Диссертация (1137386), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

По теореме Лебега об ограниченнойсходимости,21() =∫ ℎ( ) ( , ) .2 0По теореме Пуассона, правая часть этого равенства дает решение задачиДирихле для уравнения Лапласа. Значит, Re и Im удовлетворяют равенствуlimu�u� Re () = Re ℎ( ),→limu�u� Im () = Im ℎ( ).→735.10. Доказательство леммы 48Чтобы завершить доказательство леммы 48 (см. п. 5.7), мы построим-квазиконформное отображениеΨ ∶ ( ∘ ) → ℰ ≡ ′которое переводит гомотопический класс ℝ/ℤ на торе ( ∘ ) в класс ℝ/ℤна торе ℰ . Мы покажем, что log ≤ 5 . Тогда утверждение леммы будетследовать из леммы 19.Гомеоморфизм ∶ − → − , определенный формулой () ≔ () − +1 + ,оставляет на месте точку ∈ − . Пусть ̃ ∶ ℝ → ℝ — поднятие ∶− → − , которое оставляет на месте точку ̃ ; пусть Ψ̃ ∶ → — егопродолжение на , определенное равенствомΨ̃ ( + ) ≔( + ) + (1 −) ̃ ().Гомеоморфизм Ψ̃ ∶ → тождественен в ограничении на ℝ + иопускается до корректно определённого гомеоморфизма Ψ ∶ → .

Попостроению, следующая диаграмма коммутативна:−u�Ψu�+/+1Ψu�+1/−↦−u� +u�+1++1.Поэтому набор гомеоморфизмов Ψ ∶ → индуцирует гомеоморфизмΨ ∶ ( ∘ ) → ′ (см. рис. 17). Так как Ψ̃ оставляет на месте точки ̃ и ̃ ,гомеоморфизм Ψ переводит гомотопический класс кривой на торе ( ∘ )в гомотопический класс кривой ′ на торе ′ .74u�+u�u�−u�u�Ψu�−u�u�u�↦−u� +u�+1+u�+1u�+1+−u�+1u�+u�+1+Ψ+1u�+1+u�+1u�+1−u�+1Рис. 17: Отображения Ψ и Ψ+1Теперь достаточно доказать, что гомеоморфизм Ψ ∶ ( ∘ ) → ′ является 5u� -квазиконформным.Заметим, что Ψ ∞ -гладкий всюду, кроме точек на образах кривых± в эллиптической кривой ( ∘ ).

Эти образы — аналитические кривые(так как отображения склейки аналитические). Поэтому Ψ — кусочно ∞ -гладкий гомеоморфизм с ограниченными частными производными вблизи множества негладкости — набора аналитических кривых.Значит, достаточно оценивать квазиконформное отклонение в областяхгладкости Ψ, то есть нужно доказать, что каждое отображение Ψ ∶ → является 5u� -квазиконформным. Или, что то же самое, достаточно проверить выполнение неравенства∥ Ψ̃ / ̄∥ Ψ̃ /≤ < 1,гдеdist (0, ) < 5 .∞Тут dist — расстояние в метрике Пуанкаре в единичном диске.Для простоты мы опускаем индекс в следующей выкладке:̃ ̄̃̃ Ψ/ Ψ/+ Ψ/( + ) =( + )̃̃̃ Ψ/ Ψ/− Ψ/̃(1 − ) ⋅ (′̃ () − 1) − (()− )=.′̃̃2 + (1 − ) ⋅ ( () − 1) + (() − )75Последнее выражение имеет вид ( − 1)/(̄ + 1), где̃()−) ⋅ (′̃ () − 1) и Im() =.−1−1−1Заметим, что ∣∣ = ∣∣ и дробно-линейное отображение ↦̄ + 1+1+1переводит правую полуплоскость в единичный диск.

Поэтому достаточноRe() = 1 + (1 −показать, что принадлежит правой полуплоскости { ∈ ℂ | Re() > 0 } ипри этом расстояние в метрике Пуанкаре в этой полуплоскости между точками 1 и не превосходит 5 .Это расстояние в метрике Пуанкаре ограничено сверху величиной ∣Im()∣+∣log Re()∣. Так как ̃ ∶ ℝ → ℝ — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм,оставляющий на месте точки + ℤ ∈ ℝ, то выполнены неравенства ′̃ () > 0̃и ∣()− ∣ < 1. Так как 0 < 1 − / < 1, получаем1| log |=≤ | log | ≤ ℝℝ(последнее неравенство следует из леммы 44). Среднее значение ′̃ на от0 < min ′̃ ≤ Re() ≤ max ′̃и∣Im()∣ ≤̃ − (0)̃ = 1.

Поэтому ′̃ принимает значение 1 ирезке [0, 1] равно (1)− disℝ () = − disℝ ()̃ < log min(′̃ ) ≤ 0 ≤ log max(′̃ ) < disℝ ()̃ = disℝ ().ℝℝНаконец, ℝ не превосходит 4 по лемме 49. Это даёт оценку наRe :exp(−4 ) ≤ Re ≤ exp(4 ),а значит, и требуемую оценку на расстояние между и 1.5.11. Дополнение: доказательство теоремы ЦуджиДля полноты изложения мы приводим доказательство теоремы Цуджи (см. теорему 39), которое кажется нам проще доказательства из статьи[11], хотя основные идеи остаются такими же. Следующее предложение —основной шаг доказательства Цуджи.76Предложение 51.

Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — 2 -гладкий диффеоморфизмокружности, сохраняющий ориентацию, с иррациональным числом вращения ∈ ℝ/ℤ. Если / — подходящая дробь для , полученная разложением в цепную дробь, то существует значение параметра ∈ ℝ/ℤ, удовлетворяющее равенству|| < u� ⋅ | − /|иrot( ) = /.Доказательство. По классической теореме, доказанной А.

Данжуа, существует гомеоморфизм ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ, для которого ( + ) = ∘ () длявсех ∈ ℝ/ℤ.Без потери общности мы будем считать, что < /, и положим ≔ − . Пусть ⊂ ℝ/ℤ — объединение интервалов ≔ ⋃ с1≤≤ ≔ (, + ).Так как / — подходящая дробь для , это объединение непересекающихся интервалов длины . По лемме 52 (см. ниже), можно выбрать сдвиг ∈ ℝ/ℤ так, что мера Лебега множества ( + ) не превосходит .Теперь положим ≔ (), и для каждого ∈ ℤ положим ≔ ∘ () = ( + ) и ≔ ( , − ) = ( + ).Интервалы 1 , 2 = (1 ), …, = ∘ (1 ) попарно не пересекаются, и суммаих длин равна∑ | | ≤ = 2 ⋅ | − /|.=1Когда параметр ∈ ℝ/ℤ возрастает от нуля, число вращения rot( ) ∈ ℝ/ℤвозрастает от , и найдется первое значение 0 , для которого rot(0 ) = /.Для каждого ∈ [0, ] положим ≔ (0 )∘ () и ≔ ∘(−) ( ).77Наконец, для ∈ [1, ] пусть ≔ ((−1 ), ) = ((−1 ), (−1 ) + 0 ) и ≔ (−1 , ).Тогда точки (0 , 1 , … , ) образуют разбиение отрезка (0 , ) (см.

рис. 18).11111−u�22(1 ) 2 ∘(u�−2)u�22−u� ∘(u�−2)u� =0112u�−12u� =u�0u� =u�Рис. 18: Интервалы , и .Когда возрастает от нуля к 0 , точка ( )∘ () движется от точки к точке , но остается в отрезке , так как rot( ) остается меньше /.Поэтому (0 , ) = ( , ) ⊆ , а значит,| | ≥ | − 0 | = ∑ | |.=1Кроме того, ⊂ и = ∘(−) ( ). Теперь из леммы Данжуа (лемма 43)следует, что| || |≥ −u�= −u� 0 .| || || |Пользуясь неравенством Коши-Буняковского-Шварца, мы получаем1 ⎞⎛⎟ =⎜⎜∑ √| | ⋅⎟|=1√| ⎠⎝2211≤ (∑ | |) ⋅ (∑) ≤ 2 ⋅ | − /| ⋅ ∑.||||=1=1=178Поэтому| | ≥ ∑ | | ≥ =1а значит,−u�−u� 0 | |10 | | ⋅ ∑≥,|||−/|=10 ≤ u� ⋅ | − /|.Лемма 52. Пусть ∶ ℝ/ℤ → ℝ/ℤ — гомеоморфизм. Тогда для каждогоизмеримого множества ⊆ ℝ/ℤ существует ∈ ℝ/ℤ, для которогоLeb(( + )) ≤ Leb( ).Доказательство.

Пусть — мера Лебега на ℝ/ℤ. По теореме Фубини∫(( + )) = ∫∈ℝ/ℤ∈ℝ/ℤ=∫∈ℝ/ℤ=∫(∫(∗ )) ∈ +(∫) (∗ )∈− +( ) (∗ )∈ℝ/ℤ= ( ) ⋅ ((ℝ/ℤ)) = ( ).Поэтому среднее значение (( + )), когда пробегает всю окружность,равно ( ). Отсюда следует утверждение леммы.Теорема 39 легко следует из предложения 51. Фиксируем > 0, и пусть — множество таких ∈ ℝ/ℤ, что rot( ) иррационально и для бесконечного числа , ∈ ℤ выполняется неравенство ∣rot( ) − /∣ < 1/ 2+ . Интересующее нас множество чисел ∈ ℝ/ℤ, для которых rot( ) лиувиллево,есть пересечение всех .

Поэтому достаточно доказать, что Leb( ) = 0для всех > 0.Так как подходящие дроби дают наилучшие приближения к иррациональному числу, то = lim sup , ,→+∞79где , — множество таких ∈ ℝ/ℤ, что rot( ) иррационально и имеетподходящую дробь вида /, удовлетворяющую неравенству ∣rot( )−/∣ <1/ 2+ .Положим ≔ u� ; из предложения 51 следует, что множество ,расположено в / 2+ -окрестности объединения интервалов, где числовращения рационально и имеет знаменатель .

ПоэтомуLeb(, ) ≤ 2 ⋅ 2+=2. 1+В частности, для всех > 0Leb( ) = Leb (lim sup , ) ≤ lim sup ∑→+∞→+∞ ≥2= 0.1+806. Пересечение и самопересечение пузырейВ этом параграфе доказана теорема 9:Теорема (Самопересекающийся пузырь). Существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которого нулевой пузырь самопересекается (возможно, самокасается).и теорема 10:Теорема (Пересечение пузырей).

Для каждого рационального числа /существует аналитический диффеоморфизм окружности , для которогонулевой и /-й пузырь имеют общую точку.Для начала установим следующее вспомогательное утверждение.Предложение 53. Для любого натурального числа и любой точки ∈ ℍ/ℤ cуществует аналитический диффеоморфизм окружности с нулевым числом вращения и 2 гиперболическими неподвижными точками,для которого ̄ (0) (модуль кривой Бюффа ()) равен .Доказательство основано на следующем наблюдении. Эллиптическаякривая () есть результат склейки колец , модули которых равны| log u� | .Склейка производится по отображениям перехода между линеаризующими картами особых точек. Таким образом, () восстанавливается по модулям аналитической классификации диффеоморфизма : мультипликаторамособых точек и отображениям перехода между линеаризующими картамисоседних особых точек.Мы будем действовать в обратном порядке: разрежем эллиптическуюкривую ℂ/⟨1, ⟩ на кольца, которые впоследствии превратятся в , и выясним, по каким отображениям (в выпрямляющих картах для этих колец) их81нужно склеивать.

Так мы восстановим набор модулей аналитической классификации для отображения , а по ним построим и само отображение .Доказательство. Рассмотрим эллиптическую кривую ℰ = ℂ/⟨1, ⟩ с образующими 1, . Рассмотрим произвольный набор из 2 замкнутых кривых ⊂ ℰ , идущих вдоль второй образующей ℝ/ ℤ. Сейчас мы построимдиффеоморфизм , для которого существует биголоморфное отображениеиз () в ℰ , причём проекция вещественной оси на (), состоящая из 2замкнутых кривых, перейдет в ⋃1≤≤2 ⊂ ℰ .Для этого разрежем ℰ по . Мы получим кольца 1 , 2 , … , 2 , идущие вдоль второй образующей; пустьmod 2−1 =∶log 2u�−1 ,mod 2 =∶− log , где 2−1 > 1 > 2 .

Каждое такое кольцо можно биголоморфно2u�отобразить в кольцо { ∈ ℂ ∣ 0 < Im(±) < }/{ ∼ + log }, а затем отоб±ражение exp переведёт его в кольцо ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ∼ }. ВозникаетотображениеΨ̃ ∶ → , где+ ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ↦ } для нечётных − ≔ (ℍ ∖ {0})/{ ↦ } для чётных .±Выберем поднятия отображений Ψ̃ до отображений Ψ ∶ → ℍ ∖ {0}.Каждое отображение Ψ аналитично в окрестности кольца , так как граничные окружности кольца аналитические.У нас возникают отображения переклейки ;+1 ∶ ℝ+ → ℝ− ,;+1 = Ψ+1 ∘ Ψ−1 ,причем ;+1 ( ) = +1 ;+1 ().На каждом кольце будет кривая ̃ = Ψ̃ (ℝ/ℤ); после склейки этикривые склеиваются в одну.

Пусть = Ψ (ℝ/ℤ), и точки , — левый и82Рис. 19: Построение отображения для = 1. Пунктиром обозначеныкривые и их образы при биголоморфизмах, жирным обозначена криваяℝ/ℤ ∈ ℰ и её образы при биголоморфизмах.правый конец кривой .Чтобы построить , возьмём набор из 2 копий вещественной осии склеим по аналитическим отображениям ;+1 . Получится абстрактноевещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфное окружности. Какизвестно, любое вещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфноеокружности, вещественно-аналитически эквивалентно окружности ℝ/ℤ. Зна-83чит, существует набор вещественно-аналитических отображений ∶ ℝ →−1ℝ/ℤ, для которых ;+1 = +1∘ ; в силу равенства ;+1 ( ) = +1 ;+1 (),отображения ( −1 ()) определяют один аналитический диффеоморфизм на окружности ℝ/ℤ.Докажем, что отображение искомое.

Диффеоморфизм имеет 2неподвижных точек — это точки (0); отображения есть их линеаризующие карты. Продолжим их в комплексную область. В качестве кривой ,необходимой для конструкции Бюффа, возьмем кривую, проходящую черезточки ( ), ( ) и лежащую в объединении областей определения −1 .Пусть ⊂ ℂ/ℤ — окрестность криволинейного кольца между и ().Тогда под действием набора отображений −1 проекции на () компонент связности пересечений ∩ (ℍ+ /ℤ), ∩ (ℍ− /ℤ) переходят в поднятияколец . Участки кривой перейдут в кривые, гомотопные (при гомотопии с фиксированными концами). Тождественные склейки превратятсяв ;+1 .

Поэтому кривая () биголоморфно эквивалентна ℰ : биголомор−1физм задают отображения Ψ−1 ∘ . Кривая при этом биголоморфизмепереходит в кривую, гомотопную первой образующей тора ℰ , а всякий отрезок вещественной оси между ∈ ∩ ℝ/ℤ и () — в кривую, гомотопнуювторой образующей. Итак, ̄ (0) = .Доказательство теоремы 9 о самопересечении пузырей.

Характеристики

Список файлов диссертации