Диссертация (1136178), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Êðîìå òîãî, âäîëü äóãè îêðóæíîñòè ^ z − , z + , êîòîðàÿ ñîåäèíÿåò òî÷êèz−, z+è ïðîõîäèò ÷åðåç−1,ïðîâåäåí ðàçðåç.Âû÷èñëèì âîçíèêàþùèå â (1.271) èíòåãðàëû. ÑïðàâåäëèâàËåììà 1.35.ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ Y±W KB ïðåäñòàâèìû â âèäåY±W KB×c± (z 2 + 3z + 1)±n/2+1/2p×=√z − 1 4 Λ(z) z ±|m|/2−1/2!±ξ˜k(1) /(4√5−a) pp√2 Λ(z) + 5 − a(z + 1)[ Λ(z) + z + 1]±|m|p×√z−1[ Λ(z) + a(z + 1)]±n111)+O×(1 + O(+O+|m||m|(z − 1)2|m|(z − z + )3/21+O), |m| → ∞.(1.272)|m|(z − z − )3/2Çäåñü c± êîíñòàíòû.127Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëàìè (1.84), (1.85). Èç(1.84) âûòåêàåò, ÷òîZ!p√2 Λ(z) + 5 − a(z + 1)+z−1√5 − a dzp= − ln(z − 1) z 2 + (3 − a)z + 1+C.(1.273)Ïîñêîëüêóz−1 1=R(z)2√√ !2 1+ 5 1− 5− ++,zz − z2z − z3òî â ñèëó (1.84), (1.85)Z"p√p1+ 5(z − 1) z 2 + (3 − a)z + 1dz = Λ(z) −1 ++R(z)2#√ # "√ √√ √1− 53 − a (1 + 5)( 5 − a) (1 − 5)( 5 + a)++ −+−×2244!p p2 Λ(z) + 2 + (3 − a)z× ln 2 Λ(z) + 2z + 3 − a + ln−z√ √√(1 + 5)( 5 − 1) a×−4!√√√√√ p( 5 − 1) a Λ(z) + ( 5 − a)z + (3 − 5)(a + 5)/2× ln−z − z2√ √√(1 − 5)( 5 + 1) a−×4!√√√√√ p( 5 + 1) a Λ(z) − ( 5 + a)z + (3 + 5)(a − 5)/2× ln+z − z3!pp(2 Λ(z) + 2z + 3 − a)(2 Λ(z) + 2 + (3 − a)z)+C = ln−z128−nln|m|−nln|m|!√√√√√ p( 5 − 1) a Λ(z) + ( 5 − a)z + (3 − 5)(a + 5)/2−z − z2!√√√ √√ p( 5 + 1) a Λ(z) + ( 5 + a)z + (3 + 5)( 5 − a)/2+(5 − a)(a − 1)(z − z 3 )!p2(5 − a)( Λ(z) + z + 1)−+C = lnz!p√( Λ(z) + a(z + 1))2n−ln+ C.(1.274)|m|(a − 1)(z 2 + 3z + 1)Ïîäñòàâëÿÿ èíòåãðàëû (1.273), (1.274) â (1.271), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.272).
Ëåììà äîêàçàíà.Âàæíóþ ðîëü ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè èãðàþò ëèíèè Ñòîêñà. Íà ðèñ. 1.6. ïîìèìî îñîáûõ òî÷åê è òî÷åê ïîâîðîòà èçîáðàæåíû ëèíèè Ñòîêñà äëÿ óðàâíåíèÿ (1.268).  ãðàô Ñòîêñà, â ÷àñòíîñòè. âõîäèò äóãà ^ z − , z + . ÄëÿÐèñóíîê 1.6äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî óòâåðæäåíèÿ îïðåäåëèì ôóíêöèþ√p|z 2 + 3z + 1| a/2 | Λ(z) + z + 1|pW (z) =.√√|z|1/2 | Λ(z) + a(z + 1)| a129Òàê êàê â ñèëó (1.272)Zz pW (z) = W (z ± ) exp (ReQ0 (z)dz),z±òî âûõîäÿùèå èç òî÷êè ïîâîðîòàz±ëèíèè Ñòîêñà çàäàþòñÿ óðàâ-íåíèåìW (z) = W (z ± ),√ãäåW (z ± ) = (a − 1)(a−1)/2. Ïîñëå çàìåíû(1.275)τ = z/(z + 1)2óðàâíåíèå(1.275) ïðèíèìàåò âèä√p√| 1 + (1 − a)τ + 1|( a−1)/2p.=(a−1)√ √| 1 + (1 − a)τ + a| a|1 + τ ||τ |1/2Åñëèza/2(1.276)ïåðåìåùàåòñÿ ïî äóãå ^ z − , z + îò òî÷êèïåðåìåííàÿτäâàæäû ïðîõîäèò ïðîìåæóòîêz − ê òî÷êå z + , òî[1/(a − 1), +∞).
Ïî-ñêîëüêó ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàpp| 1 + (1 − a)τ + 1| = (a − 1)τ ,pp√| 1 + (1 − a)τ + a| = (a − 1)(τ + 1),òî óðàâíåíèå (1.276) íà äóãå ^ z − , z + âûïîëíåíî.Èçó÷èì ïîâåäåíèå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèéY±W KBâáëèçè òî÷åê ïî-âîðîòà. Ðàçëàãàÿ âõîäÿùèå â (1.271) ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà,ïîëó÷àåìËåììà 1.36.Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæå-íèÿ:Y±W KB(+)2c±=√exp ±|m|τ+ (z − z + )3/2 (1 + O(|m|(z − z + )5/2 )+43z − z+p+O( z − z + ) + O(1))|m|(z − z + )3/2(1.277)130ïðè z → z + ,Y±W KB2/3| arg(τ+ (z − z + )) |< π ;(−)c±2=√exp ±|m|τ− (z − z − )3/2 (1 + O(|m|(z − z − )5/2 )+43z − z−p+O( z − z − ) + O(ïðè z → z − ,Y±W KB=1))|m|(z − z − )3/2(1.278)2/3| arg(τ− (z − z − )) |< π ;(1)c± (z√(1)−1/2∓ξ˜k /(4 5−a)− 1)√|m| 5 − aexp(±[(z − 1)2 −20−(z − 1)3 ])(1 + O(z − 1) + O(|m|(z − 1)4 ) + O((+)(−)1))|m|(z − 1)2(1.279)(1)ïðè z → 1.
Çäåñü c± , c± , c± êîíñòàíòû,pp(z ± − 1) |z + − z − | ±iπ/4 (a − 5 ± i (a − 1)(5 − a))τ± =e=×2z 2± a4z 2± ap× 4 (a − 1)(5 − a)e±iπ/4 .(1.280)Íàéäåì, íàêîíåö, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(1.248).  ñèëó (1.62), (1.261), (1.272) èìååìKBΦW−c−=p(z − 1)4(z − z − )(z − z + )√(1)−1/2+ξ˜k /(4 5−a)p2 Λ(z)+p√√−ξ˜k(1) /(4√5−a) [ Λ(z) + a(z + 1)]n1p+ 5 − a(z + 1)(1 + O()+|m|[ Λ(z) + z + 1]|m|111+O+O+O),|m|(z − 1)2|m|(z − z + )3/2|m|(z − z − )3/2(1.281)˜(1)KBΦW+√c+ (z − 1)−1/2−ξk /(4 5−a) (z 2 + 3z + 1)n pp=2 Λ(z)+4(z − z − )(z − z + ) z |m|131p√ξ˜k(1) /(4√5−a) [ Λ(z) + z + 1]|m|1p+ 5 − a(z + 1)(1 + O()+√|m|[ Λ(z) + a(z + 1)]n111+O+O+O),|m|(z − 1)2|m|(z − z + )3/2|m|(z − z − )3/2ÇäåñüΛ(z)3.8.çàäàíà ôîðìóëîé (1.269),c± êîíñòàíòû.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è.
Âû÷èñëåíèå ïîïðàâêè âñïåêòðàëüíîé ñåðèèÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èp(z). Âáëèçè îñîáûõ òî÷åê (1.251) âûáèðà-þòñÿ ðåøåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, ðàâíûìè íóëþ, à â îñîáîé òî÷êå1.z4 = ∞ ñ ïîêàçàòåëåì, ðàâíûì−n + |m| +Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.281) íóëåâûå ïîêàçàòåëè â îñîáûõ òî÷êàõKB(z). Êðîìå òîãî, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.230),ΦW−ïðè |z| |m| ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà(1.251) èìååò(1.231), òîKBΦW(z)−=(2 +√√c− ( a + 1)nz√˜(1) /(4 5−a) |m|2n−|m|−15 − a)ξk+OÏîýòîìó ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå|m|z1+1+O|m|KBΦW(z)−.(1.282)çàäàåò àñìïòîòè÷åñêîå ðåøå-íèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è â îáëàñòÿõ I-IV ( ñì. ðèñ.1.6.).Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ îêîëî òî÷åê ïîâîðîòàóðàâíåíèÿ (1.268) âûòåêàåò, ÷òî âáëèçè22d Y~2dzz±− (τ±2 (z − z ± ) + O((z − z ± )2 ) + O(1))Y = 0.|m|z ± .
Èç132Ñëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé âáëèçèz±âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèè Ýéðè:2/32/30y±= α1,± Ai(|m|2/3 τ± (z − z ± )) + α2,± Bi(|m|2/3 τ± (z − z ± )).Çäåñüα1,± , α2,± êîíñòàíòû,τ±(1.283)çàäàíû ôîðìóëîé (1.280).Ïîñòðîèì ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è âáëèçèòî÷êè ïîâîðîòàz = 1,à òàêæå îïðåäåëèì ÷èñëàâ óðàâíåíèè (1.268) ôóíêöèèîêðåñòíîñòèz=1Q0 (z)èR(z)(1)ξ˜k .Ðàçëîæèìïî ôîðìóëå Òåéëîðà â.
 ðåçóëüòàòå, ïîñëå çàìåíûp|m|(z − 1),u=βãäå(1.284)√β=√45,5−a(1.285)ïîëó÷àåì, ÷òî22dYu11p+v+++{−42du2|m|+O1|m|+O(1)3 3 ξ˜k β 3 uβu −410!+u4}Y = 0.|m|(1.286)Çäåñü(1)ξ˜k β 2 1v=− .202(1.287)Áóäåì èñêàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå (1.286) â âèäåy1 (u)y0u6 y0u dy0u3 dy0Y = y0 (u) + p+ O() + O() + O() + O().|m||m||m| du|m| du|m|(1.288)Òîãäà ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Âåáåðàd 2 y0u21+(−+v+)y0 = 0,42du2133îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðày0 = α1 Dv (u) + α2 D−v−1 (iu).Çäåñüα1 , α2(1.289) êîíñòàíòû.Ïðîèçâåäåì ñîãëàñîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé. Âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè äëÿ ôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà (1.110), (1.111).  ñèëó (1.110) ïðè| u |→ ∞,| arg u| < π/4py0 = α 1|m|(z − 1)β!v√|m| 5 − a(z − 1)2exp −×20!−v−1pi |m|(z − 1)1)+α2|m|(z − 1)2β √1|m| 5 − a(z − 1)2(1 + O).× exp20|m|(z − 1)2×(1 + O×(1.290)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (1.290) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.
 îáëàñòè IV âáëèçè|m|−3/8 ) ïðè | arg u| < π/4 ôóíêöèÿW KBñ Y−, èìåþùèì ðàçëîæåíèå (1.279).ïîðÿäêàâàòüñÿz = 1 ( íà ðàññòîÿíèèy0 äîëæíà ñîãëàñîâû-ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðèÏîñêîëüêó ÷ëåíû| arg u| < π/4,òîñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.113).Äàëåå â ñèëó (1.111) ïðè| u |→ ∞, 3π/4 < arg u < 5π/4!vp√|m|(z − 1)|m| 5 − a(z − 1)2y0 = α1 [exp −×β20!−v−1p√|m|(z − 1)2π exp (vπi)1××(1 + O)−|m|(z − 1)2Γ(−v)β √|m| 5 − a(z − 1)21× exp(1 + O)].20|m|(z − 1)2134Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.
 îáëàñòè I âáëèçè5π/4ôóíêöèÿy0z = 1ïðèòàêæå äîëæíà ñîãëàñîâûâàòüñÿ3π/4 < arg u <W KBñ Y−, èìåþ-ùèì ðàçëîæåíèå (1.279). Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðèóñëîâèþ3π/4 < arg u < 5π/41= 0.Γ(−v)Γ(−v)Êàê èçâåñòíî [85], ãàììà ôóíêöèÿv = k,Òàê êàê, òî ïðèõîäèì êvè(1)ξ˜kèìååò ïîëþñà ëèøü ïðèk = 0, 1, 2, . . . .(1.291)ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì (1.287), òî ïîïðàâêà â ñïåê-òðàëüíîé ñåðèè íàéäåíà. ÄîêàçàíàËåììà 1.37.(1)ξ˜k(1)×èñëà ξ˜k â ôîðìóëå√1,=4 5−a k+2(1.267)èìåþò âèäk = 0, 1, 2, . . .
.(1.292)Èç ðàâåíñòâ (1.289), (1.113), (1.291), (1.292) âûòåêàåò , ÷òîy0 = α1 Dk (u),k = 0, 1, 2, . . . ,(1.293)ãäåα1 =(1)c− β k|m|k/2(k+1)/2=c− 5√|m|k/2 ( 5 − a)3k/2+1 4k+1/2√√ √a !|m|( 5 − a + 2 a)√√.( 5 − a + 2) 5 a/2(1.294)Ôóíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè (1.293) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà:α1y0 = k/2 Hk22u√ e−u /4 ,2k = 0, 1, 2, . . . .(1.295)135Íàéäåì ñëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè (1.288). Èç (1.286),(1.287), (1.291) (1.293) âûòåêàåò, ÷òîy1óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþu2d2 y113 31+k+)y=(−u+2(k+)u)βα1 Dk (u).+(−14242du2(1.296)Íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.296) èìååò âèäy1 = −Çäåñüβα1 2 0[u Dk (u) − uDk (u)] + α1,1 Dk (u) + α1,2 D−k−1 (iu).2α1,1 , α1,2 êîíñòàíòû. Èç óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ôóíêöèèy1ñα1,2 = 0 .
Ïîëîæèì, êðîìå òîãî,α1 ñîäåðæèòñÿ ïîïðàâêà ïîðÿäêàÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåì âûòåêàåò, ÷òîα1,1 = 0 , ñ÷èòàÿ ïðè ýòîì,|m|−1/2 . Ôóíêöèÿ y1 òàêæåy1 =("βα12(k+1)/2u√23÷òî ââûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà:#u+ √ Hk22×e−u/4u√2−u√2.2Hk0u√2)×(1.297)Òàê êàê ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.62), òî äëÿ íàõîæäåíèÿàñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èâáëèçè1.z=1îñòàåòñÿ ðàçëîæèòü ôóíêöèþE(z)ïî ñòåïåíÿìz−Äåëàÿ çàìåíó (1.284), ïîëó÷àåì:E(z) = 5|m|√pa/2−1/2exp!√√22|m|( a − 1)βu (5 − 3 a)β u+{1+220 √ 4 β1a 11u+p−β 2 u3 − u + O+O.2|m||m||m| 3 5(1.298)136Äàëåå ïåðåìíîæèì (1.298) è (1.288).
Ïîñêîëüêóy0 , y1îïðåäåëåíûñîîòíîøåíèÿìè (1.295), (1.297), òî ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþp1 (u)p(z) = p0 (u) + p+O|m|+ expp0|m|+Ou6 p0|m|+! p√√22|m|( a − 1)βu (5 − 3 a)β uu dy0+O+220|m| du 5u dy0+O,(1.299)|m| duãäåp0 = α1 µ expp√√ !|m|( a − 1)βu(5 − 3 a) u2×+ −1 + √245−au×Hk √ ,(1.300)2p√√ 2!|m|( a − 1)βu(5 − 3 a) uβα1 µ+ −1 + √×p1 = √ exp245−a2(" √# 3 2(2 a − 5)uuu√√×+1− √ Hk √ −3 5−a222 2 )uuHk0 √.− √22Çäåñü êîíñòàíòൠ= 5|m|√a/2−1/2 −k/22.ÄîêàçàíàËåììà 1.38.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòà z = 1 èìååò âèä(1.299).Ïðîäîëæèì ïðîöåññ ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèê.  ñèëó (1.279),(1.110) â îáëàñòè V âáëèçèKBΦW(z).−KBΦW(z).−z = 1ôóíêöèÿ (1.299) ñîãëàñóåòñÿ ñÏîýòîìó è â ýòîé îáëàñòè ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå ðàâíî137Äàëåå, â ñèëó àñèìïòîòèê äëÿ ôóíêöèé Ýéðè (1.96), (1.97) ïðè2/3| arg(τ± (z − z ± )) |< π/3, |m|2/3 (z − z ± ) → ∞0y±2|m|τ± (z − z ± )3/2=exp −(1+√ 1/6 √3|m|1/6 2 πτ± 4 z − z ±α1,±α2,±1+O)+×√1/6 √|m|(z − z + )3/2|m|1/6 πτ± 4 z − z ±12|m|τ± (z − z ± )3/2(1 + O).× exp3|m|(z − z + )3/2(1.301) ôîðìóëå (1.301) ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
