Диссертация (1136178), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Åñ-òî ôîðìóëà (1.69) ñîâïàäåò ñ (1.36).â âèäå3(1)ξk,` = a(a + ~)(b + ) + ~ξk,` + O(~2 ).2(1.70)Òîãäà óðàâíåíèå (1.64) ïðèìåò âèä(1)2~2dY−dz 2Q0 (z) +4ξk,` ~R(z)+ O ~2 + O2~R(z)!Y = 0,(1.71)ãäåQ0 (z) = a(a + ~)(b2 + 4b + 6)(z − 1)2 Λ(z)R−2 (z),ìíîãî÷ëåíR(z)(1.72)çàäàí ôîðìóëîé (1.40),Λ(z) = z 2 + 2(1 + γ)z + 1,(1.73)à ïàðàìåòð2b.b2 + 4b + 6√γ ∈ (0, 1/( 6 + 2)).γ=(1.74)√b> 6Ïðèðàâíèâàÿ Q0 (z) ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå (1.71) ïîìèìî òî÷êè ïîâîðîòà z = 1 êðàòíîñòè 2 èìååò òàêæå ïðîñòûå òî÷êèÎòìåòèì, ÷òî ïðèïîâîðîòàz ± = −1 − γ ±pγ(γ + 2).(1.75)Îíè, êàê è îñîáûå òî÷êè (1.39), ëåæàò íà âåùåñòâåííîé îñè è óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàìz 4 < z − < −1 < z + < z 3 < 0 < z 2 < 1 < z 1 .(1.76)62Ïîñòðîèì ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.71).Îíè ñïðàâåäëèâû âíå ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòà è èìåþòâèäY±W KBc̃±1=pexp(±4~Q0 (z)+O(~)+OZ pQ0 (z)dz ±(1)2ξk,`Zdzp)(1+R(z) Q0 (z)~~~+O+O), ~ → 0.(z − 1)2(z − z + )3/2(z − − z)3/2(1.77)Çäåñüc̃± êîíñòàíòû, â ñòåïåííûõ ôóíêöèÿõ áåðóòñÿ ãëàâíûå çíà-÷åíèÿ.
Êðîìå òîãî, âäîëü îòðåçêà[z − , z + ]ïðîâåäåí ðàçðåç.Âû÷èñëèì âîçíèêàþùèå â (1.77) èíòåãðàëû. Ââåäåì ôóíêöèèppr0 (z) = 2 Λ(z) + 4 + 2γ(z + 1),q√√√√ pr1 (z) = 2 ( 3 + 1)( 3 + 2 + γ 2) Λ(z)+√√√√ √√√√+( 3 + 1)( 3 + 2 + γ 2 − 1) + 2( 3 + 2 + γ 2 + 1)z,q√√√√ pr2 (z) = 2 ( 3 − 1)( 3 + 2 + γ 2) Λ(z)+√√√√√ √√√+( 3 − 1)( 3 + 2 + γ 2 + 1) + 2( 3 + 2 + γ 2 − 1)z,q√√√√ pr3 (z) = 2 ( 3 − 1)( 3 − 2 − γ 2) Λ(z)+√√√√√√√√+( 3 − 1)( 3 − 2 − γ 2 + 1) + 2(− 3 + 2 + γ 2 + 1)z,q√√√√ pr4 (z) = −2 ( 3 + 1)( 3 − 2 − γ 2) Λ(z)+√√√√√√√√+( 3 + 1)( 3 − 2 − γ 2 − 1) + 2(− 3 + 2 + γ 2 − 1)z.(1.78)(1.79)(1.80)(1.81)(1.82)ÑïðàâåäëèâàËåììà 1.11.ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ Y±W KB ïðåäñòàâèìû â âèäåY±W KB =c±p(z − z 1 )(z − z 2 )(z − z 3 )(z − z 4 )pp×(z − 1) 4 (z − z − )(z − z + )63√(1)∓ξk,`/(a b2 +5b+6) ∓(a+~/2)(1+b/√6)/(2~)r1 (z)r2 (z)×(z − z 1 )(z − z 2 )∓(a+~/2)(1−b/√6)/(2~)(1 + O(~)+r0 (z)×z−1×r3 (z)r4 (z)(z − z 3 )(z − z 4 )~~~+O+O),+O(z − 1)2(z − z + )3/2(z − − z)3/2~ → 0.(1.83)Çäåñü c± êîíñòàíòû.Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè èíòåãðàëàìè [21]:Z!p2 cX(z) 2c++ b + C,zz1dzp= − √ lncz X(z)(1.84)pZ pZpX(z)b ln (2 aX(z) + 2az + b)dz√pdz = X(z) ++c,z2 az X(z)(1.85)ãäåX(z) = az 2 + bz + c, êîíñòàíòûa > 0, c > 0, C ïðîèçâîëüíàÿêîíñòàíòà. Èç (1.84) âûòåêàåò, ÷òîZ√b2 + 4b + 6r0 (z)p=− √+ C.ln22z−12b+5b+6(z − 1) z + 2(1 + γ)z + 1dzÏîñêîëüêóz−11= √R(z)4 6√+1+−1 − 2 −z − z3√2−z − z1√√3√√1− 2+ 3++z − z2√√ !3 −1 + 2 + 3,+z − z4òî â ñèëó (1.84), (1.85)Zp√√(z − 1) z 2 + 2(1 + γ)z + 11 p√dz ={ Λ(z)[1 + 2 − 3+R(z)4 6p√ √√ √√ √+1− 2+ 3−1− 2− 3−1+ 2+ 3]+ln (2( Λ(z) + z + 1 + γ))×64√√√3+13−1×[(1 + 2 − 3)( √+ 1 + γ) + (1 − 2 + 3)( √+ 1 + γ)+22√√√ − 3−1+(−1 + 2 + 3)( √+ 1 + γ)]−2!√ p√√ √2 σ1 Λ(z) + 2σ1 + b1 (z − z 1 )−[(1 + 2 − 3) σ1 ln+z − z1!√ p√ √√2 σ2 Λ(z) + 2σ2 + b2 (z − z 2 )++(1 − 2 + 3) σ2 lnz − z2!√ p√√ √2 σ3 Λ(z) + 2σ3 + b3 (z − z 3 )+(−1 − 2 − 3) σ3 ln+z − z3!√ p√ √√2 σ4 Λ(z) + 2σ4 + b4 (z − z 4 )]} + C.+(−1 + 2 + 3) σ4 lnz − z4√√√(1.86)σj = Λ(z j ), bj = 2(z j + 1 + γ), j = 1, 2, 3, 4.ppΛ(z) è ln (2( Λ(z) + z + 1 + γ)) â (1.86) ðàâÌíîæèòåëè ïðèÇäåñüíû íóëþ.
Âû÷èñëÿÿ îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.83). Ëåììà äîêàçàíà.Âàæíóþ ðîëü ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè èãðàþò ëèíèè Ñòîêñà[23; 88]. Äëÿ óðàâíåíèÿ(1.71) ëèíèè Ñòîêñà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.1. Çäåñü îáëàñòè I-IV ÿâ-Ðèñóíîê 1.165ëÿþòñÿ îáëàñòÿìè òèïà êðóãà.Èçó÷èì ïîâåäåíèå ëèíèé Ñòîêñà. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ √ √ (z − z 1 )(z − z 2 ) b/ 6+1 r3 (z)r4 (z) b/ 6−1W (z) = . (z − z 3 )(z − z 4 ) r1 (z)r2 (z) Òàê êàê â ñèëó (1.82)Zz pQ0 (z)dz),W (z) = W (z 0 ) exp (Rez0òî âûõîäÿùèå èç òî÷êè ïîâîðîòàíèåìëèíèè Ñòîêñà çàäàþòñÿ óðàâíå-W (z) = W (z 0 ).Ðàññìîòðèì ôóíêöèþz+]z0ôóíêöèÿpQ0 (x)Wïðè âåùåñòâåííûõx.Íà îòðåçêå[z − ,ïðèíèìàåò ÷èñòî ìíèìûå çíà÷åíèÿ.
Ñëåäîâà-W (x) = W (z ± ).Èç ôîðìóëû (1.72) âûòåêàåò, ÷òîQ0 (x) ìåíÿåò çíàê â òî÷êàõ z j ,ãäå j = 1, 2, 3, 4 , z = 1, à òàêæå ïðè ïåðåõîäå èç z − â z + . Êðîìå òîãî,√ïðè b >6 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà 0 < W (1) < W (∞) < W (z ± ).Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè W (x) èìååò ñëåäóþùèé âèä.òåëüíî, ýòîò îòðåçîê âõîäèò â ãðàô Ñòîêñà, è íà íåìpÐèñóíîê 1.2ÏðÿìàÿW = W (1)ïåðåñåêàåò ãðàôèêW (x)â äâóõ òî÷êàõ.Èìåííî â àáñöèññàõ ýòèõ òî÷åê âûõîäÿùèå èç òî÷êè ïîâîðîòàz=1ëèíèè Ñòîêñà ïåðåñåêàþò âåùåñòâåííóþ îñü (ñì. ðèñ. 1.1. ).
Òàêîå66ïîâåäåíèå ëèíèé Ñòîêñà ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ôóíêöèÿZz pS(z) = ReQ0 (z)dz1z = 1 + iy , y ∈ R1 , ïðè óäàëåëèíèè Ñòîêñà ïðè y 6= 0 íå ìîãóòìîíîòîííî âîçðàñòàåò âäîëü ïðÿìîéíèèyîò íóëÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî,ïåðåñåêàòü ýòó ïðÿìóþ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî óòâåðæäåíèÿðàññìîòðèì óðàâíåíèåpdRe S(1 + iy) = −Im Q0 (1 + iy) = 0.dy(1.87)Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî êîðíè (1.87) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþy[(2 − γ)y 8 + (20 + 12γ)y 6 + (64 + 40γ)y 4 + (72 + 40γ)y 2 + 24 + 12γ] = 0,(1.88)y = 0.
Äåéñòâèòåëüíî,√γ ∈ (0, 1/( 6 + 2)) èìååò ïîëîæè-ëåâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ ëèøü ïðèìíîãî÷ëåí 8 ñòåïåíè â (1.88) ïðèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû, à, çíà÷èò, ó íåãî íåò âåùåñòâåííûõ êîðíåé.Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿpdRe S(−1 + iy) = −Im Q0 (−1 + iy) = 0dyóäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþy[(2 + γ)y 10 + (20 + 12γ)y 8 + (64 + 56γ)y 6 + (72 + 120γ)y 4 ++(24 + 116γ)y 2 + 32γ] = 0.(1.89)γ > 0 èìååò ëèøü îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíüy = 0 . Ïîýòîìó âûõîäÿùèå èç òî÷åê ïîâîðîòà z ± ëèíèè Ñòîêñà íåìîãóò ïåðåñåêàòü ðàñïîëîæåííóþ ìåæäó íèìè (z − < −1 < z + )1ïðÿìóþ z = −1 + iy , y ∈ R , ïðè y 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, îòëè÷íûåËåâàÿ ÷àñòü (1.89) ïðè67îò[z − , z + ]ëèíèè Ñòîêñà ïåðåñåêàþò âåùåñòâåííóþ îñü â àáñöèññàõòî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîéW = W (z ± )ñ ãðàôèêîì ôóíêöèèW (x)( ñì.
ðèñ. 1.2. ).Èçó÷èì ïîâåäåíèå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèéY±W KBâáëèçè òî÷åê ïî-âîðîòà. Ðàçëàãàÿ âõîäÿùèå â (1.77) ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà,ïîëó÷àåìËåììà 1.12.Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæå-íèÿ:Y±W KB(+)c±τ+ 2(z − z + )5/23/2=√exp±(z−z))+(1+O(+4~3~z − z+p+O( z − z + ) + O(ïðè z → z + ,Y±W KB(1.90)| arg(z − z + ) |< π ;(−)τ− 2(z − − z)5/2c±3/2exp±(z−z)(1+O()+=√−4~3~z− − zp+O( z − − z) + O(ïðè z → z − ,Y±W KB =~))(z − z + )3/2~))(z − − z)3/2(1.91)| arg(z − − z) |< π ;(1)c± (z− 1)√(1)−1/2±ξk,` /(a b2 +5b+6)−(z − 1)3 ])(1 + O(z − 1) + O((+)(−)√a b2 + 5b + 6exp(∓[(z − 1)2 −2~(z − 1)4~) + O())~(z − 1)2(1.92)(1)ïðè z → 1. Çäåñü c± , c± , c± êîíñòàíòû,√√a b2 + 5b + 6(z + − 1) z + − z −=τ+ =R(z + )=a√b2√√ p+ 5b + 6( γ + 2 − γ) 4 γ(γ + 2)> 0,[3 − 2(1 + γ)2 ]z 2+(1.93)68√√a b2 + 5b + 6(z − − 1) z + − z −τ− ==R(z − )√√√ pa b2 + 5b + 6( γ + 2 + γ) 4 γ(γ + 2)> 0.=[3 − 2(1 + γ)2 ]z 2−(1.94)Íàéäåì, íàêîíåö, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(1.38).
 ñèëó (1.62), (1.63), (1.66), (1.83) èìååì :KBΦW(z)−√(1)c−−1/2−ξk,` /(a b2 +5b+6)p= 4(z − 1)×(z − z − )(z − z + )√(1)×(r0 (z))ξk,` /(ab2 +5b+6)√(r1 (z)r2 (z))(a+~/2)(1+b/6)/(2~)×√(a+~/2)(1−b/ 6)/(2~)+O(1 + O(~)+×(r3 (z)r4 (z))~~~+O+O),(z − 1)2(z − z + )3/2(z − − z)3/2(1.95)√(1)c+−1/2+ξk,` /(a b2 +5b+6)KBp×=−1)ΦW(z(z)+4(z − z − )(z − z + )√(a+~/2)(1+b/ 6)/~×((z − z 1 )(z − z 2 ))(1)×(r0 (z))−ξk,` /(a√b2 +5b+6)√(a+~/2)(1−b/ 6)/~((z − z 3 )(z − z 4 ))√(r1 (z)r2 (z))−(a+~/2)(1+b/6)/(2~)××√−(a+~/2)(1−b/ 6)/(2~)+O×(r3 (z)r4 (z))(1 + O(~)+~~~+O+O).(z − 1)2(z − z + )3/2(z − − z)3/2Çäåñü ôóíêöèè(1.82), àc±2.7.rj (z), j = 0, 1, 2, 3, 4,çàäàíû ôîðìóëàìè (1.78) êîíñòàíòû.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è. Âû÷èñëåíèå ïîïðàâêè âñïåêòðàëüíîé ñåðèèÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èp(z).Âáëèçè îñîáûõ òî÷åê (1.39) âû-áèðàþòñÿ ðåøåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, ðàâíûìè69íóëþ.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.95) íóëåâûå ïîêàçàòåëè èìååò ÂÊÁ-ïðè-KBΦW(z).−áëèæåíèåÈìåííî îíî çàäàåò àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèåìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è â îáëàñòÿõ I-IV ( ñì. ðèñ. 1.1.).Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ îêîëî òî÷åê ïîâîðîòà. Èçóðàâíåíèÿ (1.71) âûòåêàåò, ÷òî âáëèçè~2à âáëèçèz+d2 Y222 − (τ+ (z − z + ) + O((z − z + ) ) + O(~))Y = 0,dzz−22d Y~2dz− (τ−2 (z − − z) + O((z − − z)2 ) + O(~))Y = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèè Ýéðè:0y+âáëèçèz+z−2/32/32/3è0y−âáëèçè2/3τ (z − z + )τ (z − z + )= α1,+ Ai( + 2/3) + α2,+ Bi( + 2/3)~~= α1,−.
Çäåñüτ− (z − − z)τ− (z − − z))+αBi()Ai(2,−~2/3~2/3α1,± , α2,± êîíñòàíòû,τ±çàäàíû ôîðìóëàìè(1.93), (1.94). ñèëó èçâåñòíûõ àñèìïòîòèê äëÿ ôóíêöèé Ýéðè [85]12 3/2Ai(z) = √ √ exp (− z)(1 + O32 π4z1),z2| arg z |< π, | z |→ ∞,(1.96)è12 3/2Bi(z) = √ √ exp ( z)(1 + O3π4z1),z2| arg z |<π, | z |→ ∞,3(1.97)70ïðè| arg(z − z + ) |< π/3, (z − z + )/~2/3 → ∞0y+=α1,+ ~1/62τ+ (z − z + )3/2~)+= √ 1/6 √(1 + Oexp −3/243~(z−z)+2 πτ+ z − z +α2,+ ~1/62τ+ (z − z + )3/2~+ √ 1/6 √).exp(1 + O3~(z − z + )3/2πτ+ 4 z − z +(1.98) ôîðìóëå (1.98) ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
