Автореферат (1136177), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Нижедля оператора Хартри в R3 будет изложен метод построения нерадиальносимметричных асимптотических собственных функций, основанный на решении задачи на собственные значения для нелинейного интегрального уравненияZZ(6 ln 2 − 4πE1 )g0 =Ω(τ, s, τ 00 , s00 )ln((τ 0 − τ 00 )2 + (s0 − s00 )2 )×R2R2× | g0 (τ 0 , s0 ) |2 dτ 0 ds0 g0 (τ 00 , s00 )dτ 00 ds00 ,23Z| g0 (τ, s) |2 dτ ds = 1.R2Здесь функцияΩ(τ, s, τ 00 , s00 ) =2=e−(s+τ 2 +(s00 )2 +(τ 00 )2 )/22p πpXHj (s)Hj (s00 )Hp−j (τ )Hp−j (τ 00 )j!(p − j)!j=0,а Hj (s) - полиномы Эрмита. Найденные решения соответствуют асимптотическим собственным значениям, расположеным вблизи верхних границ спектральных кластеров.
В случае оператора Хартри в R2 используется разделение переменных.В §1 рассмотривается задача на собственные значения для нелинейногооператора Хартри с кулоновским взаимодействием в L2 (R3 )1+ε(−∆ −|q|ZR3| ψ(q 0 ) |2 0dq )ψ = λψ,| q − q0 |kψkL2 (R3 ) = 1,(25)(26)где ∆ — оператор Лапласа, ε > 0 — малый параметр.Хорошо известно, что при ε = 0 собственные значения λ = λn (ε) задачи(25), (26) равны1λn (0) = − 2 .4nЗдесь n = 1, 2, . .
. — главное квантовое число. Для задачи (25), (26) имеютсятеоремы существования, в частности, для нижней точки спектра, отвечающему основному состоянию 9, 10 . В работе 34 при n = 2 доказано существованиесостояний, не обладающих сферической симметрией, а также найдено пятьветвей собственных значений, выходящих из невозмущенной точки спектра.Рассмотрим случай, когда квантовое число n, задающее невозмущенноесобственное значение, велико ( для определенности будем считать, что λ имеет порядок ε). Пусть p = n − m − 1, где m — магнитное квантовое число.
В §134Карасев М.В., Осипов Ю.В. Собственные функции уравнения Хартри-Фока, не обладающие сферической симметрией // Теоретическая и математическая физика. — 1982.— Т. 52, №2. — с. 263–269.24для каждого p = 0, 1, 2, . . . найдены асимптотические собственные значения(p)λn,i (ε)(p)E1,iln n+4πn2n21=− 2 +ε4n!+Oε ln n,n5/2n → ∞,(27)где i = 0, .
. . , Ip , которые расположены вблизи верхних границ спектральныхкластеров, образующихся вокруг уровней энергии невозмущенного оператора(p)(при ε = 0 ). В частности, при p = 0, 1, 2 числа E1,i представимы в виде(p)E1,i =14π5 ln 2 + γ −(p)σi128!.Здесь γ ≈ 0.57 — постоянная Эйлера. При p = 0 существует одно значение(0)σ0 = 0,при p = 1 — два значения(1)(1)σ0 = 80,σ1 = 96,при p = 2 — шесть значений(2)σ0 = 123 +19 (2)(2), σ1 = 142, σ2 = 144,39115(2)(2), σ4 = 145 − , σ5 = 147 + .33819Соответствующие (27) асимптотические собственные функции локализованы вблизи окружности Γ в R3 , на которой кулоновское ядро самодействия в (25) имеет логарифмическую особенность.
Поэтому поправка в фор(p)муле (27) содержит ln n, а числа λn,i (ε) расположены вблизи верхних границкластеров.В §1 показано, что главный член асимптотического разложения вблизиокружности, где локализовано решение, оказывается решением другой классической задачи квантовой механики — задачи о двумерном осцилляторе:(2)σ3 = 145 −(p)Lg0,i (τ, s) = 0,(p)kg0,i kL2 (R2 ) = 1.25(28)Здесь оператор1L=−2∂2∂2+∂s2 ∂τ 2s2 + τ 2+− p − 1.2(p)В результате, функция g0,i представима в виде линейной комбинации базисных собственных функций задачи (28), отвечающих собственному значениюp + 1. Коэффициенты этого разложения находятся из системы нелинейных(p)уравнений одновременно с нахождением чисел E1,i .
Отметим, что даннаясистема выводится из условий разрешимости уравнений для следующих приближений.Наконец, в §2 рассмотривается следующая задача на собственные значения для нелинейного оператора Хартри в L2 (R2 )Z(H − εln |q − q 0 | | ψ(q 0 ) |2 dq 0 )ψ = λψ,(29)R2kψkL2 (R2 ) = 1,(30)где1H=−2∂2∂2+∂q12 ∂q22q12 + q22+2— двумерный осциллятор, ε > 0 — малый параметр. Задача (29), (30) такжеотносится к классу резонансных. Кроме того, потенциал самодействия в (29)имеет логарифмическую особенность.Хорошо известно, что при ε = 0 собственные значения λ = λ(ε) задачи (29), (30) имеют вид λ(0) = n + 1, n = 0, 1, . . . .
Рассмотрим случай,когда число n, задающее невозмущенное собственное значение, велико ( дляопределенности будем считать, что λ имеет порядок ε−1 ).Для построения асимптотических решений воспользуемся тем, что в полярных координатах уравнение (29) допускает разделение переменных. В §2для каждого k = 0, 1, 2, . . .
найдено собственное значение2εελn,k (ε) = n + 1 − ln n − √ δk + O2πn261n2,n → ∞,(31)где число δ0 = 1/4 , а при k ≥ 1 числа δk задаются формулойk−1X11j 2 (2k − 2j − 2)! 2jδk = +2j!(C(−1)k−j−1 +k)2k+14 k! 2(k − j − 1)!j=0+(2j + 2)!(2k − 2j − 2)! .k! 22k (j + 1)!(k − j − 1)!В частности, при k = 1, 2, 3, 4 числа δk равныδ1 =7,16δ2 =145,256δ3 =687,1024δ4 =49881.65536Эти числа даже при небольших значениях k хорошо приближаются с помощью асимптотической формулыδk ∼2π 3/2r1k+ ,2k → ∞,которая уже при k = 0 позволяет вычислить δ0 с абсолютной погрешностью,не превосходящей 0.004.В §2 доказано, что асимптотика (31) описывает спектр оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров, а соответствующие асимптотические собственные функции локализованы вблизи окружностей.Если сравнить (31) с формулами (19), (21) для асимптотики спектрадвумерного оператора типа Хартри в случае гладкого ядра самодействия,то расщепление спектра в (31) происходит в члене более низкого порядка,причем зависимость поправки от числа k в случае негладкого потенциаласамодействия становится нелинейной.Четвертая глава диссертации посвящена нахождению сосредоточенных вблизи маломерных подмногообразий асимптотических решений уравнений Хартри, для построения которых используются решения модельногоуравнения∂ 2G ∂ 2G ++ ξ−∂ξ 2∂η 2ZZ∞h (ξ − ξ 0 )2 + (η − η 0 )2 i2 0 000lnG (ξ , η ) dξ dη G =(ξ 0 )2−∞= 0,27(32)т.е.
эйри-версия двумерного уравнения полярона. При этом возникают существенные отличия от обычных ВКБ-приближений 14 .Первое отличие состоит в том, что по нормали к диску асимптотическаясобственная функция уже не является простым гауссовским пакетом, т.е. незадается уравнением осциллятора как в обычной ВКБ-версии, а определяетсярешением следующей модельной задачи:d2 t(τ ) − πdτ 2ZZ∞0 200|τ − τ |t (τ ) dτ + ρ t(τ ) = 0,(33)−∞∞Z2∞t (τ ) dτ = 1,−∞τ t2 (τ ) dτ = 0.−∞Здесь ρ – константа.
Дифференциальное уравнение (33) описывает одномерный полярон.Второе отличие состоит в том, что вблизи каустик (точек поворота) модельным уравнением для (1), (2) служит не обычное уравнение Эйри, а егонелинейная модификация (32) с дополнительным логарифмическим ядромвзаимодействия. Именно эти два нелинейных модельных уравнения определяют характер убывания асимптотической собственной функции, соответственно, либо при удалениии от диска по нормали, либо в плоскости дискапри удалении от его границы.На самом диске асимптотическое решение в главном задается обычнымиВКБ-формулами, но поправки к главной части уже определяются нелинейным взаимодействием с поляроном по нормали и с эйри-поляроном вблизиточек поворота.
В результате, правило квантования, определяющее асимптотику собственных значений λ, имеет вид весьма далекий от стандартногоправила Бора-Зоммерфельда, и содержит разложения по дробным степенямпараметра ~.Эти фундаментальные факты, доказательства которых приведено в четвертой главе диссертации, являются новыми для теории квазиклассического приближения и не имеют аналога ни для гладкой "некулоновской"версииуравнений Хартри, ни для обычного ВКБ-приближения над маломернымподмногообразием.Четвертая глава состоит из трех параграфов.
В §1 будет рассмотреномодельное уравнение (32). Здесь уже проявляются все главные аналитические28трудности. Нас интересует асимптотика решений (32) G = G(ξ, η), которыеэкспоненциально убывают при |η| → ∞, а также при ξ → −∞. Такие решения можно рассматривать как новые, требующие отдельного изучения специальные функции, в чем-то аналогичные функции Эйри. В §1 четвертойглавы найдены их асимптотические разложения при ξ → ±∞. В частности,приξ → +∞,η = O(ξ 1/6 (ln ξ)2/3 )асимптотика эйри-полярона имеет видG = B cos S + I sin S.Здесь B и I – асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд∂ 2B − π∂η 2Z∞∂I20200|η − η | B (ξ, η ) + I (ξ, η ) dη + L(ξ) B + 2S 0 +∂ξ−∞0+S 00 I = 0,∂ 2I − π∂η 2Z∞∂B20200|η − η | B (ξ, η ) + I (ξ, η ) dη + L(ξ) I − 2S 0−∂ξ−∞0−S 00 B = 0,Z ∞22B (ξ, η) + I (ξ, η) dη = k/S 0 (ξ),−∞Z∞22η B (ξ, η) + I (ξ, η) dη = 0,−∞где k – константа, а фаза S = S(ξ) имеет разложениеpp2S(ξ) = ξ 3/2 − A−1 ξ(2ln ξ − 4) + 2A0 ξ + 3ρk 2/3 ξ 1/6 − kπ 2 A−1 ln ξ+3√σ9 3 πρk 5/3 A2−1+δ −++ √ [(ln ξ)2 + 4 ln ξ + 8]−2/31/61/310 ξ18k ξξh 1 k 2 π 2 i A−12 1√ (2ln ξ + 4) − (D − A0 ) √ + O 2/3 , ξ → +∞.
(34)− A0 +2ξξξФормулы для входящих в (34) констант приведены в §1 четвертой главы.Позже (в §2 и §3) решения уравнения (32) будут использованы для построенияасимптотических собственных функций задачи (1), (2).29В §2 построены вещественные асимптотические решения g = g(x, y)следующей задачи на собственные значения в L2 (R2 )2h1/3ZZ∞∂ 2g n+ 2 + − V (x) − V1 (x, y 2 )−2∂x∂y ∂ 2goln[(x − x ) + (y − y ) ]g (x , y ) dx dy + λ g = 0,0 2−h0 220000(35)−∞ZZZZ∞g 2 (x, y) dydx = 1,(36)yg 2 (x, y) dydx = 0.(37)−∞∞−∞Здесь h → 0 — малый параметр, гладкая функция V (x) имеет вид потенциальной ямы, а гладкая функция V1 (x, z) удовлетворяет условию V1 (x, 0) ≡ 0и растет на бесконечности не быстрее степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
