Автореферат (1136177), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Она отвечает точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста, ассоциированной с оператором Хартри.Обычная конструкция асимптотических решений вблизи точек покояили вблизи устойчивых замкнутых траекторий (маломерных торов) в теории16Черных С.И.
Квазиклассическая частица в одномерном самосогласованном поле // Теоретическаяи математическая физика. — 1982.— Т. 52, №3. — с. 491–494.17Карасев М.В., Перескоков А.В. Логарифмические поправки в правиле квантования. Спектр полярона // Теоретическая и математическая физика. — 1993.— Т.
97, №1. — с. 78–93.18Белов В.В., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю. Квазиклассические спектральные серии оператора типаХартри, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона – Эренфеста // Теоретическая иматематическая физика. — 2007.— Т. 150, №1. — с. 26–40.6квазиклассического приближения всегда связывалась с гауссовыми пакетами. Общая теория такого типа была развита в работах В.М. Бабича, В.С.Булдырева и других математиков петербургской школы 19 , а также в работах школы В.П. Маслова 14, 20, 21 , которые имели многочисленное развитие иприложения ( см., например, 22, 23, 24 ). Но во всех этих работах рассматривался только случай отсутствия частотного резонанса (у системы в вариацияхнад точкой покоя или системы в нормальном подрасслоении над маломерныминвариантным тором).Резонансный случай начал систематически изучаться в серии работ М.В.Карасева, начиная с 25 , где обнаружилось, что здесь требуется принципиально иная конструкция асимптотики, которая использует когерентные состояния некоммутативной алгебры симметрий главной резонансной части гамильтониана.
Появились новые модельные уравнения в неприводимых представлениях алгебр симметрий, которые реализуются как дифференциальныеуравнения в пространствах полиномов.На высоких (возбужденных) уровнях эти модельные уравнения имеюточень простую асимптотику решения. Но для уровней, близких к границеспектральных кластеров, эта простая асимптотика уже не работает.
Границам спектральных кластеров энергий соответствуют маломерные инвариантные подмногообразия в фазовом пространстве исходной задачи (замкнутыетраектории или торы). Таким образом, для асимптотических решений, локализованных на подобных маломерных подмногообразиях, аналитическоепредставление решений оставалось не исследованным вопросом. Принципиальная трудность резонансного случая здесь до конца не была преодолена.19Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в дифракции коротких волн. Метод эталонныхзадач.
М.:Наука. — 1972.20Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Некоторые приложения теории комплексного ростка к уравнениямс малым параметром // т. 5. — М.:ВИНИТИ, 1975. — с. 141–211. — (Итоги науки и техники. СерияСовременные проблемы математики.)21Belov V.V., Olivé V.M., Volkova J.L.
The Zeeman effect for the ’anistropic hydrogen atom’ in the complexWKB approximation: I. Quantization of closed orbits for the Pauli operator with spin-orbit interaction //Journal of physics A: Mathematical and general. — 1995. — Vol. 28. — Pp. 5799-5810.22Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.:Наука. — 1981.23Hagedorn G.A. Semiclassical quantum mechanics.
I. The ~ → 0 limit for coherent states //Communication in Mathematical Physics. — 1980. — Vol. 71, №1. — Pp. 77–93.24Ralston J.V. On the construction of quasimodes associated with stable periodic orbits // Communicationin Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 51, №3. — Pp. 219–242.25Karasev M.V. Birkhoff resonances and quantum ray method // Proc. Intern. Seminar ”Days of Diffraction- 2004 ”. — St. Petersburg University and Steklov Math. Institute, St. Petersburg, 2004. — Pp.
114–126.7В докладе 26 , и в последовавших затем работах автора [6–8, 4], былпредложен общий метод нахождения асимптотики спектра и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров, которыеобразуются около собственных значений главной части оператора в случаерезонанса ее частот.А точнее, после применения квантового метода усреднения и когерентного преобразования по схеме 27, 28 в модельной задаче на собственные значенияв пространстве P` многочленов степени не выше ` (где число ` 1 ) былаиспользована новая интегральная конструкция асимптотических решений,которые соответствуют границе спектрального кластера.
Эта конструкцияоснована на следующих соображениях.Наряду с пространством P` рассмотрим дуальное ему гильбертово пространство P̃` , состоящее из мероморфных распределений на C/{0} вида`Xg̃n.g̃(z) =n+1zn=0В случае коммутационных соотношений Гейзенберга подобные распределения, а также преобразования между P` и P̃` , ввел Р.А.М.Дирак в лекциях 29 .Однако реальное применение мероморфные распределения получили лишьпосле появления работы М.В.Карасева и Е.М.Новиковой 30 , где помимо алгебр Ли были был рассмотрены также алгебры с нелинейными коммутационными соотношениями.26Перескоков А.В. Асимптотика вблизи границ спектральных кластеров // Международная конференция, посвященная памяти И. Г.
Петровского( 23 – е совместное заседание ММО и семинара им.И. Г. Петровского): Тезисы докладов. — М.:Издательство МГУ, 2011.— с. 260–261.27Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование // Успехи математических наук. — 1984.— Т. 39, №6. — с. 115–173.28Карасев М.В., Новикова Е.М. Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле // Теоретическая и математическая физика.— 1996.— Т. 108, №3. — с. 339–387.29Dirac P.A.M.
Quantum electrodynamics // Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies,Ser. A. — 1943. — Vol. 1. — Pp. 1–36.30Karasev M.V., Novikova E.M. Non-Lie permutation relations, coherent states, and quantum embedding //Coherent Transform, Quantization, and Poisson Geometry. Vol. 187 — Providence, RI: American MathematicalSociety, 1998. — Pp. 1–202. —(American Mathematical Society Translations Ser. 2)8Пусть двойственность между пространствами P̃` и P` задается с помощью оператораI1K : P̃` → P` ,(Kg̃) (w) =K(w, z)g̃(z)dz,2πi γаK−1: P` → P̃` ,1K g (z) = −2πi−1IL̃(w, z)g(w)dwγ– обратное отображение. Здесь γ - цикл вокруг нуля, который ориентирован против часовой стрелки, а K(w, z) и L̃(w, z) – воспроизводящее ядро имероморфное воспроизводящее ядро соответственно.
Отметим, что в случаепространства полиномов, на котором реализуется `-ое неприводимое представление алгебры вращений so(3), эти ядра имеют видK(w, z) = (1 + wz)` ,L̃(w, z) =`Xn!(` − n)!n=0`!(wz)n+1.Обозначим через G(u, w) ядро суперпозиции операторов K−1 и K. Дляэтого ядра в случае алгебры so(3), а также и для всех рассмотренных в 30алгебр, справедлива формулаG(u, w) =u`+1 − w`+1.u`+1 (u − w)В пространстве P` оно определяет тождественный оператор, а на множестве Jантиголоморфных в окрестности нуля функций соответствующий операторявляется проектором на пространство P` .
Поэтому решение задачи будемискать в видеI1G(u, z)p(u)du,(6)Φ(z) = −2πi γгде γ - цикл вокруг точки u = 0, а p ∈ J является асимптотическим решениемнекоторой многоточечной спектральной задачи, из которой, помимо p, определяется также поправка в спектральной серии. Этот общий метод изложенв §1 первой главы диссертации.9Подчеркнем ключевую роль интегрального представления (6) при построении асимптотических собственных функций в случае линейных уравнений, а также уравнений типа Хартри с гладкими нотенциалами самодействия.Однако в случае уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия представление (6) оказывается неприменимым.
Методы нахожденияасимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров для таких уравнений, разработанные в [2, 3], излагаются в третьейглаве диссертации. Здесь представлены методы построения асимптотическихрешений, локализованных вблизи маломерных подмногообразий, для уравнений Хартри, играющих важную роль в квантовых и волновых нелинейныхзадачах.Изучение квазиклассической асимптотики спектра, а также разработкаметодов построения нерадиально-симметричных асимптотических собственных функций для операторов типа Хартри было начато в середине 1970-хгодов В.П.
Масловым и М.В. Карасевым 11, 12, 13, 14 . Эта задача оказаласьнамного сложнее по сравнения с линейной теорией. За последующие годы вработах автора и в его совместных работах [11–13] удалось существенно, а внекоторых задачах кардинально, продвинуться в теории квазиклассического приближения для такого типа уравнений.
В частности, удалось построитьрешения, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий ( например,вблизи отрезков в R2 и плоских дисков в R3 ).Цели и задачи диссертацииЦелью диссертации является разработка новых квазиклассических методов решения спектральных задач в ситуациях резонанса частот старшейчасти гамильтониана или сингулярности потенциала, применимых как длялинейных, так и для нелинейных уравнений типа Хартри в случаях, когдаасимптотическое решение локализовано вблизи маломерного подмногообразия. Одной из главных задач является построение асимптотики спектра иасимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров в случае резонанса частот невозмущенного гамильтониана типа Шредингера или типа Хартри с гладким потенциалом самодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
