Диссертация (1136178), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Îíî èìååò 4 îñîáûå òî÷êè√z1 =3+1√ ,2√z2 =3−1√ ,2z 3 = −z 2 ,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿz 4 = −z 1 ,R(z) = 0,ãäåR(z) = z 4 − 4z 2 + 1,à òàêæå îñîáóþ òî÷êó(1.39)(1.40)z 5 = ∞. Òàê êàê âñå 5 îñîáûõ òî÷åê ÿâëÿþòñÿðåãóëÿðíûìè, òî (1.38) åñòü óðàâíåíèå êëàññà Ôóêñà[20; 83].Ðàññìîòðèì ôóêñîâû óðàâíåíèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàëè÷èÿ ïîëèíîìèàëüíûõ ðåøåíèé. Ôóêñîâî óðàâíåíèÿ ñ òîåìÿ îñîáûìè òî÷êàìèíàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ðèìàíà. Êàíîíè÷åñêàÿ åñòåñòâåííàÿ ôîðìàýòîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî êëàññà ïîðîæäàþò õîðîøî èçâåñòíûå ñèñòåìûêëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ [6].
Äëÿ ôóêñîâûõ óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ (óðàâíåíèÿ êëàññà Ãîéíà) è ñ áîëüøèì ÷èñëîì îñîáûõ òî÷åê ïîäîáíîé òåîðèè íå ñóùåñòâóåò. Êàê îòìå÷åíî â[83],èìåþòñÿ ëèøü ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà äëÿ óðàâíåíèé êëàññà Ãîéíàìîæíî ïîñòðîèòü ðåøåíèÿ, ÿâëÿþùèìèñÿ ïîëèíîìàìè.  äàííîìïàðàãðàôå áóäóò íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ51è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè (ìíîãî÷ëåíû) äëÿ çàäà÷è(1.38), (1.30) ñ ïÿòüþ îñîáûìè òî÷êàìè.Íàì ïîòðåáóåòñÿ ðÿä ðåçóëüòàòîâ èç òåîðèè êîãåðåíòíûõ ïðåîá-P` ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íåâûøå ` ðàññìîòðèì äóàëüíîå åìó ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî P̃` , ñîñòîÿùåå èç ìåðîìîðôíûõ ðàñïðåäåëåíèé íà C/{0} âèäà (0.6).
Íîðìàâ ïðîñòðàíñòâå P̃` âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåI I12kg̃kP̃` =K(w, z)g̃(z)g̃(w)dzdw,(2π)2 γ γðàçîâàíèé [137]. Íàðÿäó ñ ïðîñòðàíñòâîìãäå êîíòóðíûå èíòåãðàëû âçÿòû ïî öèêëàìγâîêðóã òî÷êèz=0,êîòîðûå îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à âîñïðîèçâîäÿùååK(w, z)ÿäðîËåììà 1.5.îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (0.9). Ñïðàâåäëèâà [137]Äâîéñòâåííîñòü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè P̃` è P` çà-äàåòñÿ îòîáðàæåíèåì(0.8),(0.7),à îáðàòíîå îòîáðàæåíèå èìååò âèäãäå ìåðîìîðôíîå âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî L̃(w, z) îïðåäåëåíîôîðìóëîé(0.10).Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé Ãåéçåíáåðãà âåðñèÿ ìåðîìîðôíûõ êîãåðåíòíûõ ñîñòîÿíèé áûëà ââåäåíà âðàáîòå Äèðàêà [113].
Ýòà ðàáîòà íàðÿäó ñ [112] äåìîíñòðèðóåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ êîìïëåêñíîãî àíàëèçà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Îáîçíà÷èì ÷åðåçK.G(u, w) ÿäðî ñóïåðïîçèöèè îïåðàòîðîâ K−1èÈç ôîðìóë (0.7) (0.10) âûòåêàåò, ÷òî1G(u, w) =2πi=12πiIγ`Xk=0IK(w, z)L̃(u, z)dz =γ`!(zw)kk!(` − k)!!`Xn!(` − n)!n=0`!(uz)n+1` n1X wu`+1 − w`+1== `+1.u n=0 uu (u − w)!dz =(1.41)52ßäðî (1.41) â ïðîñòðàíñòâåà íà ìíîæåñòâåJP`îïðåäåëÿåò òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð,àíòèãîëîìîðôíûõ â îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèéñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì íà ïðîñòðàíñòâîP` .Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.38) â âèäå (0.12), ãäå ôóíêöèÿâP`p ∈ J,àGçàäàåòñÿ ôîðìóëîé (0.11).
Ðàññìîòðèì äåéñòâóþùèåîïåðàòîðûd`A = ~( − z ),2dzdB = ~z(` − z ),dz000êîòîðûå ñâÿçàíû ñ00C=~ðàâåíñòâàìè0S2 =01 0(C − B),2i0Â, B̂, Ĉ : J → J .0S 3 = A.0Ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ (0.12) îïåðàòîðûËåììà 1.6.(1.42)0S 1, S 2, S 3001 0S 1 = (B + C),2ñÿ â îïåðàòîðûd,dz00A, B, Cïðåîáðàçóþò-ÑïðàâåäëèâàÎïåðàòîð  èìååò âèäd` = ~( − u ),2du(1.43)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó∂G(u, z) z(−(` + 1)z ` u + `z `+1 + u`+1 )z=,∂zu`+1 (u − z)2−u∂G(u, z)u(`u`+1 − (` + 1)u` z + z `+1 )= (` + 1)G(u, z) −,∂uu`+1 (u − z)2òîz∂G(u, z)∂G(u, z)+u= −G(u, z).∂z∂uÑëåäîâàòåëüíî,0~AΦ(z) = −2πiI`∂( + 1 + u )G(u, z)p(u)du =∂uγ 253~=−2πiI`d1G(u, z)( − u )p(u)du = −2du2πiγIG(u, z)Âp(u)du.γËåììà äîêàçàíà.Ëåììà 1.7.Îïåðàòîð B̂ èìååò âèäB̂ = ~u(` − ud).du(1.44)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó(z 2+∂∂+ u2 )G(u, z) = −(` + 1)uG(u, z)+∂z∂uu2 (`u`+1 − (` + 1)u` z + z `+1 ) z 2 (−(` + 1)z ` u + `z `+1 + u`+1 )+=u`+1 (u − z)2u`+1 (u − z)2= −`(u − z)G(u, z) − 2uG(u, z) + ` + 1,òî0~BΦ(z) = −2πiI(u2γ∂G(u, z)+ (` + 2)uG(u, z))p(u)du+∂u~(` + 1)+2πiÒàê êàêp(u) ∈ JIp(u)du.(1.45)γ, òî âòîðîé èíòåãðàë â (1.45) ðàâåí íóëþ.
Ñëåäî-âàòåëüíî,0BΦ(z) =~=−2πiId1G(u, z)u(` − u )p(u)du = −du2πiγIG(u, z)B̂p(u)du.γËåììà äîêàçàíà.Ëåììà 1.8.Îïåðàòîð Ĉ èìååò âèädu` d`+1 Ĉ = ~−.du `! du`+1(1.46)54Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó∂G(u, z) ∂G(u, z) −(` + 1)z ` u + `z `+1 + u`+1+=−∂z∂uu`+1 (u − z)2(` + 1)(u`+1 − z `+1 ) `u`+1 − (` + 1)u` z + z `+1(` + 1)z `−+=−,u`+2 (u − z)u`+1 (u − z)2u`+2`(−1)`+1 ∂ `+1 X k−1 `−k(` + 1)z `(−1)`+1 ∂ `+1 `(u(,G(u,z))=uz)=`+2`! ∂u`+1`! ∂u`+1uk=0òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∂G(u, z)∂G(u, z) (−1)`+1 ∂ `+1 `=−−(u G(u, z)).∂z∂u`! ∂u`+1Ñëåäîâàòåëüíî,0~CΦ(z) = −2πiIdp(u)~du +G(u, z)du2πi`!γ1=−2πid`+1 p(u)u G(u, z)du =du`+1γI`IG(u, z)Ĉp(u)du.γËåììà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ (0.12) èçìåíèëñÿëèøü îïåðàòîðĈ . ñèëó (1.43), (1.44), (1.46) îáðàçóþùèå àëãåáðûâðàùåíèé ïðèíèìàþò âèä~u` d`+1 12 dŜ1 = (B̂ + Ĉ) = u` + (1 − u ) −,22du `! du`+11i~u` d`+1 2 du` − (1 + u ) +,Ŝ2 = (Ĉ − B̂) =2i2du `! du`+1d`Ŝ3 =  = ~ − u,2du(1.47)(1.48)(1.49)55à óðàâíåíèå (1.38) ïðåîáðàçóåòñÿ â óðàâíåíèå3 2 1 2Ŝ + Ŝ + B Ŝ1 − ξk,` p = 0.2 1 2 2(1.50)Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü íóëÿ, çàäàâàåìóþ íåðàâåíñòâîì| u |< z 2 − δ,ãäå√√z 2 = ( 3 − 1)/ 2,àδ > 0(1.51) êîíñòàíòà.
 ýòîé îêðåñòíîñòèàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.38) çàäàåòñÿ ÂÊÁ - ïðèáëèæåíèåì [57; 88]ΦW KB (z) = t(z)e`s(z) (1 + O(`−1 )),Çäåñüs(z), t(z)` → ∞. àíòèãîëîìîðôíûå ôóíêöèè, ïðè÷åìÏðè ïîäñòàíîâêåΦW KB (u)â (1.50) âîçíèêàåò íåâÿçêà(1.52)t(z) 6= 0W,.êîòîðàÿ âîáëàñòè (1.51) èìååò âèäW = O(`−2 ΦW KB ) + n̂ΦW KB ,(1.53)ãäå îïåðàòîð a 2 d`+1 u` d`+12 2 Bu`−1 d`+1a2n̂ =+ [(1 + )u − u − 1]+` du`+1 `! du`+1``a`! du`+1+2Âûðàæåíèå a 2`u` d`+2(u − 1).`! du`+2O(`−2 ΦW KB )2(1.54)â (1.53) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îöåíêóíåâÿçêè ÂÊÁ - ïðèáëèæåíèÿ, êîãäà â óðàâíåíèè (1.50) âìåñòî0ôèãóðèðóþò0S 1, S 2, àn̂ΦW KBâîçíèêàåò èç-çà íàëè÷èÿ âŜ1 , Ŝ2Ŝ1 , Ŝ2äî-ïîëíèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ~ u` d`+1−,2 `! du`+1i~ u` d`+1.2 `! du`+1(1.55)56Ïîêàæåì, ÷òîíåíèþ ñn̂ΦW KB`−2 ΦW KBËåììà 1.9.äàåò ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûé âêëàä ïî ñðàâ-. äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ñïðàâåäëèâàîöåíêàn̂ΦW KB = O(`−∞ ΦW KB ),` → ∞.(1.56)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîëó÷èì îöåíêó (1.56) äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãîâ (1.54), òàê êàê îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.Ïóñòüγ1 , γ2R0 è 3R0 /4| u |≤ R0 /2 â ñèëó îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñîâñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åìR0 < z 2 − δ. Òîãäà ïðèèíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè èìååì:u` d`+1 u` d`+1 W KB`+1Φ(u) = −`+1`+1`! du `! du2πiIγ1u` d`+1`! du`+1u`(v − u)`+2×ΦW KB (v)dv,×(1.57)ãäåu` d`+1`! du`+1u`(v − u)`+2u` (` + 1)=−2πiIγ2Ïðèìåíèì ê (1.58) íåðàâåíñòâà Êîøèη ` dη.(η − u)`+2 (v − η)`+2(1.58)[93].
Èç ñëåäóþùåé îöåíêè ` `+1 `u d (` + 1)12`+1 16 | u |`u, `! du`+1 (v − u)`+2 ≤R0`+3à òàêæå èç (1.57), (1.52) âûòåêàåò, ÷òî ` `+1 ` `+1 a 2u d a2 12`+1 43 | u |`udW KBmax | t(u) | ×(u) ≤ ` `! du`+1 `! du`+1 Φu∈γ1R0`+2× exp (` max Re s(u)).u∈γ1Äàëåå, ïîñêîëüêó â îáëàñòè (1.51)öèïà ìàêñèìóìà ïðè| t(u) |> 0, òî â ñèëó ïðèí-| u |≤ R0| ΦW KB (u) |≥ min | t(u) | exp (` min Re s(u)) > 0.u∈γ1u∈γ157Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè| u |≤ R0 /2. òî a 2 u` d`+1 u` d`+1 44 3a2 maxu∈γ1 | t(u) |1W KB≤Φ(u)× ΦW KB (u) ` `! du`+1 `! du`+1R02 minu∈γ1 | t(u) |× exp (`{ln | u | − ln R0 + ln 12 + max Re s(u) − min Re s(u)}),u∈γ1u∈γ1(1.59)à, çíà÷èò, ïðè| u |< R1 ,ãäå0 < R1 <(1.60)R0exp (min Re s(u) − max Re s(u)),u∈γ1u∈γ112ïðàâàÿ ÷àñòü (1.59) ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà.
Ëåììà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ôîðìóëå (0.12) öèêëγâîêðóãu = 0ëåæèò â îáëàñòè (1.60), òî âìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.50)`+2ïîðÿäêà â ïðàâóþ ÷àñòü (0.12) ìîæíî ïîäñòàâèòüàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà (1.38).2.5.Ìíîãîòî÷å÷íàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷àÈçó÷èì ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.38) âáëèçè îñîáûõ òî÷åê. Ðàçëàãàÿ äðîáü íà ïðîñòåéøèå, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî42(−(2a − ~)z 3 − Bz 2 + 2(2a − ~)z + B) X Aj=,~R(z)z−zjj=1ãäåa 1BA1 = A2 = − + − √ ,~ 26~a 1BA3 = A4 = − + + √ .~ 26~Ðåøàÿ çàòåì îïðåäåëÿþùèå ( èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ) óðàâíåíèÿ(m)(m)ρj (ρj(m)− 1) + Aj ρj= 0,j = 1, 2, 3, 4;m = 1, 2,58íàõîäèì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè â îñîáûõ òî÷êàõ (1.39)ðàâíû(1)ρj = 0,j = 1, 2, 3, 4;(2)ρjξ = ξk,`Ïðè(2)ρjp` + 1 b `(` + 2)√=+,22 6`+1 b=−2p`(` + 2)√,2 6j = 1, 2;j = 3, 4.òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.38),(1.30) ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû.
Èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè â√b > 6 ðåøåíèÿ(2)ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè ρj ,j = 1, 2, 3, 4, íå ëåæàòâ ïðîñòðàíñòâå P` ( è íå ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòèêîé ïîëèíîìîâ èç P` ).(2)Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ` ïðè j = 1, 2ρj > `, à(2)ïðè j = 3, 4ρj < 0 . Êðîìå òîãî, ýòè ðåøåíèÿ ìîãóò èìåòü òî÷êèîñîáûõ òî÷êàõ (1.39) ðàâíû íóëþ.
Îòìåòèì, ÷òî ïðèâåòâëåíèÿ, êîòîðûå îòñóòñòâóþò ó ïîëèíîìîâ.Èç îïðåäåëÿþùåãî óðàâíåíèÿ äëÿ îñîáîé òî÷êè(m)(m)ρ(m)∞ (ρ∞ − 1) + 2`ρ∞ + `(` − 1) = 0,íàõîäÿòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè(1)z5 = ∞m = 1, 2,(2)ρ∞ = −`, ρ∞ = −` + 1,à, çíà÷èò, îáà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.38)Φ(m)(z) = z(m)−ρ∞∞X−nϕ(m)n,∞ z ,(m)ϕ0,∞ 6= 0,m = 1, 2,(1.61)n=0∞ íå áûñòðåå z ` . Ïîýòîìó ïðèíàäëåæíîñòü ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâó P` íå ôèêñèðóåò åãî ïîâåäåíèå ïðè z → ∞. Îòìåòèì, ÷òî(2)(1)íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ðàçíîñòü ρ∞ − ρ∞ = 1 ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì,ðÿäû (1.61) íå ñîäåðæàò ln z .ðàñòóò íàÏðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.38) ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò èõ ïîâåëåíèå âáëèçè îñîáûõ òî÷åê. Íàðÿäóñî ñïåêòðàëüíîé çàäà÷åé (1.38), (1.30) ðàññìîòðèì ìíîãîòî÷å÷íóþñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó.
Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ÷èñåëξk,`(ñîá-ñòâåííûõ çíà÷åíèé), ïðè êîòîðûõ ó óðàâíåíèÿ (1.38) ñóùåñòâóþò59íåíóëåâûå àíòèãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè êîòîðûõ â îñîáûõ òî÷êàõ (1.39) ðàâíû íóëþ.Åñëè ÷èñëîξk,` è ôóíêöèÿ p(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå òà-êîé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òî ïðè ïîäñòàíîâêåp(u)âΦ(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.38) èç ïðîñòðàíñòâà P` .
Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) äëÿ Φ(z) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñîäåðæàùèéñÿ â p(u)ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ξk,` è ìíîãî÷ëåíΦ(z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì èñõîäíîé ñïåêòðàëüíîéïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) ïîëó÷àåì ìíîãî÷ëåíçàäà÷è (1.38), (1.30).2.6.ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå. Ëèíèè ÑòîêñàÏåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(1.38). Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè [20]Φ(z) = E(z)Y (z),(1.62)ãäå(2)E(z) = (z −z 1 )(ρ1−1)/2(2)(z −z 2 )(ρ2−1)/2√(a+B/ 6−~/2)/(2~)= [(z − z 1 )(z − z 2 )](2)(z −z 3 )(ρ3−1)/2(2)(z −z 4 )(ρ4−1)/2=√(a−B/ 6−~/2)/(2~)[(z − z 3 )(z − z 4 )],(1.63)óðàâíåíèå (1.38) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäód2 Y− Q(z)Y = 0.dz 2Ëåììà 1.10.Q(z) =(1.64)Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî1[B 2 z 4 + B(4a + 2~)z 3 + (−2B 2 + 12a2 + 12a~ − 9~2 )z 2 +22~ R (z)4ξk,` − 2~2+B(4a + 2~)z + B ] +.~2 R(z)2(1.65)60Ïîñêîëüêóp~a(a + ~) = a + + O(~2 ),2~ → 0,(1.66)òî èç (1.65) âûòåêàåò, ÷òî4ξk,`a(a + ~)P (z)Q(z) =+ 2+O (1)+O22~ R (z)~ R(z)Çäåñü1,R(z)P (z) = b2 z 4 + 4bz 3 + (−2b2 + 12)z 2 + 4bz + b2 ,~ → 0.àR(z)(1.67)çàäàåòñÿôîðìóëîé (1.40).Äàëåå ïîêàæåì, êàê óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ó óðàâíåíèÿ (1.64)êðàòíîé òî÷êè ïîâîðîòàz0ïîçâîëÿåò íàéòè àñèìïòîòèêó (1.36) äëÿξk,` .
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Q(z 0 ) = 0, Q0 (z 0 ) = 0 ñ òî÷íîñòüþ O(1). ñèëó (1.67) èìååì:a(a + ~)P (z 0 ) + 4ξk,` R(z 0 ) = 0,a(a + ~)P 0 (z 0 ) + 4ξk,` R0 (z 0 ) = 0.Èç ýòèõ ðàâåíñòâ âûòåêàåò óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿz0[b2 z 40 + 4bz 30 + (−2b2 + 12)z 20 + 4bz 0 + b2 ][4z 30 − 8z 0 ]−−[4b2 z 30 + 12bz 20 + 2(−2b2 + 12)z 0 + 4b][z 40 − 4z 20 + 1] = 0,(1.68)à òàêæå àñèìïòîòèêàξk,` ∼ −a(a + ~) P (z 0 ).4R(z 0 )(1.69)Ðàçëàãàÿ ëåâóþ ÷àñòü (1.68) íà ìíîæèòåëè(z 20 − 1)(bz 20 + 6z 0 + b)(z 20 + bz 0 + 1) = 0,ïîëó÷àåì, ÷òî ó (1.68) èìååòñÿ 6 êîðíåéz 0,1 = 1,z 0,2 = −1,z 0,3 =−3 +√b9 − b2,z 0,4 =−3 −√b9 − b2,61z 0,5 =−b +√b2 − 42,z 0,6 =−b −√b2 − 42,ïðè÷åì ïåðâûå 4 èç íèõ ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìàëè â (1.69) ïîëîæèòüÁóäåì èñêàòüz 0 = 1.ξk,`fΩ` (z, z).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
