Диссертация (1136178), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

 ðåçóëüòàòå, ñíîâà ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (1.131). Ëåììà81Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþz, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðèγ1. Àíà-ëîãè÷íî (1.133) íàõîäèì, ÷òîz `+1Φ(z) = −2πiIγ1KB(u)du z `+1ΦW−−2πiu`+1 (u − z)z `+1−2πiÈíòåãðàëû ïî êîíòóðàìγ∞Iγ̃èγ̃Iγ∞KB(u)duΦW−−u`+1 (u − z)KBΦW(u)du−.u`+1 (u − z)(1.135)â (1.135) áûëè èçó÷åíû âûøå ïðèäîêàçàòåëüñòâå ëåììû 1.18., à èíòåãðàë ïî êîíòóðóγ1âû÷èñëÿåòñÿñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîΦ(z) = p(z) + N (z),ãäåp(z), N (z)(1.136)îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (1.122), (1.132).Êàê ñëåäóåò èç (1.131), (1.136) ôóíêöèÿìåæäó ïîëèíîìîìΦ(z)N (z)ðàâíà ðàçíîñòèè àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì ìíîãîòî÷å÷-íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ âõîäÿùåé â (1.132)ôóíêöèèKBΦW(z)−γ+,− , êîòîðûå ïîòðåáóþòñÿ äàëååN (z). Ãëàâíûé ÷ëåí ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿíà êîíòóðåïðè èçó÷åíèè àñèìïòîòèêèKBΦW−,0 (z) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.125). Íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì äîêàçûâàåòñÿËåììà 1.19.Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî1d W KBΦ−,0 (z) =KBΦW−,0 (z) dz√−a 1+~ 22z 3 + bz 2 − 4z − b−R(z)#pb2 + 4b + 6(z − 1) Λ(z)z 2 + (1 + 3γ/2)z − γ/2+−R(z)(z − 1)Λ(z)p2(k + 1/2) 1 + γ/2p+,(1.137)(z − 1) Λ(z)ãäå R(z), Λ(z) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè(1.40), (1.73).Ðàâåíñòâî (1.137) áóäåò èñïîëüçîâàíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé ëåììû.82Ëåììà 1.20.Ôóíêöèÿ N (z) ïðè z ∈/ [z − , z + ], ~ → 0 ïðåäñòàâèìàâ âèäåN (z) =z`+1Zz +π√c∗ Π(x, ~)sin(Θ(x,~)+ϕ)dx(1+O(~)),∗x`+1 (x − z)(1.138)z−ãäå2Π(x, ~) =√√(a+~/2)(1+b/ 6)/(2~)√| x − 6x + 1 |p√1 − x 4 (x − z − )(z + − x)√(a+~/2)(1−b/ 6)/(2~)×1×2(# "X1b(z 1+j + 1 + γ)x + z 1+j (z 2−j + 1 + γ)p1+ √×+arcsin6(x−z)γ(γ+2)1+jj=0"#) X1b(z 3+j + 1 + γ)x + z 3+j (z 4−j + 1 + γ)p+ 1− √arcsin+6(x−z)γ(γ+2)3+jj=0r12+γx+1arcsin,+ k+2γ x−1×| x2 +6x + 1 |,a 1+Θ(x, ~) = −~ 2c∗ = c− (4γ(γ + 2))(`−k)/2+1/4 (4 + 2γ)k/2+1/4 ,πkπ(` + 1)bϕ∗ = −1+ √−.426Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç(1.139)(1.140)KBW KBΦW−,0 (x+i0) è Φ−,0 (x−i0)çíà÷åíèÿ ôóíêöèè (1.125) íà âåðõíåì è íèæíåì áåðåãàõ ðàçðåçà,x ∈ [z − , z + ]. ÏóñòüKBs1 (x)/~ i(s2 (x)/~+ϕ(x))ΦWe.−,0 (x + i0) = t(x)eÏîñêîëüêóz `+1−2πiIγ+,−(1.141)KBW KBΦW−,0 (x−i0) = Φ−,0 (x + i0), òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîKBΦW−,0 (u)duz `+1=πu`+1 (u − z)Zz +z−t(x)es1 (x)/~ sin (s2 (x)/~ + ϕ(x))dx.x`+1 (x − z)83Èç (1.137) âûòåêàåò, ÷òî ïðèx ∈ (z − , z + )s01 (x) t0 (x)a 1 2x3 + bx2 − 4x − b x2 + (1 + 3γ/2)x − γ/2+=( + )−.~t(x)~ 2R(x)(x − 1)Λ(x)(1.142)Ðàçëàãàÿ (1.142) íà ïðîñòåéøèå äðîáè è çàòåì èíòåãðèðóÿ èõ, íàõîäèì, ÷òît(x)es1 (x)/~ = c∗ Π(x, ~).Çäåñüc∗ êîíñòàíòà.Äàëåå â ñèëó (1.137) íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçàp√ 2b+4b+6(x−1)−Λ(x)1s02 (x)a+ ϕ0 (x) = −+−~~ 2R(x)p2(k + 1/2) 1 + γ/2p−.(x − 1) −Λ(x)(1.143)Âû÷èñëèì èíòåãðàë îò ïðàâîé ÷àñòè (1.143).

Ïðèx ∈ (z − , z + )ñïðà-âåäëèâî ðàâåíñòâîZãäå1dxp= −√arcsin4 + 2γ(x − 1) −Λ(x)Cr2+γx+1γ x−1+ C, ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. ÈíòåãðàëZp(x − 1) −Λ(x)dxR(x)íàõîäèòñÿ àíàëîãè÷íî (1.86). Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿôîðìóëà [21]Z ppX(x)b2ax + b √bx + 2cdx = X(x)− √arcsin √− −c arcsin √+x2 −a−4x −4+C.X(x) = ax2 + bx + c, ïðè÷åì c < 0, a < 0, 4 = 4ac − b2 < 0.èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî s2 (x)/~ + ϕ(x) = Θ(x, ~) + ϕ∗ , ãäå ϕ∗ ÇäåñüÂêîíñòàíòà.84Çíà÷åíèÿ êîíñòàíòc∗ , ϕ∗îïðåäåëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ñðàâíåíèÿàñèìïòîòèê ôóíêöèé (1.125), (1.141) âáëèçèz+. ñèëó ðàâåíñòâ(z i+j + 1 + γ)z ± + z i+j (z i−j+1 + 1 + γ)p= ∓1,(z ± − z i+j ) γ(γ + 2)ri = 1, 3; j = 0, 1;2 + γ z± + 1= ∓1,γ z± − 1ïðèõîäèì ê ôîðìóëàì (1.139), (1.140).

Ëåììà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî åñëèz ∈ (z − , z + ), òî ïðè ðàçëîæåíèè Φ(z) òàêæåâîçíèêàåò èíòåãðàë (1.138), êîòîðûé áåðåòñÿ óæå â ñìûñëå ãëàâíîãîçíà÷åíèÿ.Èçó÷èì ïîâåäåíèå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (1.138). Îíà ñîäåðæèò ýêñïîíåíòóeaS∗ (x)/~ ,ãäå√b1b121 + √ ln | x − 6x + 1 | +1− √ ×S∗ (x) =2266× ln | x2 +Ëåììà 1.21.√6x + 1 | − 2 ln | x |.(1.144)Ôóíêöèÿ S∗ (x) äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íàîòðåçêå [z − , z + ] â òî÷êå z + .  ýòîé òî÷êåS∗ (z + ) = ln (| z + |−1 (6 − 4(1 + γ)2 )!b/√6 1/2√√3 + 2(1 + γ) ).√√3 − 2(1 + γ)Äîêàçàòåëüñòâî.

Íàéäåì èíòåðâàëû ìîíîòîííîñòèS∗ (x). Äèô-ôåðåíöèðóÿ (1.144), èìååì:S∗0 (x) =ãäåM (x),xR(x)(1.145)M (x) = bx3 + 4x2 − bx − 2.Òàê êàê îñîáûå òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (1.76), òîïðèx ∈ [z − , z + ]çíàìåíàòåëü äðîáè â (1.145) áîëüøå íóëÿ.

Ïîýòîìó85äîñòàòî÷íî èçó÷èòü ðàñïîëîæåíèå êîðíåé óðàâíåíèÿM (x) = 0.Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ(1.146)M (1) = 2, M (0) = −2, M (−1) = 2,√3M (z 3 ) = 4(b− 6)(z 3 + √ ) > 0,2 2√√3M (z 4 ) = 4(b− 6)(z 4 + √ ) < 02 2√x1 , x2 , x3 ëåæàò íà ñëåäóþùèõ èíòåðâàëàõ: x1 ∈ (z 4 , −1), x2 ∈ (z 3 , 0), x3 ∈ (0, 1). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ M (x) íà [z − , z + ] ìîæåò èìåòü ëèøü îäèí íóëü.0Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ôóíêöèè S∗ (x).

Òàê êàê S∗ (−1) >0, òî S∗ (x) ëèáî âîçðàñòàåò íà âñåì îòðåçêå [z − , z + ], ëèáî ñíà÷àëàïîëó÷àåì, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ (1.146)óáûâàåò, à çàòåì âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó åå ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íàêîíöå îòðåçêà. Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõS∗ (z ± ) = ln (| z ± |−1 (6 − 4(1 + γ)2 )z±, ïîëó÷àåì!b/√6 1/2√√3 + 2(1 + γ) ).√√3 − 2(1 + γ)(1.147)Òàê êàêz+.| z + |<| z − |, òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ â òî÷êåËåììà äîêàçàíà.Íàéäåì, íàêîíåö, àñèìïòîòèêó ôóíêöèèN (z). Ðàññìîòðèì èí-òåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.138). Èç ëåììû 1.21. âûòåêàåò, ÷òî îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó ýòîãî èíòåãðàëà âíîñèò ìàëàÿ îêðåñòíîñòüòî÷êè ïîâîðîòàËåììà 1.22.z+.ÑïðàâåäëèâàÏðè` → ∞,z∈/ [z − , z + ],`+1 b1( √ − 1) + ∈/Z446èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî(`+1)/4 `+1N (z) =c − T cz +z`3/4 (z − z + )√(1 + O( ~) + O(~)).z − z+(1.148)86Çäåñüpp√ √ √√cz + = 32( 3 + 2) 2b/ 3 γ 2 (γ + 2)2 ( 1 + γ/2 + γ/2)4 ×√√√√1+b/ 61−b/ 6×(1 + γ( 6 − 2))(1 − γ( 6 + 2)), T = (−1)`+k+1 ×√Γ(3/4) sin (π(` + 1)(b/ 6 − 1)/4 + π/4) | z + |2 (1 − 2γ(γ + 2))3/4×,π (M (z + ))3/4 γ k/2+3/8 (γ + 2)3/8 2k/2−3/4Γ(x) ãàììà ôóíêöèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàçëàãàÿ ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â (1.138)ïî ñòåïåíÿìN (z) =z − z+,c∗ (|íàõîäèì, ÷òî√z 2+√1+b/ 6− 6z + + 1 |√√π 1 − z+ 4 z+ − z−| z 2+ +(−1)`+1√√1−b/ 6 (`+1)/46z + + 1 |)| z + |`+1 (z + − z − )×Z z+π1 π1aS∗0 (z + )(x−z + )/~√× sin ((` + 1) − (k + ) + ϕ∗ )edx×422 2z+ − x−∞√~×z `+1 (1 + O( ~) + O()),(1.149)z − z+ãäåS∗0 (z + ) =M (z + )> 0.z + R(z + )Èíòåãðàë â (1.149) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå∞Zαxβ−1 e−λx dx = λ−β/α Γ (β/α) ,[87]Reλ > 0,0â êîòîðîé ïàðàìåòðûα = 1, β = 3/4.Ó÷èòûâàÿ (1.139), (1.140),ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.148).

Ëåììà äîêàçàíà.2.9.Ñðàâíåíèå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ ñ àñèìïòîòèêîéÌíîãî÷ëåíN (z)Φ(z) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû (1.131).Îöåíèì , êàêîé âêëàä â ýòó ñóììó äàåò ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå (1.124), àêàêîé ôóíêöèÿ|z|âåëèêî.N (z). Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå87Èç ôîðìóëû (1.148) âûòåêàåò, ÷òî ïðèN (z) =z → ∞, ` → ∞√c− T1(`+1)/4 `(cz(1+O()+O(~)).)zz`3/4 +Ñðàâíèâàÿ (1.150) ñ (1.127), ïîëó÷àåì, ÷òî åñëèpTN (z)(2+=4 + 2γ)k+1/2WKB3/4Φ− (z) `cz +c∞(1.150)| z | `, ` → ∞,(`+1)/4(1+O(òî√1)+O( ~)).~z(1.151)Ïîâåäåíèå ïðàâîé ÷àñòè (1.151) ïðè` → ∞ îïðåäåëÿåòñÿ îòíî-øåíèåì√2(b+√6)/√3 q√1 + γ( 6 − 2) cz +q(γ) = 4γ 2 ×√c∞1 + 1 + γ( 6 − 2)√2(b−√6)/√3q√pp 1 + 1 − γ( 6 + 2) 1+γ/2+γ/2)4 ,(× q√1 − γ( 6 + 2)b = −2 + 1/γ +Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå cz + /c∞ ïðåäñòàâëÿåò√ïàðàìåòðà γ íà (0, γ0 ), ãäå γ0 = 1/( 6 + 2).ãäå â ñèëó (1.74) ÷èñëîp(−2 + 1/γ)2 − 6.ñîáîé ôóíêöèþ îò(1.152)bâûðàæàåòñÿ ÷åðåçγ:Óïðîùàÿ âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (1.152), ïîëó÷àåìËåììà 1.23.Ïðè γ ∈ (0, γ0 ) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî−√1+γ(√6−2)q√cz +(γ) = 4γ 2  1 + 1/ 1 + γ( 6 − 2)1+c∞√2(√1+γ(√6−2)+√1−γ(√6+2))/(√3γ)√√ 1−γ( 6+2)q√+1/ 1 − γ( 6 + 2)×pp×( 1 + γ/2 + γ/2)4 .(1.153)88cz + /c∞ .

Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå γ0 ≈ 0.2247 ìàëî, òî èíòåðâàë (0, γ0 ) ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè (0, 0.18], [0.18, γ0 )Îöåíèì îòíîøåíèåè äàëåå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà îöåíèòü ôóíêöèþ (1.153) íàêàæäîé èç ýòèõ ÷àñòåé. Òàê êàê íà êîíöàõ èíòåðâàëàcz +(γ) = 0,γ→0 c∞lim4q √√(1 + 2 6 + 5) 4 3cz +p √p√lim(γ) =  √ ≈ 0.0518,√√γ→γ0 c∞( 3 + 2)( 2 3 +3 + 2)òî ñïðàâåäëèâàËåììà 1.24.Ïðè γ ∈ (0, γ0 ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîcz +1(γ) < .c∞2(1.154)Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ïðèâîäÿò ê èçîáðàæåííîé íàðèñ. 1.4. çàâèñèìîñòècz + /c∞îòγ:Ðèñóíîê 1.4Òàêèì îáðàçîì, ïðè`→∞ïðàâàÿ ÷àñòü (1.151) ýêñïîíåíöè-| z | ôóíêöèÿKBΦW(z).−àëüíî ìàëà, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõN (z)ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîé ïîïðàâêîé ê89Ðàññìîòðèì òåïåðü ýòè ôóíêöèè íà âåùåñòâåííîé îñè. ÏðåäñòàâèìKBΦW(x)−â âèäåKBΦW(x) = c− t(x)e`s(x) (1 + O(~) + O(−+O(~)+(x − 1)2~~)+O()).(x − z + )3/2(z − − x)3/2(1.155)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ôîðìóëû (1.148) âûòåêàåò, ÷òî ïðèN (x) =x∈/ [z − , z + ]√c− t1 (x) | x | `(ln (|x|/|z + |)+s(z + ))~~)+O()).e(1+O(z+ − x`3/4 (x − z + )(1.156)Çäåñü ôóíêöèÿt1 (x)îãðàíè÷åíà ðàâíîìåðíî ïî`.Ïîêàçàòåëè ýêñïîíåíò â (1.155) è (1.156) ñîäåðæàò ôóíêöèès(x)èln (| x | / | z + |) + s(z + ).Ψ(x) = s(x) − ln | x |,Äëÿ èõ ñðàâíåíèÿ èçó÷èì ïîâåäåíèåx ∈ R1 ,x∈/ (z − , z + ),x 6= 0.(1.157)ÑïðàâåäëèâàËåììà 1.25.Ôóíêöèÿ Ψ(x) âîçðàñòàåò ïðè x ∈ [z + , 0) è óáûâàåòïðè x ∈ (−∞, z − ] ∪ (0, +∞) .Äîêàçàòåëüñòâî.

Èç (1.137) âûòåêàåò, ÷òîΨ0 (x) ==ãäåΛ(x)2x3 + bx2 − 4x − b −√pb2 + 4b + 6(x − 1) Λ(x) 1− =2R(x)x2x2 + 2bx − 2b − 31p√− ,2x3 + bx2 − 4x − b + b2 + 4b + 6(x − 1) Λ(x) xèìååò âèä (1.73). Ñëåäîâàòåëüíî,√p2 + 4b + 6(x − 1) Λ(x)bp√Ψ0 (x) =.x(2x3 + bx2 − 4x − b + b2 + 4b + 6(x − 1) Λ(x))bx2 + (1 − 2b)x + b −(1.158)90Îïðåäåëèì, â êàêèõ òî÷êàõΨ0 (x) ìåíÿåò çíàê. Ðàññìîòðèì êîð-íè óðàâíåíèÿ2x2 + 2bx − 2b − 3 = 0,êîòîðûå ðàâíûx4,5 =−b ±√(1.159)b2 + 4b + 6.2(1.160) íèõ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè (1.158) îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äàëåå, çíàìåíàòåëü äðîáè (1.158) ìåíÿåò çíàê â íóëå.z−Ψ(x),z+,Êðîìå òîãî, ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êèâ òî÷êóêîòîðûå ëåæàòíà ãðàíèöå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ÷èñëèòåëü äðîáè ñîõðàíÿåòçíàê, à çíàìåíàòåëü ìåíÿåò åãî íà ïðòèâîïîëîæíûé.

Характеристики

Список файлов диссертации