Автореферат (1136177)
Текст из файла
На правах рукописиПерескоков Александр ВадимовичСпектр и асимптотические решения,локализованные вблизи маломерныхподмногообразий, для уравненийс резонансной главной частьюи нелинейностью типа ХартриСпециальность 01.01.03 — Математическая физика(физико–математические науки)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико–математических наукМосква — 2016Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждение высшего образования «Национальный исследовательскийуниверситет «МЭИ».Официальные оппоненты: Назайкинский Владимир Евгеньевич –доктор физико-математических наук, ФГБУН«Институт проблем механики им. А.
Ю. Ишлимского РАН», старший научный сотрудник;Новокшенов Виктор Юрьевич –доктор физико-математических наук, ФГБУН«Институтматематикисвычислительным центром Уфимского научного центра РАН», главный научный сотрудник;Федотов Александр Александрович –доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургскийгосударственный университет», профессоркафедры высшей математики и математической физики физического факультета.Ведущая организация:ФГБОУ ВО «Московский государственныйуниверситет им. М. В.
Ломоносова».Защита состоится 20 декабря 2016 года в 16:00 на заседании диссертационногосовета Д 212.048.17, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», по адресу:123458, Москва, ул. Таллинская, д. 34, к. 208.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000,Москва, ул. Мясницкая, д.20, и на сайте: https://www.hse.ru/sci/diss/189957827Автореферат разослан«»2016 г.Ученый секретарьдиссертационного советаШнурков Петр Викторович2Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияВ теории квазиклассического приближения долгие годы стояла важнаяпроблема о построении асимптотики спектра и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров, которые образуютсяпри возмущении главной части гамильтониана в случае резонанса частот.Этой теме посвящена первая часть результатов диссертации, причем, какдля случая линейных операторов, так и для случая операторов с нелинейными возмущениями типа Хартри.
Решение указанной проблемы важно дляпостроения представлений асимптотических решений широкого круга уравнений математической физики.Вторая часть результатов диссертации посвящена построению асимптотических решений нелинейных уравнений типа Хартри с кулоновским потенциалом самодействия, характерным для многих физических моделей. Наличие у потенциала самодействия кулоновской особенности представляет принципиальную проблему для обычной теории квазиклассического приближения.
Актуальной задачей является обнаружение эффективного анзаца дляасимптотики, в частности, при описании решений, локализованных вблизималомерных многообразий, где не работают известные методы и должны возникнуть новые модельные уравнения.Степень разработанности темы.Уравнениями Хартри 1, 2, 3, 4 называются нелинейные уравнения Шредингера в R2 и в R3 , содержащие помимо обычной потенциальной ямы еще и1Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part I. Theory andmethods // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928.
— Vol. 24. — Pp. 89–110.2Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part II. Some results anddiscussion // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928. — Vol. 24. — Pp. 111–132.3Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part III. Term valuesand intensities in series an optical spectra // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928.
—Vol. 24. — Pp. 426–437.4Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part IV. Further resultsrelating to terms of the optical spectrum // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1929. —Vol. 25. — Pp. 310-314.3потенциал самосогласованного поля кулоновского типа.
Точнее, рассматривается система уравнений(−~2 ∆ + V + U )ψ = λψ,kψkL2 = 1,∆U = |ψ|2 ,(1)(2)в которых V — это гладкая потенциальная яма (обеспечивающая дискретность спектра), ~ > 0 — малый параметр, а λ и ψ — искомое собственноезначение и собственная функция.Потенциал самосогласованного поля U может быть выражен из (2) ввиде интеграла1U (x) = −4π1U (x) =2πZZR3|ψ(y)|2dy|x − y|ln |x − y| · |ψ(y)|2 dyпри x ∈ R3 ,при x ∈ R2 .(3)(4)R2Подстановка (3) или (4) в (1) дает дифференциальное уравнение для ψ синтегральной нелинейностью.Начиная с основополагающих работ Д.Р. Хартри (D.R. Hartree) в течение почти уже 100 лет уравнения Хартри привлекают внимание большогочисла физиков и математиков. Фундаментальные результаты, касающиесяуравнений типа Хартри, были получены в работах Н.Н.
Боголюбова, Л.П.Питаевского, С.И. Пекара, В.Д. Лахно, И.В. Сименога, а также Е.П. Гросса(E.P. Gross), Е.Х. Либа (E.H. Lieb), П.Л. Лионса (P.L. Lions), Б. Саймона (B.Simon), Ч.А. Стюарта (C.A. Stuart) и многих других.Наряду с уравнениями Хартри рассматриваются уравнения типа Хартри, в которых функцияZU (x) =W (x, y)|ψ(y)|2 dy(5)Rnсодержит потенциал самодействия W (x, y) более общего вида, чем кулоновский. Уравнения типа Хартри играют фундаментальную роль в некоторых4квантовомеханических моделях, а также в нелинейной оптике (см., например,5, 6, 7 ).Математическая теория этих уравнений развита особенно глубоко длянестационарного случая (задача Коши) (см., например,8 ).
Важные результаты были получены также и в спектральной теории таких уравнений (см.,например,9, 10 ).Методы квазиклассического приближения при ~ → 0 для этого типанелинейных уравнений начали систематически разрабатываться в работахВ.П. Маслова и М.В. Карасева 11, 12, 13 . Задача здесь оказалась намного сложнее по сравнению с линейным случаем.В работах 11, 12 было показано, что к уравнениям с интегральной нелинейностью типа Хартри могут быть успешно применены квазиклассическиеметоды, разработанные для линейных уравнений. При этом предполагалось,что интегральное ядро в потенциале самодействия (5) достаточно гладкое.Случай сингулярного ядра, возникающий в реальных физических моделях,вначале не рассматривался.
В таком гладком случае асимптотические собственные функции, сосредоточенные в точке, для уравнения Хартри быливпервые построены в 14 и в 15 . Они задавались гауссовыми пакетами, как вобычном методе ВКБ 14 .Затем в работе 13 была предпринята попытка теми же методами изучитьслучай сингулярного ядра самодействия.
А именно, в 13 в главном приближе5Боголюбов Н. Н. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частиц с квантованным полем // Украинский математический журнал. — 1950.— Т. 2, №2. —с. 3–24.6Пекар C.И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.:Гостехиздат. — 1951.7Achmanov S. A., Hocklov R. V., Suchorukov A. P.
Self-fokusing, self-defokusing and self-modulation innonlinear medium // Laserhandbuch. Vol. 2.— Amsterdam: Holland-press, 1972. — Pp. 5–108.8Chadam J.M., Glassey R.T. Global existence of solutions to the Cauchy problem for time-dependentHartree equation // Journal of Mathematical Physics — 1975. — Vol. 16.
— Pp. 1122–1130.9Lieb E.H., Simon B. The Hartree-Fock theory for Coulomb systems // Communication in MathematicalPhysics. — 1977. — Vol. 53, №3. — Pp. 185–194.10Lions P.L. Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems // Communication in MathematicalPhysics. — 1987. — Vol. 109, №1. — Pp. 33–97.11Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.:Наука. —1976.12Маслов В.П.
Уравнения самосогласованного поля // т. 11. — М.:ВИНИТИ, 1978. — с. 153–234. —(Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики.)13Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения.II. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // т. 13. — М.:ВИНИТИ, 1979.
— с. 145–267. — (Итогинауки и техники. Серия Современные проблемы математики.)14Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.:Наука. — 1977.15Сименог И.В. Об асимптотике решения стационарного нелинейного уравнения Хартри // Теоретическая и математическая физика. — 1977.— Т. 30, №3. — с. 408–414.5нии были построены асимптотические собственные функции задачи (1), (2),отвечающие лагранжевым "радиально-симметричным"подмногообразиямΛ3 ⊂ R3x ⊕R3p , проекции которых на R3 являются шаром. Также был рассмотрен целый ряд приложений и обобщений этих решений. Одномерный случайбыл разобран в 16 .Отметим, что в случае шара особенность ядра трехмерного кулоновского взаимодействия, конечно, доставляет свои трудности, но не изменяет стандартного вида главной части асимптотики 13 .
Тогда же были начаты попыткипостроить асимптотические решения, отвечающие изотропным подмногообраям Λ2 ⊂ R3x ⊕ R3p , проекции которых на R3x являются плоскими дисками.Однако случай дисков оказался намного сложнее. И основным препятствием здесь служит логарифмический характер особенности ядра двумерногокулоновского взаимодействия.В этой связи, в работе 17 заново был рассмотрен радиальный случайшара, но с большей, чем в 13 , точностью по ~. Оказалось, что в младшихчленах асимптотики уже полностью проявляется сингулярность ядра трехмерного кулоновского взаимодействия, и это приводит к существенному изменению, например, правил квантования по сравнению с теорией обычногоВКБ-приближения.
Поэтому решение задач об асимптотических решенияхуравнений Хартри для случаев плоских дисков внутри R3 и отрезков прямых внутри R2 потребовало очень кропотливого изучения модельных уравнений с сингулярными ядрами. Полученные результаты были опубликованыв работах [9–13]. При этом аналогия с картиной, характерной для обычногоВКБ-приближения 14 , здесь почти полностью утрачивается.Далее в работе В.В.Белова, Ф.М.Литвинца, А.Ю.Трифонова 18 для небольших квантовых чисел была найдена серия асимптотических собственныхзначений для оператора типа Хартри.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
