Диссертация (1136178), страница 12
Текст из файла (страница 12)
 ðåçóëüòàòå,x ∈ (−∞, z − ] ∪ (0, +∞)Ψ0 (x) > 0. Ëåììà äîêàçàíà.ïîëó÷àåì, ÷òî ïðèx ∈ [z + , 0)Ψ0 (x) < 0, à ïðè ñèëó (1.147), (1.151), (1.154) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâàΨ(z − ) < Ψ(z + ) < Ψ(∞) < Ψ(1).Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèê ôóíêöèèíà ðèñ. 1.5. Îïðåäåëèì òî÷êóx̃Ψ(x)(1.161)èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûéèç óñëîâèÿΨ(x̃) = Ψ(z + )( ñì. ðèñ.Ðèñóíîê 1.51.5. ). Èç ëåììû 1.25.
è íåðàâåíñòâ (1.161) âûòåêàåò, ÷òî ïðè âåùåñòâåííûõx ∈ (−∞, x̃)∪(z + , 0)∪(0, 1−~3/8 )∪(1+~3/8 , +∞), à òàêæåâ íåêîòîðîé îáëàñòè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé óêàçàí-91N (z) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîé ïîïðàâêîé êW KBÂÊÁ-ïðèáëèæåíèþ Φ−(z). Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ìàëîñòü N (z) èìååò ìåñòî è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ | z | . Êðîìå òîãî, âáëèçè òî÷êèz = 1 ôóíêöèÿ N (z) òàêæå ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñp(z), çàäàâàåìûì ðàçëîæåíèåì (1.122).  óêàçàííûõ îáëàñòÿõ ïîìèìî ôóíêöèè ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûìè áóäóò è ïðîèçâîäíûå îò N (z)îãðàíè÷åííîãî ïðè ` → ∞ ïîðÿäêà.Îäíàêî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ìàëîñòü N (z) èìååò ìåñòî íå ïðèâñåõ z . Âáëèçè âåùåñòâåííîé îñè èìååòñÿ îáëàñòü, ñîäåðæàùàÿ (x̃,KBz − ), ãäå, íàîáîðîò, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå ΦW(z) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåí−öèàëüíî ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ N (z) .íûå èíòåðâàëû,2.10.Ïóñòü ìíîãî÷ëåíÀñèìïòîòèêà íîðìûΦ(z)Φ(z) çàäàí ôîðìóëîé (0.18), ãäå ôóíêöèÿ p(u)ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîéçàäà÷è. Âû÷èñëèì àñèìïòîòèêó íîðìûΦ(z)â ïðîñòðàíñòâåP` .Çàïèøåì ãëàâíûé ÷ëåí ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ (1.125) â âèäåKB`s(z).ΦW−,0 (z) = c− t(z)e(1.162)Åñëè ïîäñòàâèòü (1.162) â ôîðìóëó (1.25) äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî ïîëó÷èì èíòåãðàëKB 2kΦW−,0 kP``+1=2π| c− |2 | t(z) |2 e` Ω(z,z)dz dz,(1+ | z |2 )2CZ(1.163)ãäå ôóíêöèÿΩ(z, z) = s(z) + s(z) − ln(1+ | z |2 ).Íàéäåì òî÷êó, ãäå äîñòèãàåòñÿ ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì(1.164)Ω(z, z).Òî-ãäà àñèìïòîòèêà èíòåãðàëà (1.163) áóäåò ðàâíà èíòåãðàëó ïî ìàëîéîêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì äâå ëåììû.92Ëåììà 1.26.Ýêñòðåìóì ôóíêöèè Ω(z, z) ìîæåò äîñòèãàòüñÿëèøü â òî÷êàõ, ãäå z = z .Äîêàçàòåëüñòâî.
Èñïîëüçóÿ (1.137), íàõîäèì, ÷òî ñòàöèîíàðíûåòî÷êè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé2z 2 + 2bz − 2b − 3z∂Ωp= 3−= 0,∂z2z + bz 2 − 4z − b + (z − 1) (b2 + 4b + 6)Λ(z) 1 + zz(1.165)2∂Ω2z + 2bz − 2b − 3zp−== 0.∂z2z 3 + bz 2 − 4z − b + (z − 1) (b2 + 4b + 6)Λ(z) 1 + zz(1.166)ÇäåñüΛ(z)çàäàíà ôîðìóëîé (1.73).Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (1.165) ê âèäópbz z+(−2b+1)zz+2z +2bz+bz−2b−3 = z(z−1) (b2 + 4b + 6)Λ(z),22(1.167)è äàëåå ïîñëå çàìåíûu = z − 1, u = z − 1âîçâåäåì ïðàâóþ è ëåâóþ÷àñòè (1.167) â êâàäðàò. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå[bu2 u + (b + 2)u2 + uu + (2b + 5)u + u]2 = [u2 u2 + 2u2 u + u2 ]××[(b2 + 4b + 6)u2 + (4b2 + 20b + 24)u + 4b2 + 20b + 24],óïðîùàÿ êîòîðîå, èìååì:(4b + 6)u4 u2 + (4b + 12)u4 u + (4b2 + 18b + 24)u3 u2 + 2u4 ++(4b2 + 18b + 23)u2 u2 + (4b2 + 28b + 44)u3 u + (2b + 4)u3 ++(8b2 + 34b + 34)u2 u − 2u2 u − u2 − (4b + 10)uu = 0.Óìíîæèì (1.168) íàu = ρeiϕ , u = ρe−iϕu.(1.168)Ïåðåõîäÿ çàòåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàìè ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ìíèìóþ ÷àñòü, ïðèõîäèìê óðàâíåíèþ(4b + 6)ρ4 sin ϕ + (4b + 12)ρ3 sin 2ϕ + 2ρ2 sin 3ϕ + (10b + 21)ρ2 sin ϕ+93+(2b + 6)ρ sin 2ϕ + sin 3ϕ + (4b + 9) sin ϕ = 0.Âûðàçèìsin 3ϕèsin 2ϕ÷åðåçsin ϕ, cos ϕ.(1.169)Òîãäà (1.169) ðàñïàäåòñÿíà äâà óðàâíåíèÿsin ϕ = 0,(1.170)4 cos2 ϕ + 4(b + 3)ρ cos ϕ + (2b + 3)ρ2 + 4b + 8 = 0.Åñëèϕ ðåøåíèå (1.170), òîz(1.171)ëåæèò íà âåùåñòâåííîé îñè.
Ïî-ρ, è√2226åãî äèñêðèìèíàíò 16[(b + 4b + 6)(cos ϕ − 1) − (b + 3b)] ïðè b >ñêîëüêó óðàâíåíèå (1.171) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì îòíîñèòåëüíîìåíüøå íóëÿ, òî îíî íå èìååò ðåøåíèé. Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 1.27.Ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè Ω(z, z) ïðè z = zäîñòèãàåòñÿ â òî÷êå z = z = 1.z = z = x ∈ R1åñëè x ∈/ (z − , z + ), òîÄîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïðèΩ = Ω(x).Èç (1.137) âûòåêàåò, ÷òîôóíêöèþp322x+bx−4x−b−(x−1)(b2 + 4b + 6)Λ(x)2x0Ω (x) =−.R(x)1 + x2(1.172)Ïðåîáðàçóåì (1.172) ê âèäóp22(x−1)(bx+(3−b)x+2b+3−x(b2 + 4b + 6)Λ(x))0pΩ (x) =.(2x3 + bx2 − 4x − b + (x − 1) (b2 + 4b + 6)Λ(x))(1 + x2 )(1.173)Çíàìåíàòåëü äðîáè â (1.173) ðàâåí íóëþ â òî÷êàõx4,5 ,çàäàííûõñîãëàñíî (1.160). ×èñëèòåëü äðîáè â (1.173) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèx = 1,à òàêæå â òî÷êàõ, ãäåpbx2 + (3 − b)x + 2b + 3 = x (b2 + 4b + 6)Λ(x).(1.174)Âîçâîäÿ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè (1.174) â êâàäðàò, èìååì:(2x2 + 2bx − 2b − 3)((2b + 3)x2 + 6x + 2b + 3) = 0.(1.175)94Óðàâíåíèå (1.175) ðàñïàäàåòñÿ íà óðàâíåíèå (1.159), êîðíÿìè êîòî-x4,5 ,ðîãî ÿâëÿþòñÿà òàêæå íà óðàâíåíèå(2b + 3)x2 + 6x + 2b + 3 = 0,íå èìåþùåå âåùåñòâåííûõ êîðíåé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè(1.176)b>√6äèñ-êðèìèíàíò (1.176) ìåíüøå íóëÿ.Òàê êàê ïðèx = x4,5ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî2x3 + bx2 − 4x − b bx2 + (3 − b)x + 2b + 3=,x−1−xx4,5 .
 ðå0çóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî Ω (x) < 0 ïðè x ∈ (−∞, z − ] ∪ (1, +∞) èΩ0 (x) > 0 ïðè x ∈ [z + , 1). Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì Ω ïðè x ∈/(z − , z + ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x = 1.Äàëåå ðàññìîòðèì x ∈ (z − , z + ). Òîãäà â ñèëó (1.137)òî ÷èñëèòåëü äðîáè â (1.173) òàêæå îáðàùàåòñÿ â íóëü â2x3 + bx2 − 4x − b(x + 1)(x − 1)(bx2 + 6x + b)2xΩ (x) ==−.R(x)1 + x2R(x)(1 + x2 )0b ≥ 3 íà èíòåðâàëå (z − , z + ) ó Ω ìàêñèìóìà íåò, òàê êàê Ω0 (x) <√0 ïðè x ∈ (z − , −1) è Ω0 (x) > 0 ïðè x ∈ (−1, z + ). Ïðè 6 <b < 3 ôóíêöèÿ Ω(x) äîñòèãàåò ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ â òî÷êàõ√x6,7 = (−3 ± 9 − b2 )/b, ãäå bx2 + 6b + b = 0.
Êðîìå òîãî, ó Ωèìååòñÿ ëîêàëüíûé ìàêñèìóì ïðè x = −1. Îäíàêî, ïîñêîëüêó ôóíê2öèè ln | x | è ln (1 + x ) ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, òî â ñèëó ëåìì 1.21. è1.25. Ω(−1) < Ω(1). Òàêèì îáðàçîì, ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì Ω(x)äîñòèãàåòñÿ ïðè x = 1. Ëåììà äîêàçàíà.ÏðèÒåîðåìà 1.1.Ôóíêöèÿ Ω(z, z) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿïðè z = z = 1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ñïðàâåäëèâû ëåììû 1.26., 1.27., òîîñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî â òî÷êåz = z = 1 äëÿ Ω(z, z) âûïîëíåíû äî-ñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè95äâóõ ïåðåìåííûõ.
Ýòè óñëîâèÿ èìåþò âèä∂Ω= 0,∂z∂ 2Ω∂ 2Ω ∂ 2Ω∂ 2Ω=+ 2 < 0,+2∂x2∂z∂z∂z∂z 2∂Ω= 0,∂zD=(1.177)∂ 2Ω∂z∂z2∂ 2Ω ∂ 2Ω− 2 2 > 0.∂z ∂z(1.178)Èç (1.165), (1.166) âûòåêàåò, ÷òî∂Ω(1, 1) = 0,∂zÄèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèè∂Ω(1, 1) = 0.∂z∂Ω/∂z, ∂Ω/∂zåùå ðàç, íàõîäèì, ÷òî∂ 2Ω5∂ 2Ω1 p 2b + 5b + 6 − b −(1, 1) =(1, 1) =,∂z 222∂z 2Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè∂ 2Ω1(1, 1) = − .∂z∂z4√b> 6p∂ 2Ω p 252 + 5b + 6(b + −=b+5b+6−b−3<0,D=2b∂x22p− b2 + 5b + 6) > 0.Òåîðåìà äîêàçàíà. ñèëó òåîðåìû 1.1.
îñíîâíîé âêëàä â íîðìó àñèìïòîòè÷åñêî-p(z) âíîñèò ìàëàÿz = 1 ôóíêöèÿ p(z)ãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èîêðåñòíîñòü òî÷êèz = z = 1.Òàê êàê âáëèçèçàäàåòñÿ ðàçëîæåíèåì (1.122), ïîäñòàâèì åãî â ôîðìóëó (1.25) äëÿñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è âû÷èñëèì àñèìïòîòèêó âîçíèêàþùåãîèíòåãðàëà.Îïðåäåëèìrθ(t, r, b) = exp (−(b+3− 1)t2 − (1 −b+2rb+2 2)r ).b+3(1.179)96Ëåììà 1.28.kp(z)k2P`Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîα12 µ2 2−`−1Σ0 (b)(1 + O(~)),= √π b2 + 5b + 6~ → 0,(1.180)ãäå ôóíêöèÿ Σ0 (b) èìååò âèäZθ(t, r, b) | Hk (r + it) |2 dt dr,Σ0 (b) =(1.181)R2à êîíñòàíòà µ çàäàíà ôîðìóëîé(1.120).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæèì ôóíêöèþïî ñòåïåíÿìu, u, ãäå u è z(` + 1)/(2π(1+ | z |2 )`+2 )ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì (1.104).
 ðåçóëüòàòåïîëó÷àåì:√a −`−2`+1a(u + u)√√=−2exp−42π(1+ | z |2 )`+2π~2~ b2 + 5b + 6√| u |2 −(u2 + u2 )/2u+u√−{1 + ~ − √ √−4 b2 + 5b + 62a 4 b2 + 5b + 6(u3 + u3 )/3− | u |2 (u + u)√+ O(~(| u |6 +1))}.−8 2a(b2 + 5b + 6)3/4(1.182)Ïîäñòàâëÿÿ çàòåì (1.122), (1.182) â ôîðìóëó (1.25), èìååì:| u |2 −(u2 + u2 )/2 u2 + u2√+(1−2 + 5b + 644bC√3+biu 2~−√)){| Hk ( √ ) | + √ √[−u − u−42b2 + 5b + 62a b2 + 5b + 6√(u3 + u3 )/3− | u |2 (u + u)iu 2~√−] | Hk ( √ ) | + √ √×28 b2 + 5b + 62a 4 b2 + 5b + 6kp(z)k2P`α2 µ2 a −`−2= 12π~Zexp(−8 + 3bu3 + u3iui×[( √− 1)| Hk ( √ ) |2 + √ ×422 23 b2 + 5b + 6iuiuiuiu×(u2 Hk0 ( √ ) + Hk (− √ ) − u2 Hk0 (− √ )Hk ( √ ))]}dz dz (1 + O(~)).2222(1.183)97Ââåäåì âåùåñòâåííûå ïåðåìåííûåtèrñîãëàñíî ôîðìóëåu√ = t + ir.2(1.184)Òîãäà| u |2 = 2(t2 + r2 ),√u + u = 2 2t,2~dt dr,dz dz = √a b2 + 5b + 6√u3 + u3 = 4 2(t3 − 3tr2 ),(1.185)iu2 Hk0 (it − r)Hk (−it − r) − iu2 Hk0 (−it − r)××Hk (it − r) = 2(t2 − r2 )∂∂| Hk (r + it) |2 +4tr| Hk (r + it) |2 ,∂t∂rè ðàâåíñòâî (1.183) ïðèíèìàåò âèäkp(z)k2P`α12 µ2 2−`−1= √π b2 + 5b + 6Zθ(t, r, b){| Hk (r + it) |2 +R2√√~1t3 − 3tr2{[−2 2t + √ √(−++√ √32a 4 b2 + 5b + 62 b2 + 5b + 6√8 + 3b+(r2 + t2 )t) + ( √− 1) 2(t3 − 3r2 t)] | Hk (r + it) |2 +3 b2 + 5b + 61∂∂+ √ [(t2 −r2 ) | Hk (r+it) |2 +2tr| Hk (r+it) |2 ]}}dt dr (1+O(~)).∂t∂r2(1.186)√ ôîðìóëå (1.186) ñëàãàåìûå ïîðÿäêà~ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èí-òåãðàëû îò íå÷åòíûõ ôóíêöèé â ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
