Автореферат (1136177), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Задача состоит в том, чтобывычислить асимптотические решения g = gn (x, y, h) и найти асимптотику соответствующей серии собственных значений λ = λn (h) при h → 0 и n порядкаh−1 .Асимптотические решения (35), локализованные вблизи отрезка [ex− , xe+ ]прямой y = 0, будут построены используя метод согласования асимптотических разложений. Здесь xe− , xe+ — точки поворота, расположенные околокорней x− , x+ , x− < x+ , уравнения λ − V (x) = 0. В области между xe− иxe+ асимптотика строится с помощью варианта метода ВКБ. Вблизи же отточек (ex− , 0), (ex+ , 0) асимптотика выражается через решения G = G(ξ, η)модельного уравнения (32).Подчеркнем, что построенные в §2 асимптотические решения не являются радиально-симметричными. Доказательство существования несимметричных решений уравнения Хартри для некоторых случаев дано в 34, 35 .
Крометого, изучение нерадиально-симметричных решений производилось с использованием численных методов.Для нахождения дискретной серии асимптотических собственных значений λ = λn (h) задачи (35) – (37) в §2 выписано правило квантования типа35Карасев М.В. Квантовая редукция на орбиты алгебр симметрий и задача Эренфеста // Киев: Институт теоретической физики АН УССР. 1987. — (Препринт ИТФ-87-157Р).30Бора–ЗоммерфельдаS0,0 ε√3Ω− e, k−h2/31+hZxe+ −ε000S (x , h) dx + S0,0 ε√3Ωxe− +ε+ e, k+h2/3= πn,(38)строгое обоснование которого составляет главный результат этого параграфа.Здесь n — целые; функция S 0 (x, h) > 0, а также константы k > 0, xe− , xe+ ,Ω− , Ω+ являются решением задачи для фазы; ε = h26/57 ,4/3ek± = k/Ω± ,а S0,0 (ξ, ek) определена формулойppdef 2S0,0 (ξ, ek) = ξ 3/2 − A−1 ξ(2 ln ξ − 4) + 2A0 ξ + 3ρek 2/3 ξ 1/6 −3−ekπ 2 A−1 ln ξ + δ.Задача для определения входящей в правило квантования (38) функцииS(x, h) (S(x, h) задает фазу ВКБ-разложения) имеет достаточно сложныйвид и приводит к громоздким формулам для решения.Но если ограничиться нахождением чисел λn (h) лишь с точностьюO(n−7/10 ), n → ∞ (главное приближение), то правило квантования упрощается и приводит к следующему уравнению для чисел λ = λn (h):1hZx+x−Z x+pk0E(x)pU (x) dx − 2/3dx+2hU(x)x−Zok 2 P2 k 2 P31 n k03 P1 x+ E(x)p+ 1/3dx − 0 − 0 + P = πn + O(n1/3−1/30 ).
(39)848hU (x)x−Здесь число n ∈ N имеет порядок h−1 , а коэффициенты k0 , Pj (j = 1, 2, 3) ифункция E(x) зависят от U (x) следующим образом:U (x) = λ − V (x),Zx+E(x) =x−ln |x − x0 | 0pdx ,U (x0 )31(40)(41)x+Zk0 = 2x−−1dxpU (x),(42)∞n θ(x − x )θ(x − x)θ(x − x− )E(x− )−+E(x) −−P1 =3/23/203/2−∞U (x)U (x− )(x − x− )oθ(x+ − x)E(x+ )dx,(43)−3/2− U 0 (x+ )(x+ − x)3/2Z ∞n θ(x − x )θ(x − x)θ(x − x− )E(x− )−+P2 =E(x)E(x) −−3/23/203/2−∞U (x)U (x− )(x − x− )oθ(x+ − x)E(x+ )dx,(44)−3/203/2− U (x+ )(x+ − x)Z ∞nθ(x − x− )θ(x+ − x) 2θ(x − x− )E 2 (x− )P3 =E (x) −−3/23/2−∞U (x)U 0 (x− )(x − x− )3/2oθ(x+ − x)E 2 (x+ )−dx,(45)3/203/2− U (x+ )(x+ − x)Zгде(θ(ξ) =1, при ξ > 0,,0, при ξ 6 0.а такжеk0 nb−P =2x+Zx−Zx+x+ZZxpU (x0 )xdx0−b+x−dx0x−x+Zv.p.dx0pdx−(x − x0 ) U (x0 )x−x+Zpv.p.U (x0 )x− odx0pdx ,(x − x0 ) U (x0 )(46)где2/3b∓ = ± U (x∓ )A−1k00±4/3U 0 (x∓ ).(47)Функция A−1 = A−1 (k) в (47), характеризующая влияние решений модельного уравнения (32) на правило квантования, определена формулойdefZ∞A−1 = A−1 (k) =−∞∞kθ(ξ 0 ) o 0G (ξ , η ) dη − √ 0 dξ .2 ξ−∞nZ232000Далее рассмотрим следующую задачу на собственные значения в L2 (R3 )2ε ∆ψ(x) +αZ− a|x| +R3|ψ(x0 )|2 0dx + Λ ψ(x) = 0,|x − x0 |kψkL2 = 1,x ∈ R3 ,(48)(49)где ∆ — оператор Лапласа, ε > 0 — малый параметр, a, α — положительныеконстанты.В §3 для задачи (48), (49) на основе полученных в §2 результатов построена серия асимптотических собственных значений Λ = Λn,m (ε), n → ∞,m → ∞ и соответствующих собственных функций ψ = ψn,m , носителямикоторых по mod O(ε∞ ) являются плоские дискиD = {(z, ρ, ϕ) : z = 0, ρ− 6 ρ 6 ρ+ }.Здесь (z, ρ, ϕ) — цилиндрические координаты в R3 , числа ρ− (ε), ρ+ (ε), 0 <ρ− < ρ+ (точки поворота) определяются в процессе нахождения асимптотики.Подчеркнем, что функции ψn,m заведомо не являются радиально-симметричными.
Хотя подобные локализованные в дисках решения хорошо известны влинейных задачах, для уравнения Хартри их построение является серьезнойпроблемой.Асимптотические решения задачи (48), (49) построены в случае, когдачисло Λ велико и имеет порядок ε−αω , гдеω=2> 0.4 + 5αИменно в этом случае задача (48), (49) приводит к рассмотренному в §1 модельному уравнению (32) (эйри-версия двумерного уравнения полярона), содержащему одновременно как линейное слагаемое ξG, так и интегральнуюнелинейность типа Хартри. Изучаемая в §3 зона Λ является пограничноймежду сильно нелинейной зоной ( где внешний потенциал не влияет на модельную задачу) и зоной слабой нелинейности ( где вообще не будет вкладанелинейности в модельную задачу).Решение (48) будем искать в видеpνψ = eiM ϕ/ε p(ρ, z)/ 2πρ.33(50)Здесьν=6 + 6α> 0,4 + 5αа M = M (ε) имеет порядок 1. В силу 2π-периодичности решения по ϕ константа M должна иметь вид M = mεν , где m — целое.
Поэтому при ε → 0число m также велико.Пусть Λ = λε−ωα , где λ(ε) имеет порядок 1. Тогда после подстановки(50) в (48), (49) и заменыx = ρεω ,g = pε−ω ,y = zεω ,h = εν ,получаем следующую задачу для функции g:n ∂2∂2 M 2h222 α/22− 2 − a(x + y ) + λ + 2 ++h∂x2 ∂y 2x4x+h1/3Z0∞Z ∞oW (x, x , y, y )g (x , y ) dy dx g(x, y) = 0,0−∞∞Z ∞Z0020000(51)g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 = 1.(52)−∞Здесь ядро W выражается через полный эллиптический интеграл первогорода K(κ):020√2 ρρ0W (ρ, ρ , z, z ) = pK p,π (z − z 0 )2 + (ρ + ρ0 )2(z − z 0 )2 + (ρ + ρ0 )2h → 0. Наконец, по соображениям симметрии относительно плоскости y = 0дополним (51), (52) условиемZ0∞Z ∞y 0 g 2 (x0 , y 0 ) dy 0 dx0 = 0.(53)−∞В области между точками поворота xe− , xe+ для построения асимптотических решений уравнения (51) используется вариант метода ВКБ.
Вблизи жеот точек (ex− , 0), (ex+ , 0) асимптотика выражается через решения модельногоуравнения. Именно в том случае, когда в (51) перед нелинейностью стоитмножитель h1/3 , модельным является уравнение (32).34Зафиксируем число M . Для нахождения дискретной серии асимптотических собственных значений задачи (51) – (53) λ = λn (h) в §3 записан аналогправила квантования типа Бора–Зоммерфельда (38). В это правило входитопределяющая фазу ВКБ-разложения функция S(x, h), задача для которойполучена в §3 четвертой главы диссертации и имеет достаточно сложный вид.Ее решение также приводит к весьма громоздким формулам. Ограничимся нахождением λn (h) = O(1) лишь с точностью O(n−7/10 ) при h → 0,где n имеет порядок h−1 ( главное приближение).
Тогда правило квантования(38) упростится и приведет к более простому уравнению1hZx+x−ZZ x+p1 n k03 P1 x+ Ω(x) dxk0Ω(x) dxpp+ 1/3−U (x) dx + 2/382hhU(x)U(x)x−x−ok02 P2 k02 P3−−+ P = πn + O(h−1/3+1/30 ), h → 0.(54)48для чисел λ = λn (h). Оно получается из (39) после замены ln |x − x0 | на 2√xx0 1K.−π(x + x0 )x + x0Здесь U (x), k0 определены формулами (40), (42). Функция Ω(x) и константыPj (j=1, 2, 3), P в (54) определяются аналогично (41), (43) – (46). ( Точныеформулы для Ω(x), Pj (j=1, 2, 3), P приведены в §3.) Отметим, что (54) ужеучитывает влияние решений модельного уравнения (32) на правило квантования, а, значит, и на спектр задачи.В заключении приведены основные результаты работы.Основные результаты работыВ диссертационной работе рассмотрена задача о построении в квазиклассическом приближении нерадиально–симметричных асимптотическихсобственных функций для уравнений типа Хартри.
Был предложен общийметод нахождения серий асимптотических собственных значений значенийвблизи границ спектральных кластеров, которые образуются около собственных значений невозмущенного оператора. Он основан на новом интегральномпредставлении. С помощью этого метода в диссертационной работе был полу-35чен ряд новых научных результатов об асимптотике спектра для операторовтипа Хартри, а также ряда линейных операторов.В первой главе диссертации были найдены асимптотики спектральныхсерий для возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границспектральных кластеров и для атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров.
Построены соответствующие асимптотические собственные функции.Во второй главе диссертации найдены асимптотические собственные значения и асимптотические собственные функции для уравнений типа Хартривблизи границ спектральных кластеров в случае, когда потенциал самодействия является многочленом от квадрата расстояния.В третьей главе диссертации найдены асимптотические собственные значения и асимптотические собственные функции вблизи верхних границ спектральных кластеров для оператора Хартри в R3 с кулоновским взаимодействием и для резонансного осциллятора в R2 с возмущающим потенциаломХартри.Наконец, в четвертой главе диссертации найдены локализованые вблизи отрезков в R2 и вблизи плоских дисков в R3 асимптотические собственные функции уравнений Хартри.
Выведены правила квантования типа БораЗоммерфельда, из которых определяются асимптотические собственные значения.36Работы автора по теме диссертацииРаботы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научныхжурналах и изданиях, рекомендованных ВАК:1. Pereskokov A. Asymptotics of the Hartry–type operator spectrum nearthe lower boundaries of spectral clusters / A. Pereskokov // ApplicaibleAnalysis. — 2016. — Vol. 95, issue 7. — Pp. 1560–1569. — 1,1 п.л.2. Перескоков А. В.
Квазиклассическая асимптотика спектра двумерногооператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров /А. В. Перескоков // Теоретическая и математическая физика. — 2016.— т. 187, № 1. — С. 74–87. — 1,6 п.л.3. Перескоков А. В. Асимптотика спектра оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров. Асимптотические решения, локализованные вблизи окружности / А. В. Перескоков // Теоретическая иматематическая физика. — 2015. — т.
183, № 1. — С. 78–89. — 1,3 п.л.4. Перескоков А. В. Квазиклассическая асимптотика спектра операторатипа Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров / А. В.Перескоков // Теоретическая и математическая физика. — 2014. — т.178, № 1. — С. 88–106. — 2,2 п.л.5. Перескоков А. В. Об асимптотике спектра оператора типа Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров / А. В. Перескоков // Вестник МЭИ.— 2013. — № 6.
— С. 180–190. — 1,2 п.л.6. Перескоков А. В. Асимптотика спектра и квантовых средних возмущенного резонансного осциллятора вблизи границ спектральных кластеров/ А. В. Перескоков // Известия РАН. Серия математическая. — 2013. —т. 77, № 1. — С. 165–210. — 5,6 п.л.7. Pereskokov A. V. Asymptotics of the spectrum of the hydrogen atom ina magnetic field near the lower boundaries of spectral clusters / A. V.Pereskokov // Transactions of the Moscow Mathematical Society. — 2012.— Vol. 73. — Pp.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
