв ;+1 .

Поэтому кривая () биголоморфно эквивалентна ℰ : биголомор−1физм задают отображения Ψ−1 ∘ . Кривая при этом биголоморфизмепереходит в кривую, гомотопную первой образующей тора ℰ , а всякий отрезок вещественной оси между ∈ ∩ ℝ/ℤ и () — в кривую, гомотопнуювторой образующей. Итак, ̄ (0) = .Доказательство теоремы 9 о самопересечении пузырей.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,33 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее