Автореферат (1136177), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Второй общейзадачей является асимптотическое решение уравнений Хартри в случае сингулярного (кулоновского) потенциала самодействия. Изучаются решения, не10являющиеся радиально-симметричными, и решения, сосредоточенные вблизималомерных подмногообразий (отрезков и плоских дисков).Научная новизнаВ настоящей диссертации разработаны существенно новые методы решения ряда проблем, стоявших в теории квазиклассического приближения.Для уравнений с резонансной главной частью вблизи границ спектральныхкластеров и уравнений с нелинейностью типа Хартри, в том числе кулоновского типа, найдены неизвестные ранее формулы для асимптотики спектра ввысших приближениях и анзацы для асимптотических собственных функций,локализованных вблизи маломерных подмногообразий.Положения, выносимые на защиту1. Предложен общий метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров для линейных уравнений с резонансной главной частью,основанный на новом интегральном представлении полиномов.2.
Найдены асимптотики спектральных серий для возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров и дляатома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральныхкластеров. Построены соответствующие асимптотические собственныефункции и получены формулы для асимптотики квантовых средних.3.
Предложен метод нахождения асимптотических собственных значенийвблизи границ спектральных кластеров для нелинейных уравнений типа Хартри с гладким потенциалом самодействия, в котором дополнительно вычисляются асимптотики квантовых средних.4. Найдены асимптотика собственных значений и асимптотические собственные функции для уравнений типа Хартри вблизи границ спектральных кластеров в случае, когда потенциал самодействия являетсямногочленом от квадрата расстояния.5. Найдены асимптотика собственных значений и асимптотические собственные функции вблизи верхних границ спектральных кластеров для11оператора Хартри в R3 с кулоновским взаимодействием и для резонансного осциллятора в R2 с возмущающим потенциалом Хартри.6.
Построены асимптотические разложения для решений нового модельного уравнения "эйри-полярона".7. Найдены локализованые вблизи отрезков в R2 и вблизи плоских дисковв R3 асимптотические собственные функции уравнений Хартри. Выведены правила квантования типа Бора-Зоммерфельда, из которых определяются асимптотические собственные значения.Методология и методы диссертационного исследованияВ диссертационной работе применялись следующие математические методы.1. Асимптотические методы и методы теории возмущений.2.
Методы аналитической теории дифференциальных уравнений.3. Аналитические методы классического математического анализа и теории функций комплексного переменного.4. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.Теоретическая и практическая значимость работыС помощью нового, общего метода интегральных представлений полиномов решена старая задача построения асимптотики спектра и соответствующих асимптотических собственных функций вблизи границ спектральныхкластеров, которые образуются около собственных значений главной частигамильтониана в случае резонанса ее частот. Эти функции локализованывблизи маломерных подмногообразий. Данный общий метод применен дляширокого класса нелинейных уравнений типа Хартри с гладкими потенциалами самодействия. Кроме того, для уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия найдены неизвестные ранее асимптотики спектравблизи границ спектральных кластеров, а также новые анзацы для асимптотических собственных состояний, сосредоточенных вблизи маломерных подмногообразий: отрезков и плоских дисков.12Общие математические методы, развитые в диссертационном исследовании, могут быть использованы при анализе спектра в различных моделях квантовой механики.
Эти методы позволяют найти асимптотику спектра вблизи границ спектральных кластеров, образующихся около собственных значений невозмущенного оператора, а также построить асимптотические собственные функции, которые не являются радиально-симметричнымии локализованы вблизи маломерных подмногообразий. Предлагаемые в диссертации методы могут быть применены также при анализе прикладных математических моделей, встречающихся в различных областях современнойфизики, например, в задачах молекулярной спектроскопии и в наноэлектронике.Достоверность полученных результатовВ диссертационной работе использовались строгие математические методы. Все новые научные результаты строго доказаны.Апробация результатов диссертационного исследованияРезультаты диссертационной работы были представлены автором личнона следующих международных научных конференциях:1. Международная конференция ”Дни дифракции 2016” ( Санкт-Петербург,ЛОМИ РАН и СПбГУ, 27 июня – 1 июля 2016 г.).2.
Международная научная конференция ”Актуальные проблемы теорииуравнений в частных производных”, посвященная памяти академикаА.В. Бицадзе ( Москва, МГУ, 16 – 18 июня 2016 г.).3. V Международная научная конференция ”Многомасштабные методы имоделирование: переход от микро- к макро- масштабу в механике и медицине” ( Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 25 – 27 июня 2015 г.).4. XXII Международная научно-техническая конференция ”Информационные средства и технологии” ( Москва, НИУ МЭИ, 18 – 20 ноября2014 г.).5.
Международная конференция ”Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященная 110-летию И.Г. Петровского ( XXIII сов13местное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского ) ( Москва,МГУ, 30 мая – 4 июня 2011 г.).6. Международная конференция ”Асимптотики решений дифференциальных уравнений” ( Уфа, ИМВЦ УНЦ РАН, 26 – 30 мая 2002 г.).Результаты исследований, представленных в диссертации, были доложены автором лично на следующих семинарах.1.
Семинар лаборатории ”Механика природных катастроф” ( Москва, Институт проблем механики РАН, 2016 г.).2. Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики ( Уфа, ИМВЦ УНЦ РАН, 2016 г.).3. Семинар ”Дифференциальные уравнения” под руководством проф. Ю.А.Дубинского и проф.
А.А. Амосова ( Москва, НИУ МЭИ, 2014 г.).4. Семинар кафедры прикладной математики под руководством проф.М.В. Карасева ( Москва, МИЭМ, 2011 г.).ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в 13 работах в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты докторскихдиссертаций.
Список публикаций приведен в конце настоящего автореферата.Личный вклад автораОсновные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Ему принадлежат результаты, изложенные в первой главе ”Асимптотика спектра и квантовых средних вблизи границ спектральных кластеровв случае линейных уравнений”, во второй главе ”Асимптотические решенияуравнений типа Хартри с гладкими потенциалами самодействия” и в третьейглаве ”Асимптотические решения уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия”, а также в §2 четвертой главы ”Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. Теория эйри-полярона”. Результаты, содержащиеся в §1 и §3 четвертой14главы, были получены совместно с М.В. Карасевым. Личный вклад автора в§1 четвертой главы заключается в построении асимптотических разложенийдля эйри-полярона, а в §3 четвертой главы – в построении асимптотическихрешений уравнения Хартри и выводе правила квантования.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и спискалитературы, содержащего 165 наименований.
Объем диссертации 464 стр.Содержание работыВо введении рассматривается актуальность темы исследования, формулируются цели и задачи диссертации.Прежде, чем переходить к изучению уравнений типа Хартри, в первойглаве общий метод применен к ряду задач для линейных уравнений. Первая глава состоит из трех параграфов. В §2 рассматривается задача насобственные значения в L2 (R2 )(H0 + εV (q1 , q2 ))ψ = λψ,(7)kψkL2 (R2 ) = 1,(8)где~2H0 = −2∂2∂2+∂q12 ∂q22q12 + q22+2(9)- двумерный осциллятор, V (q1 , q2 ) — произвольный многочлен четвертойстепени, ~ > 0, ε > 0 — малые параметры, причемε ~.(10)Условие (10) возникает при нахождении поправки порядка ε~ в спектральной серии. При его выполнении погрешность квантового метода усреднения,равная O(ε2 ), оказывается малой.
Для определенности рассмотрим случай,когда ε = ~2 .Лучевой метод и общая теория комплексного ростка Маслова позволяют строить асимптотические при ~ → 0 решения, локализованные вблизи точек, траекторий, торов и иных маломерных инвариантных подмногообразий15в фазовом пространстве. Однако указанные методы неприменимы в случаерезонанса орбитальных частот.
Задача (7), (8) как раз относится к классурезонансных: обе частоты двумерного осциллятора H0 равны 1.Метод построения квазиклассических асимптотик для уравнений с частотными резонансами был разработан в серии работ М.В. Карасева. Он основан на операторном усреднении возмущения, последующем переходе на алгебру симметрий и когерентном преобразовании от исходного представленияэтой алгебры к ее неприводимому представлению в пространстве функцийнад лагранжевым подмногообразием в симплектическом листе.
Данный метод был успешно применен при изучении ряда физических моделей.Особый интерес представляют решения уравнений типа (7), отвечающие границам спектральных кластеров вблизи собственных значений невозмущенного уравнения ( при ε = 0), где упомянутые лагранжевы подмногообразия почти схлопываются и интегральное представление решения над нимистановится невозможным.В §2 общий метод рассматривается на примере задачи (7), (8) с возмущающим потенциалом видаV (q1 , q2 ) = q12 q22 + Bq1 q2 ,(11)где B - вещественный параметр. Применим к задаче (7), (8) квантовое усреднение и когерентное преобразованиеZdz dz`+1.(12)I` (Φ) =Φ(z) | z >2π C(1+ | z |2 )`+2Здесь(1 + z 2 )`/2q1 + zq2 q12 + q22√√√| z >=H`exp(−)2~~ 1 + z2π2` `!~— когерентные состояния для алгебры вращений, H` (z) - полиномы Эрмита.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
