Диссертация (1136178), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Òîãäà ôîðìóëàäëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ñ òî÷íîñòüþ O(|m|−1 ) ïðè |m| → ∞ èìååòâèä0000(F (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )Φk , Φk )P[m,n] == F (0, 0,a−1 a+1,) + O(|m|−1 ),44Îòìåòèì, ÷òî åñëè â (1.227) ïîëîæèòüc2 = 1/a,|m| → ∞.~ = 1/n è ñäåëàòü çàìåíóòî èç (1.384) âûòåêàåò ôîðìóëà000(1.384)0(F (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )Φk , Φk )P[m,n] =168= F (0, 0,1 − c2 1 + c2,) + O(n−1 ),44n → ∞.(1.385)Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà (1.247).Íåòðèâèàëüíûå ïîïðàâêè â ôîðìóëå äëÿ ñðåäíèõ âîçíèêàþò â|m|−1 . Ïðè âûâîäå ýòèõ ïîïðàâîê ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òîñëåäóþùèé ÷ëåí p2 /|m| â ðàçëîæåíèè (1.299) ñîäåðæèò ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ ñ òàêèì æå àðãóìåíòîì, êàê è p0 , p1 .

Äåéñòâèòåëüíî,−2åñëè â ôîðìóëå (1.267) ïîïðàâêà ïîðÿäêà |m|ðàâíà÷ëåíàõ ïîðÿäêà(2)ξ˜k215(17 − a)3(15 + a)k+,+=2(5 − a)28(5 − a)òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿα1 µp2 =exp(5 − a)3/2p√√ !|m|( a − 1)βu(5 − 3 a) u2+ −1 + √×245−a( 6√√√u5× { [7a − 80 a + 145 + 12(2 a − 5) 5 − a] √+362 4√ √11u+ 8(25 − a) 5 − a] √+ [261a − 1365 − 120(5 − a) k ++4822 211u] √+ [−107a + 475 − 6(15 + a) k ++3222 3 5√ √u5u(455 − 87a) u√+α2 }Hk ( √ ) + { (5 − 2 a) 5 − a √++316222 13uu√ }Hk0 ( √ ) ,+ (15 + a) k +(1.386)16222òàêàÿ, ÷òî àñèìïòîòèêà âáëèçèíèåìKBΦW(z)−.

Êîíñòàíòàα2z=1ñîãëàñóåòñÿ ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæå-â (1.386) íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîð-ìèðîâêè (1.229).Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.10. äîêàçûâàåòñÿ0Òåîðåìà 1.11.000Ïóñòü F (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 ) îïåðàòîð, ãäå F (b0 , b1 ,b2 , b3 ) ìíîãî÷ëåí, òàêîé, ÷òî F (0, 0, (a − 1)/4, (a + 1)/4) 6= 0,1690000à îïåðàòîðû B 0 , B 1 , B 2 , B 3 óïîðÿäî÷åíû ïî Âåéëþ. Òîãäà ôîðìóëàäëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ñ òî÷íîñòüþ O(|m|−3/2 ) ïðè |m| → ∞ èìååò âèä0000(F (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )Φk , Φk ) = F ++∂F 0∂F 0(B 0 Φk , Φk ) +(B 1 Φk , Φk )+∂b0∂b1∂F 0a−1∂F 0a+1[(B 2 Φk , Φk ) −]+[(B 3 Φk , Φk ) −]+∂b24∂b341 ∂ 2F 0 21 ∂ 2F 0 2+((B 0 ) Φk , Φk ) +((B 1 ) Φk , Φk )+2 ∂b202 ∂b210000∂ 2F B 0B 1 + B 1B 0(+Φk , Φk ) + O(|m|−3/2 ).∂b0 ∂b12Çäåñü(1.387)√5 − a Σ1 (a)√+ O(|m|−3/2 ),|m| a Σ0 (a)√ √ 0i a2 aΣ1 (a)(B 1 Φk , Φk ) =1− √+ O(|m|−3/2 ),|m|Σ(a)5−a0√√0a−11 3 a5−a13(a − 1) Σ2 (a)√(B 2 Φk , Φk ) =+[−(k+ )]−+4|m| 1052|m|4 5 − a Σ0 (a)0(B 0 Φk , Φk ) = −+O(|m|−3/2 ),0(B 3 Φk , Φk ) =1 √ √1a−1Σ2 (a)a+1√+[ a + 5 − a(k + )] −+45|m|2|m|2 5 − a Σ0 (a)+O(|m|−3/2 ),0((B 0 )2 Φk , Φk ) = −√4 √12(a − 1) Σ2 (a)√[ a + 5 − a(k + )] ++5|m|2|m| 5 − a Σ0 (a)+O(|m|−3/2 ),√ √0√a 5−a √1((B 1 )2 Φk , Φk ) =[ 5 − a + 4 a(k + )]−20|m|2√(a − 1) 5 − a Σ2 (a)−+ O(|m|−3/2 ),8|m|Σ0 (a)1700000√ √B 0B 1 + B 1B 0i1(Φk , Φk ) =[3a + 5 + 8 a 5 − a(k + )]−220|m|2−i(a − 1) Σ3 (a)+ O(|m|−3/2 ),2|m| Σ0 (a)ôóíêöèèZθ(t, r, a)σj (t, r, a) | Hk (t + ir) |2 dt dr,Σj (a) =j = 1, 2, 3,R2ãäå θ çàäàíà ôîðìóëîé(1.361),à√√25−aa 2σ1 = t2 , σ2 = t2 + r2 , σ3 = √ t2 + √r .2 a5−a ôîðìóëå(1.387)çíà÷åíèÿ ôóíêöèè F è åå ïðîèçâîäíûõ âû÷èñëÿ-þòñÿ â òî÷êå (0, 0, (a − 1)/4, (a + 1)/4), à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåáåðåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå P[m, n].Ïðèìåíèì ôîðìóëó (1.385) äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè ñåðèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà (0.20), ðàñïîëîæåííûõ âáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ, îáðàçóþùèõñÿ âîêðóãñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà.

 ñèëó óíèòàðíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.226) ÷èñëàôîðìóëåηkèç (1.213) ìîæíî âû÷èñëèòü ïîηk = (g00 (B)Φk , Φk )P[m,n] , ãäå îïåðàòîð g00 (B) çàäàí (1.218).Èìååì:2211 − c21 + c21 − c4ηk = − [4{108+ 239− 308}+3441621 − c22 1+c+4(−66 + 100c )+ 4(65 − 130c )− 127c2 + 72c4 ]+441 35 79231+O(n−1 ) = − [ + c2 + c4 ] + O(n−1 ) = −[35n4 +43 42412n2+158m2 n2 + 23m4 ] + O(n−1 ),n → ∞.171Äàëåå, â ñèëó (1.250), (1.377)14ξk = c2 [ 2 + 1 +c|m|r5−11(k+)] + O(n−2 ) =2c21n2 + m24p 22 (k + ) + O(n−2 ),5m−n=+n2n22n → ∞,(1.388)è, ñëåäîâàòåëüíî,2ηk + 5ξk2 = −5 4142 24(35n+158mn+23m)+(n + 2m2 n2 + m4 )+446nn+O(n−1 ) = −1(5n4 + 98n2 m2 − 7m4 ) + O(n−1 ),46nn → ∞.(1.389)Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèÿ (1.388),(1.389) â ôîðìóëó (1.214), à òàêæåïðèáàâèì ê ñïåêòðó ñëàãàåìîåíèòíîãî ïîëÿ ïîðÿäêàÒåîðåìà 1.12.ε.εm, âûçâàííîå íàëè÷èåì â (0.20) ìàã- ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìÏóñòü 1 n .

ε−7/2 è 5−1/2 n < |m| < n. Òî-ãäà âáëèçè íèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ èìååòñÿ ñåðèÿñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà(0.20)ñ àñèìïòîòèêîé(0.22).Îòìåòèì, ÷òî ñåðèÿ (0.22) ñîâïàäàåò ñ ñåðèåé, íàéäåííîé â ðàáîòå[38]. Ôîðìóëà (0.22), îïèñûâàþùàÿ ðàñùåïëåíèå ñïåêòðà (ò.å.ýôôåêò Çååìàíà[92]), ïðîäâèíóòà äî ÷ëåíîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêàïî ìàãíèòíîìó ïîëþ. Ñîîòâåòñòâóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîãî÷ëåíîâΦk ,çàäàííûõ ôîðìóëîé(0.12), ïðèìåíåíèåì êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿU( ñì. (1.223), (1.211)).Hè äåóñðåäíÿþ-172Ãëàâà 2Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèéòèïà Õàðòðè ñ ãëàäêèìè ïîòåíöèàëàìèñàìîäåéñòâèÿŸ 1.Êâàçèêëàññè÷åñêàÿ àñèìïòîòèêà ñïåêòðàâáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõêëàñòåðîâ äëÿ îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè1.1.Ââåäåíèå ê Ÿ1Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (0.23), (0.24) äëÿL2 (R2 ), ãäå H0 äâóìåðíûé2îñöèëëÿòîð (0.15), W (x) = w0 + w1 x + w2 x ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí 2 ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ~ > 0, ε > 0 ìàëûå ïàðàìåòðû, ïðè÷åì ε ~.

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèìε = ~2 , à òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî w2 > 0.íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè âÓðàâíåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ âî âíåøíåì ïîëå, ñîäåðæàùåå èíòåãðàëüíóþ íåëèíåéíîñòü òèïà Õàðòðè ñ ãëàäêèì èëè íåãëàäêèì ïîòåíöèàëîì ñàìîäåéñòâèÿ, âîçíèêàþò, íàïèìåð, â òåîðèè ïîëÿðîíà, êîòîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîñòåéøèé ïðèìåð ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ êâàíòîâàííûì ïîëåì[11].  òå÷åíèåäëèòåëüíîãî âðåìåíè öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé â òåîðèè ïîëÿðîíà áûëî èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ[59]. Âîïðîñ î ñóùå-ñòâîâàíèè ñîñòîÿíèé, îòëè÷íûõ îò îñíîâíîãî, ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûìïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññîâ, ñâÿçàííûõ ñ âîçáóæäåíèåì ýëåêòðîíîâ â ïîëÿðîííûõ ñðåäàõ[17].  íàñòîÿùåå âðåìÿ, ïîìèìî ÷èñòîòåîðåòè÷åñêîãî èíòåðåñà, ïðîáëåìà âîçáóæäåííûõ ïîëÿðîííûõ ñîñòîÿíèé ïðèîáðåòàåò èíòåðåñ â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé ýëåêòðîííîãî ïåðåíîñà âîçáóæäåíèé â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ. ÷àñòíîñòè, ïðîáëåìà ýëåêòðîííîãî ïåðåíîñà íà áîëüøèå ðàññòîÿ-173íèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåíòðàëüíûõ â ìîëåêóëÿðíîé áèîëîãèè ïðèîïèñàíèè êîëëåêòèâíûõ âîçáóæäåíèé â ìîëåêóëÿðíûõ öåïî÷êàõ è âìîëåêóëàõ ÄÍÊ [22]. äàííîì ïàðàãðàôå èçëîæåííûé ⠟1 ïåðâîé ãëàâû îáùèé ìåòîä áóäåò ïðèìåíåí äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè âáëèçè âåðõíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ ( ñì.

òåîðåìó 2.2.)[66; 69]. Ýòèì ñîá-ñòâåííûì çíà÷åíèÿì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêèåñåìåéñòâà àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.Çàäà÷à, ïîäîáíàÿ (0.23), (0.24), íî áåç ðåçîíàíñîâ ðàññìàòðèâàëàñü â[30], ãäå äëÿ îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè áûëà ïîñòðîåíà àñèìï-òîòèêà ñåðèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ýòà ñåðèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðàäèàëüíî íåñèììåòðè÷íûì ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñ áîëüøèì îðáèòàëüíûì ÷èñëîì, ïðîèçâîëüíûì ìàãíèòíûì ÷èñëîì è ñ íåáîëüøèìðàäèàëüíûì ÷èñëîì.1.2.Êâàíòîâîå óñðåäíåíèå è êîãåðåíòíîåïðåîáðàçîâàíèåÇàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (0.23) ìîæíîH0 + ~2 V (q1 , q2 ), ãäå V (q1 , q2 ) - ìíîãî÷ëåí 4 ñòåïåíè2îò q1 , q2 , êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî èíòåãðàëüíî çàâèñÿò îò |ψ| . Ïðè-çàïèñàòü â âèäåìåíèì ê (0.23) êâàíòîâóþ âåðñèþ ìåòîäà óñðåäíåíèÿ ( ñì.Ÿ2 ãëàâû1).

 ñëó÷àå çàäà÷è (0.23), (0.24) îïåðàòîðV0ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ëåí â âèäåV0 = 2w2 f (S1 , S2 , S3 ) + b0 ,ãäåf ìíîãî÷ëåí 2 ñòåïåíè,b0- êîíñòàíòà, à(2.1)S1 , S2 , S3 ñèììåò-ðèçèðîâàííûå ïî Âåéëþ øâèíãåðîâñêèå îáðàçóþùèå àëãåáðû âðàùåíèé[159], óäîâëåòâîðÿþùèå öèêëè÷åñêèì êîììóòàöèîííûì ñî-îòíîøåíèÿì (1.18).H` ⊂ L2 (R2 ) ñîáñòâåííûõñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ~(` + 1), ãäå ` =Íà ãèëüáåðòîâîì ïîäïðîñòðàíñòâåôóíêöèéH0 ,0, 1, 2, ...,ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó (1.21), (1.22). Åå ñîáñòâåí-îòâå÷àþùèõ174ξ = ξk,` (k = 0, 1, 2, . . . ) è óïîðÿäî÷èì èõ ïî−1óáûâàíèþ.

Ðàññìîòðèì ÷èñëî ` ïîðÿäêà ~ . Òîãäà ñïåêòð èñõîäíîéíûå çíà÷åíèÿ îáîçíà÷èìçàäà÷è (0.23), (0.24) èìååò ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêóλ = ~(` + 1) + ~2 (2w2 ξk,` + b0 ) + O(~4 ).(2.2)Àñèìïòîòèêà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äàåòñÿ ôîð-ϕk,` ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (1.21), (1.22), îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ξk,` . Îïåðàòîð U èìååò âèä (1.14).Îïðåäåëèì ÷èñëî a ôîðìóëîé (1.26).  ñëó÷àå çàäà÷è (0.23),ìóëîé (1.23), ãäå(0.24) ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ Ÿ2 ïåðâîé ãëàâû âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.Ëåììà 2.1.Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîf (S1 , S2 , S3 ) = −S2 2 + b1 S1 + b3 S3(2.3)ãäå êîíñòàíòûb1 = 4(S1 ϕ, ϕ)H` ,Êðîìå òîãî, êîíñòàíòà b0 âb 0 = w0 + 4(2.1)b3 = 4(S3 ϕ, ϕ)H` .(2.4)èìååò âèäpa(a + ~)w1 + [28a(a + ~) − 2((S2 )2 ϕ, ϕ)H` ]w2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Óñðåäíåííûé îïåðàòîðV0(2.5)ðàâåí (1.15).

Åãîñèìâîë âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñäâèãîâ ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìûÃàìèëüòîíàH0íà âðåìÿ−τñèñòåìó (1.19) îòíîñèòåëüíîè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.16). Ðàçðåøàÿqj , pj (j = 1, 2)è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷èâ-øèåñÿ âûðàæåíèÿ â (1.16), èìååì:V0 (S1 , S2 , S3 ) =12πZ2π0rq√V ( 2 S3 + S12 + S22 + S32 cos τ,175√!rSSp 1p 2cosτ−sin τ )dτ.S12 + S22S12 + S22q2 −S3 + S12 + S22 + S32(2.6)S1 , S2 , S3Èç ôîðìóëû äëÿ îïåðàòîðà Êàçèìèðà âûòåêàåò, ÷òîñâÿ-çàíû ñîîòíîøåíèåì (1.32).Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.6), (1.32).  ðåçóëüòàòå óñðåä-q1j1 q2j2 , ãäå j1 + j22ìíîãî÷ëåíû q1 ,q1 q2 , q22 , q14 ,íåíèÿ ìíîãî÷ëåíû âèäàëÿþòñÿ, à íå÷åòíîå ÷èñëî, îáíó-q12 q22 ,q24îêàçûâàþòñÿðàâíûìè, ñîîòâåòñòâåííî,pa(a + ~),S3 +3+ a(a + ~),2−S3 +S1 ,3 2 1 2S + S ,2 1 2 2pa(a + ~),p3 2S3 + 3S3 a(a + ~)+2p3 23S3 − 3S3 a(a + ~) + a(a + ~).22(2.7)Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì, ÷òîV0 (S1 , S2 , S3 ) ∼Z+2R2Z+R2Z×R2((q10 )2−2w2 {−S22(q20 )2 )Z+4R2q10 q20 | ψ(q 0 ) |2 dq 0 S1 +p| ψ(q ) | dq S3 } + w0 + w1 {2 a(a + ~)+020((q10 )2 + (q20 )2 ) | ψ(q 0 ) |2 dq 0 } + w2 {6a(a + ~) + 8((q10 )2+(q20 )2 )020Z| ψ(q ) | dq +R2pa(a + ~)×((q10 )2 + (q20 )2 )2 | ψ(q 0 ) |2 dq 0 }.×òîáû ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî (2.1), ãäå(2.8)f (S1 , S2 , S3 )èìååò âèä(2.3), îñòàåòñÿ çàìåíèòü â (2.8) â êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ìíîãî÷ëåíû íàq1 q2 , q12 −pq22 , q12 +q22 , (q12 +q22 )2 ïðèâîäèò, ñîîòâåòñòâåííî, ê S1 , 2S3 , 2 a(a + ~),6a(a + ~) − 2S22 .

 èòîãå ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâàì (2.4), (2.5). Ëåììàóñðåäíåííûå îïåðàòîðû. Èç (2.7) âûòåêàåò, ÷òî óñðåäíåíèåäîêàçàíà.×òîáû ðåøèòü çàäà÷ó (1.21), (1.22) âîñïîëüçóåìñÿ êîãåðåíòíûìïðåîáðàçîâàíèåì (1.24). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è (1.21), (1.22) ââèäåϕk,` = I` (Φk,` (z)) . Ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàòå êîãåðåíòíîãî ïðåîá-176S1 , S2 , S3 ïðåîáðàçóþòñÿ â äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû 1 ïîðÿäêà (1.28), òî äëÿ Φk,` (z) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (1.29).Çäåñü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (2.3).

Характеристики

Список файлов диссертации