Автореферат (1136177), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В результате на ` – ом неприводимом представлении алгебры симметрийневозмущенного оператора мы приходим к задаче на собственные значенияв пространстве P` , где число ` имеет порядок ~−1 . Искомый полином удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка класса Фукса dΦd2 Φ~ [z − 4z + 1] 2 + 2~ −(2a − ~)z 3 − Bz 2 + 2(2a − ~)z + B+dzdz24216+2 a(2a − ~)z 2 + 2Baz − 2ξk,` + 2a~ Φ = 0(13)с четырьмя конечными особыми точками, а также особой точкой z = ∞.Вначале изучается многоточечная спектральная задача в классе антиголоморфных функций с равными нулю характеристическими показателями вконечных особых точках. Далее асимптотика искомого полинома получается получается с помощью операции проектирования на подпространство P` ,обобщающей преобразования Дирака 29 .
Она имеет вид1Φ(z) = −2πiIγu`+1 − w`+1p(u)du,u`+1 (u − w)где γ - цикл вокруг точки u = 0, а p(u) — асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи.Пусть число ` ∈ N имеет порядок ~−1 и определяет собственное значение~(`+1) невозмущенного оператора H0 . В §2 с помощью общего метода найдена асимптотика спектральной серии вблизи верхней границы спектральногокластера.
Она имеет видλ = λk,`14a432= 2a(1 + ) + 2 (b + )(1 + )−``2`8a4 p 21b+5b+6(k+) + O(`−4 ),3`2Здесь число a задается формулой−a = `~/2,а параметр b >√k = 0, 1, 2, . . .(14)` = 0, 1, 2, . . . ,6 связан с входящим в (11) параметром B соотношениемB=bpa(a + ~).(15)В (14) учтены поправки порядка ~2 и ~3 . Кроме того, в §2 изучена задачавычисления средних значений дифференциальных операторов на решениях(7), (8) вблизи границ спектральных кластеров. Оказалось, что асимптотикаквантовых средних в члене порядка ~ выглядит нетривиально.17Рассмотрим пространство P` со скалярным произведениемZ`+1dz dz(g1 , g2 )P` =g1 (z)g2 (z),2π C(1+ | z |2 )`+2а также действующие в P` операторы0S1 =i~`~d 0d 0d, S2 =, S3 = ~ − z.z` + (1 − z 2 )z` − (1 + z 2 )2dz2dz2dzОни удовлетворяют циклическим коммутационным соотношениям0000[S 1 , S 2 ] = i~S 3 ,000[S 2 , S 3 ] = i~S 1 ,00[S 3 , S 1 ] = i~S 2 .Справедлива000Теорема 1.
Пусть F (S 1 , S 2 , S 3 ) — оператор, где F (S1 , S2 , S3 ) — многочлен,000такой, что F (a, 0, 0) 6= 0 , а операторы S 1 , S 2 , S 3 упорядочены по Вейлю.Тогда формула для квантовых средних с точностью O(~3/2 ) при ~ → 0имеет вид000(F (S 1 , S 2 , S 3 )Φk,` , Φk,` )P` = F (a, 0, 0) +−a] ++0∂F(a, 0, 0)[(S 1 Φk,` , Φk,` )P` −∂S100∂F∂F(a, 0, 0)(S 2 Φk,` , Φk,` )P` +(a, 0, 0)(S 3 Φk,` , Φk,` )P` +∂S2∂S3001 ∂ 2F1 ∂ 2F22(a,0,0)((S)Φ,Φ)+(a,0,0)((S2k,`k,` P`3 ) Φk,` , Φk,` )P` +222 ∂S22 ∂S30000S 2S 3 + S 3S 2∂ 2F+(a, 0, 0)(Φk,` , Φk,` )P` + O(~3/2 ).∂S2 ∂S32Здесь0(S 1 Φk,` , Φk,` )P` = a −0(S 2 Φk,` , Φk,` )P` = i~0(S 3 Φk,` , Φk,` )P` = ~~ Σ1 (b)+ ~ + O(~3/2 ),2 Σ0 (b)Σ2 (b) 3− i~ + O(~3/2 ),Σ0 (b) 2Σ2 (b) 3− ~ + O(~3/2 ),Σ0 (b) 2p0((S 2 )2 Φk,` , Φk,` )P` = ~a{− (b + 2)(b + 3)(2k + 1) − (b + 3)+18+(b + 3)Σ1 (b)} + O(~3/2 ),Σ0 (b)0((S 3 )2 Φk,` , Φk,` )P` =pΣ1 (b)} + O(~3/2 ),= ~a{ (b + 2)(b + 3)(2k + 1) + (b + 2) − (b + 2)Σ0 (b)0(000pS 2S 3 + S 3S 25Φk,` , Φk,` )P` = i~a{ (b + 2)(b + 3)(2k + 1) + (b + )−22pΣ3 (b)+ (b + 2)(b + 3)} + O(~3/2 ),Σ0 (b)функцииZθ(t, r, b)σj (t, r, b) | Hk (r + it) |2 dt dr,Σj (b) =j = 1, 2, 3,R2гдеrθ(t, r, b) = exp (−(аb+3− 1)t2 − (1 −b+2rb+2 2)r ),b+3t2 + r 2t4r 2 t2σ1 = p, σ2 = −++b + 2 (b + 2)(b + 3)(b + 2)(b + 3)8b + 23r42p+t+ 2k + 1 −+b+32 (b + 2)(b + 3)8b + 17t2r22p−r+ 2k + 1 , σ3 =+.b+2 b+32 (b + 2)(b + 3)В §3 рассматривается задача об эффекте Зеемана во втором порядке помагнитному полю с использованием неприводимых представлений алгебры сквадратичными коммутационными соотношениями Карасева-Новиковой[B1 , B2 ] = i~B0 B3 ,[B0 , B1 ] = 2i~B2 ,i~(B0 B1 + B1 B0 ),[B0 , B2 ] = −2i~B1 ,2i~[B3 , B1 ] = − (B0 B2 + B2 B0 ),[B0 , B3 ] = 0.2Каждому неприводимому представлению этой алгебры соответствует спектральный кластер вокруг уровня энергии невозмущенного атома водорода.
Висследуемой модели нерелятивистский гамильтониан атома водорода в одно[B2 , B3 ] = −19родном магнитном поле имеет видH = H0 + εM3 + ε2 W,(16)гдеH = −∆ − |x|−1 ,M3 = ix2∂∂− ix1,∂x1∂x2W = (x21 + x22 )/4.Здесь через x = (x1 , x2 , x3 ) обозначены декартовы координаты в R3 , ∆ —оператор Лапласа, магнитное поле направлено вдоль оси x3 ; параметр ε в(16) пропорционален напряженности поля.Применим к этой модели общий метод построения асимптотических решений вблизи границ спектральных кластеров.
В §3 с помощью этого методанайдена асимптотика серии собственных значений атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров. Она имеет видp11 2 2 222 2Ek = − 2 + εm + ε n (n + m ) + ε n (2k + 1) 5m2 − n2 −4n21 4 6 4ε n (5n + 98m2 n2 − 7m4 ) + O(n−9/2 ), n → ∞, k = 0, 1, 2, . .
. .24√Здесь 1 n . ε−7/2 и 5n < |m| < n.Подчеркнем, что полученная формула для асимптотической собственной функции глобальна. В §3 изучена также задача вычисления квантовыхсредних вблизи нижних границ кластеров.Во второй главе диссертации общий метод нахождения серий асимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров применяется к уравнениям типа Хартри.
В отличие от рассмотренных в первойглаве линейных уравнений для уравнений типа Хартри приходится дополнительно вычислять асимптотику квантовых средних.Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов. В §1 и §2 рассматривается следующая задача на собственные значения в L2 (R2 )−Z(H0 + εW (|q − q 0 |2 ) | ψ(q 0 ) |2 dq 0 )ψ = λψ,(17)R2kψkL2 (R2 ) = 1.20(18)Здесь H0 — двумерный осциллятор (9), W (x) = w0 +w1 x+w2 x2 — произвольный многочлен второй степени с вещественными коэффициентами, ~ > 0,ε > 0 — малые параметры, причем ε ~. Для определенности рассмотримслучай, когда ε = ~2 , а w2 > 0.Уравнение самосогласованного поля во внешнем поле, содержащее интегральную нелинейность типа Хартри с гладким или негладким потенциаломсамодействия, играет фундаментальную роль в квантовой теории и нелинейной оптике.
В частности, такие уравнения возникают в теории полярона,который можно рассматривать как простейший пример частицы, взаимодействующей с квантованным полем 5 , в теории конденсата Бозе-Эйнштейна 31,32, при нахождении электронных орбиталей в многоэлектронных атомах 33 , атакже при рассмотрении сред с пространственной дисперсией 7 .Асимптотическим решениям уравнений типа Хартри, локализованнымвблизи маломерных инвариантных подмногообразий в фазовом пространстве, посвящено большое число работ. Особенностью задачи (17), (18) является то, что она относится к классу резонансных.В §1 найдены асимптотические собственные значения нелинейного оператора типа Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров.
Для` ∈ N порядка ~−1 имеем:λ = λk,` = `~ + ~ + (w0 + 2`~w1 + 9`2 ~2 w2 )~2 + (2w1 + 2`~w2 (9−√−2 6(k + 1/2)))~3 + O(~4 ),k = 0, 1, 2, . . . ,~ → 0.(19)Этим собственным значениям будут соответствовать однопараметрическиесемейства асимптотических собственных функций.Помимо нелинейности имеется еще целый ряд свойств, отличающих задачу (17), (18) от рассмотренных ранее задач. Например, после усреднения икогерентного преобразования в случае уравнения (17) получается уравнение2dΦdΦ8x(z−x)00~2 R2 (z) 2 + R1 (z, ~)+ 4a2 z 2 ++dzR(x0 )dz31Питаевский Л.П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию // Успехи физических наук.
— 1998.— Т. 168, №6. — с. 641–653.32Gross E. P. Structure of a quantized vortex in boson systems // Nuovo Cimento. — 1961. — Vol. 20, №3.— Pp. 454–477.33Хартри Д.Р. Расчеты атомных структур. М.:ИЛ. — 1960.21hio(1)(1)(1)+ 2a~ −R(z) + 2(b3 − ξk,` /a) + 2b1 z Φ = 0,(20)гдеR(z) = z 2 + 1,4(1 − x20 )z − 4x0 (1 − z 2 )R1 (z, ~) = −4a~ zR(z) ++R(x0 )hi(1)(1)22+2~ zR(z) − 2b3 z + b1 (1 − z ) ,которое имеет иррегулярные особые точки. Оно не является уравнением класса Фукса, как было для уравнения (13).Далее в §2 найдены асимптотические собственные значения задачи (17),(18) вблизи нижних границ спектральных кластеров.
Для ` ∈ N порядка ~−1они имеют видλ = λk,` = `~ + ~ + (w0 + 2`~w1 + 6`2 ~2 w2 )~2 ++(2w1 + 2`~w2 (2k + 7)))~3 + O(~4 ),k = 0, 1, 2, . . . ,~ → 0.(21)Им соответствует однопараметрическое семейство асимптотических собственные функции, которые получаются из многочленовrΦk,` (z) =`k[(z − i)`−k (z + i)k cos α + (z + i)`−k (z − i)k sin α],`2 k!где α ∈ R, применением когерентного преобразования (12) и деусредняющегопреобразования.Укажем ряд отличий, возникающих при изучении нижних границ спектральных кластеров.
Во первых, в случае нижних границ в уравнениии (20)происходит слияние точек поворота и особых точек z = ±i, которого не былопри рассмотрении в §1 верхних границ кластеров. Во вторых, решения, отвечающие нижним границам спектральных кластеров, локализованы в малыхокрестностях сразу двух точек z = ±i, а не одной, как было в случае верхнихграниц. Вследствие этого усложняется процесс согласования асимптотик.Кроме того во второй главе рассмотрена задача на собственные значения для нелинейного оператора типа Хартри в L2 (R2 )ZW (q, q 0 ) | ψ(q 0 ) |2 dq 0 )ψ = λψ,(H0 + εR222(22)kψkL2 (R2 ) = 1,(23)где потенциал самодействия имеет отличный от W (|q − q 0 |2 ) видW (q, q 0 ) = (q1 − q10 )2 (q2 − q20 )2 + B(q1 − q10 )(q2 − q20 ).(24)Здесь B – константа, H0 — двумерный осциллятор (9), ~ > 0, ε > 0 — малыепараметры, причем ε ~.
Для определенности положим ε = ~2 .Оператор типа Хартри с потенциалом самодействия вида W = W (q1 −q10 , q2 − q20 ) может возникать при изучении взаимодействий в плоских квантовых решетках. Для него в §3 найдены асимптотические собственные значениявблизи верхних границ спектральных кластеровλ = λk,`+`2 ~4(2b + 9)+= `~ + ~ +4`~4 p(− (b + 6)(b + 7)(2k + 1) + 2b + 9) + O(~4 ),2~ → 0.√Здесь k = 0, 1, 2, .
. . , число ` имеет порядок ~−1 , а параметр b > 6 − 4связан с входящим в (24) параметром B соотношением (15). Отметим, чтопосле учета дополнительной поправки основные результаты §2 первой главыоказываются справедливы и для задачи (22), (23), поскольку в результатеусреднения оператора типа Хартри с потенциалом самодействия (24) получается оператор, близкий к усредненному оператору из §2 первой главы.Третья глава диссертации состоит из двух параграфов и посвященаизучению уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия.Метод, использованный в первой и второй главах диссертации, не применим в случае уравнений с сингулярными потенциалами самодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
