Диссертация (1136178), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè óðàâíåíèÿ (1.29) íàçîâåì òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ξk,` , ïðè êî-ðàçîâàíèÿ (1.24)òîðûõ ýòî óðàâíåíèå èìååò ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâåP`.  ñèëó óíèòàðíîñòè êîãåðåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî (1.30).Ïóñòüz = x0 òî÷êà, â ìàëîé îêðåñòíîñòè êîòîðîé ëîêàëèçî-Φk,` (z). Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î åäèíñòâåíâûòåêàåò, ÷òî x0 ∈ R. Ïîêàæåì, êàê ñâÿçàíà ýòàâàíà ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿíîñòè òàêîé òî÷êèòî÷êà ñî ñïåêòðîì îïåðàòîðà òèïà Õàðòðè.Ðàññìîòðèì ñóæåíèå ôóíêöèè (2.3) íà ñôåðóñîîòíîøåíèåì (1.32).
Ââåäåì íàΩ`Ω` ,çàäàâàåìóþêýëåðîâó ñòðóêòóðó ñ ïîìîùüþz êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿñ (1.33) ôóíêöèÿ. Äàëåå, ó÷èòûâàÿ (1.34), ïåðåéäåì â f îò êîîðäèíàòS1 , S2 , S3 ê íîâûì êîîðäèíàòàì z, z .  ðåçóëüòàòå, ñóæåíèå ôóíêöèè(2.3) íà ñôåðó Ω` ïðèìåò âèäêîìïëåêñíîé êîîðäèíàòû (1.33). Ïóñòü(z − z)2+fΩ` (z, z) = a(a + ~)(1 + |z|2 )2+b1ppz+z1 − |z|2a(a + ~)+ba(a+~).31 + |z|21 + |z|2×òîáû âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâb1 , b3(2.9)âîñïîëüçóåì-ñÿ ôîðìóëàìè äëÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ íà ðåøåíèÿõ (0.23), (0.24) âáëèçè ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ ( ñì. 2 ïåðâîé ãëàâû ). Ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå ôóíêöèèϕk,` (z, z)z = z = x0 , òîäëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ îïåðàòîðîâ S1 , S3 äîñòàòî÷íîçàìåíèòü ôóíêöèè â (1.34) èõ çíà÷åíèÿìè â òî÷êå z = z = x0 .
Âðåçóëüòàòå, â ñèëó ôîðìóë (2.4) ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ~ → 0ëîêàëèçîâàíû â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êèp2x0b1 ∼ 4 a(a + ~),1 + x20p1 − x20b3 ∼ 4 a(a + ~).1 + x20(2.10)177Ïðèâåäåííûå âûøå ôîðìàëüíûå ðàññóæäåíèÿ áóäóò äàëåå ñòðîãîîáîñíîâàíû ( ñì. ëåììó 2.14. ).Ïîäñòàâëÿÿ àñèìïòîòèêè (2.10) â ôîðìóëó (2.9), îêîí÷àòåëüíîïîëó÷àåì, ÷òî ïðè~→0fΩ` (z, z) ∼4a(a + ~)P (z, z),1 + x20ãäå(1 + x20 )(z − z)2 2x0 (z + z) (1 − x20 )(1 − |z|2 )P (z, z) =++.4(1 + |z|2 )21 + |z|21 + |z|2Ëåììà 2.2.Ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè 4a(a + ~)P (z, z)/(1 +x20 ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå z = z = x0 è ðàâåí 4a(a + ~).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàìz = ρeiϕ .ÒîãäàP (ρ, ϕ) == (1 +x20 )ρ cos ϕ1 + ρ224x0 ρ cos ϕ (1 − x20 )(1 − ρ4 ) − ρ2 (1 + x20 )+.+1 + ρ2(1 + ρ2 )2P ìîãóò ëåæàòü ëèøü íà âåùåñòâåííîé îñè, òàê êàê åñëè cos ϕ 6= ±1, òî ïðè x0 ≥ 0P (ρ, ϕ) <P (ρ, 0), à ïðè x0 < 0 P (ρ, ϕ) < P (ρ, π).Ïîëîæèì z = x + iy . ÒîãäàÒî÷êè ãëîáàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè4x0 x + (1 − x20 )(1 − x2 − y 2 )y 2 (1 + x20 )P (x, y) = −+.(1 + x2 + y 2 )21 + x2 + y 2(2.11)Äèôôåðåíöèðóÿ (2.11), íàõîäèì∂P4(x − x0 )(x0 x + 1)(x, 0) = −,∂x(1 + x2 )2Ñòàöèîíàðíûìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè∂ 2P4(x,0)=−< 0,0∂x21 + x20x0è−1/x0∂P(x, 0) = 0.∂y( ïðèx0 6= 0).Òàê êàê∂ 2P∂ 2P24(x,0)(x,0)=> 0,00∂x2∂y 2(1 + x20 )2178z = z = x0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà ôóíêöèè P . Ïî2ñêîëüêó çíà÷åíèÿ P (−1/x0 , 0) = −1−x0 ,limz→∞ P (x, y) = −1+x202ìåíüøå P (x0 , 0) = 1 + x0 , òî â òî÷êå z = z = x0 äîñòèãàåòñÿ ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì P .
Ëåììà äîêàçàíà.22Òàê êàê 4a(a + ~) = 4a + O(~), ~ → 0, òî ÷èñëî 4a îïðåäåëÿåòòî òî÷êàâåðõíþþ ãðàíèöó ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà. Äàëåå áóäåò âû÷èñëåíàïîïðàâêà ê ýòîìó ÷èñëó ( ñì. ôîðìóëó (2.108)).Íåîäíîçíà÷íîñòü â âûáîðå òî÷êèx0 , âáëèçè êîòîðîé ëîêàëèçî-âàíî ðåøåíèå, ñâÿçàíî ñ íååäèíñòâåííîñòüþ ñîáñòâåííîé ôóíêöèè âçàäà÷å (0.23), (0.24). Äåéñòâèòåëüíî, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ñäâèãà ïîëÿðíîãî óãëà. Ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíÿåòñÿ è ïîñëå óñðåäíåíèÿ.
Ïîñêîëüêóòî äëÿ êàæäîãî2x01 + x20x0 ∈ R2+1 − x201 + x202= 1,ñóùåñòâóåò òàêîé óãîë2x0= cos(2ϕ0 ),1 + x20ϕ0 ,÷òî1 − x20= sin(2ϕ0 ).1 + x20Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó (2.3), (2.10) ïðè~→0f (S1 , S2 , S3 ) ∼ −S22 + 4a[cos(2ϕ0 )S1 + sin(2ϕ0 )S3 ].(2.12)Äàëåå, åñëè â îáðàçóþùèõ àëãåáðû âðàùåíèé (1.19) ïåðåéòè ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàìq1 = % cos ϕ, q2 = % sin ϕ,òî îïåðàòîð (2.12)ïðèìåò âèäf (S1 , S2 , S3 ) ∼ ~2+∂ 2 sin(2(ϕ + ϕ0 )) ∂ 2∂22−a{~[sin(2(ϕ+ϕ))−+0∂ϕ2∂%2%2∂ϕ22 cos(2(ϕ + ϕ0 )) ∂ 22 cos(2(ϕ + ϕ0 )) ∂sin(2(ϕ + ϕ0 )) ∂−−]−%∂% ∂ϕ%2∂ϕ%∂%−%2 sin(2(ϕ + ϕ0 ))},ãäåϕ0çàäàåò ñäâèã óãëàϕ.179Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîñòðàíñòâåP` òàêæå èìååòñÿ îäíîïàðàìåò-ðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ìíîãî÷ëåíîâ), ïàðàìåòðèçóåìîå ÷èñëîìx0 ∈ R.Îïåðàòîð, ïðåîáðàçóþùèé îäíó ñîáñòâåí-íóþ ôóíêöèþ â äðóãóþ, ïðèâåäåí íèæå ( ñì.
ôîðìóëó (2.76)). Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ìíîãîìåðíûõ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé òèïà Õàðòðèîïåðàòîðû ñèììåòðèè íàéäåíû â1.3.[48].Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÐàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.21), ãäå ôóíêöèÿñèëó (2.10)b1 , b3fèìååò âèä (2.3). Âáóäåì èñêàòü â âèäå8ax0(1)+ ~b1 + O(~2 ),b1 =21 + x01 − x20(1)b3 = 4a+ ~b3 + O(~2 ),21 + x0~ → 0.(2.13)Êðîìå òîãî, ïîëîæèì(1)ξk,` = 4a2 + ~ξk,` + O(~2 ),×èñëà(1)(1)(1)b1 , b3 , ξk,`~ → 0.(2.14)áóäóò îïðåäåëåíû íèæå ïðè âû÷èñëåíèè ïîïðà-âîê â êâàíòîâûõ ñðåäíèõ.
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (1.28), à òàêæå îòáðàñûâàÿ â ðàçëîæåíèÿõ (2.13), (2.14) ñëàãàåìûåO(~2 ), ïðèõîäèì êóðàâíåíèþ2dΦdΦ8x(z−x)00+ 4a2 z 2 ++~2 R2 (z) 2 + R1 (z, ~)dzR(x0 )dzh+ 2a~ −R(z) +(1)2(b3−(1)ξk,` /a)+(1)2b1 zioΦ = 0.(2.15)ÇäåñüR(z) = z 2 + 1,4(1 − x20 )z − 4x0 (1 − z 2 )R1 (z, ~) = −4a~ zR(z) ++R(x0 )hi(1)(1)22+2~ zR(z) − 2b3 z + b1 (1 − z ) .(2.16)180Φ(z) áóäóòíèæå îïóùåíû ). Îíî èìååò äâå îñîáûå òî÷êè z 1 = i, z 2 = −i,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ R(z) = 0, à òàêæå îñîáóþòî÷êó z 3 = ∞. Òî÷êè z 1 , z 2 ÿâëÿþòñÿ èððåãóëÿðíûìè, à òî÷êà z 3 ( Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé èíäåêñûk, `ó ôóíêöèèðåãóëÿðíîé.Ôóêñîâû óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ îñîáûìè òî÷êàìè ïîðîæäàþò õîðîøî èçâåñòíûå ñèñòåìû êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ [6].Äëÿ óðàâíåíèÿ (2.15) ïîäîáíîé òåîðèè íå ñóùåñòâóåò.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.15) â âèäå (0.12), ãäå ôóíêöèÿp ∈ J,àGçàäàåòñÿ ôîðìóëîé (0.11).
Ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæå-0íèÿ (0.12) îïåðàòîðûŜ3 : J → J ,00S 1, S 2, S 3ïðåîáðàçóþòñÿ â îïåðàòîðûŜ1 , Ŝ2 ,êîòîðûå èìåþò âèä (1.47) (1.49), à óðàâíåíèå (2.15) â óðàâíåíèå8ax01 − x20(1)(1)2−Ŝ2 ++ ~b1 Ŝ1 + 4a+ ~b3 Ŝ3 − 4a2 −221 + x01 + x0(1)−~ξk,`ÏóñòüΦW KBp = 0.(2.17) ÂÊÁ - ïðèáëèæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ(2.15). Òîãäà àíàëîãè÷íî ëåììå 1.9. äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè öèêëðàñïîëîæåí äîñòàòî÷íî áëèçêî îò íóëÿ, òî ïðè ïîäñòàíîâêåγΦW KB0â (2.17) äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå (1.55), âûçâàííûå çàìåíîé00S 2, S 3ìàëûéS 1,Ŝ1 , Ŝ2 , Ŝ3 , ïðè ` → ∞ âíîñÿò â íåâÿçêó ýêñïîíåíöèàëüíî−∞ W KBâêëàä O(`Φ) ïî ñðàâíåíèþ ñ íåâÿçêîé O(`−2 ΦW KB )íàâ ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (2.15). Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîãîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.17)`+2 ïîðÿäêà â ïðàâóþ ÷àñòü (0.12) ìîæíîïîäñòàâèòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà (2.15).1.4.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è.
Âû÷èñëåíèå ïîïðàâêè âñïåêòðàëüíîé ñåðèèÏðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòèêè ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.29) îêîëî îñîáûõ òî÷åê. Âáëèçè èððå-181ãóëÿðíûõ òî÷åêz1 = ièz 2 = −iîäíî ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âè-äå ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà, à âòîðîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ðåøåíèåçàäàåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà. Äëÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ðàâíû−`è−` + 1,z3 = ∞à, çíà÷èò, îáà ëèíåéíîíåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.29) ðàñòóò íàÏîýòîìó ïðèíàäëåæíîñòü ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâó∞ íå áûñòðåå z ` .P` íå ôèêñèðóåò∞.åãî ïîâåäåíèå íàÏðèõàðàêòåðè-ξ = ξk,`òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.29),(1.30) ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû.
Íàðÿäó ñ òàêîé çàäà÷åé ðàññìîòðèììíîãîòî÷å÷íóþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè÷èñåëξk,`(ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), ïðè êîòîðûõ ó óðàâíåíèÿ (1.29)ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå àíòèãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ðàçëàãàþòñÿ â ñòåïåííûå ðÿäû âáëèçè îñîáûõ òî÷êåêèz 2 = −i.p(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå òàêîé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òî ïðè ïîäñòàíîâêå p(u) âïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) ïîëó÷àåì ìíîãî÷ëåí Φ(z) àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.29) èç ïðîñòðàíñòâà P` . Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) äëÿ Φ(z) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñîäåðæàùèéñÿ â p(u)ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ξk,` è ìíîãî÷ëåíΦ(z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì èñõîäíîé ñïåêòðàëüíîéÅñëè ÷èñëîξk,`z1 = iè ôóíêöèÿçàäà÷è (1.29), (1.30).Ïåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(2.15).
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü (2.15) ê âèäó, íå ñîäåðæàùåìó ïåðâóþïðîèçâîäíóþ, âûïîëíèì ïîäñòàíîâêó (1.62). ÏîñêîëüêóZz dzln R(z)=+C,R(z)2Zz dz1=−+C,2R (z)2R(z)Z1 − z2zdz =+2R (z)R(z)+C,òîZ1 R1 (z, ~)a 1exp −dz = exp−ln R(z)−2~2 R2 (z)~ 24a(1 − x20 )18axz0(1)(1)−+ b3−+ b1+C ,~R(x0 )R(z)~R(x0 )R(z)182ãäåC ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ñëåäîâàòåëüíî,E(z) = (R(z))a/~−1/2 exp −x204a(1 − + 2x0 z)−~R(x0 )R(z)(1)b3(1)b1 z+R(z)!.(2.18) ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè (1.62) óðàâíåíèå (2.15) ïðåîáðàçóåòñÿ êâèäó22d Y~2 2 ~2− Q0 (z) + ~Q1 (z) + O ~ + OY = 0.R4 (z)dzÇäåñü(2.19)Q0 (z) = 32a2 (z − x0 )2 Λ(z)R−4 (z)R−2 (x0 ),(1)(1)(1)Q1 (z) = 4a{[2 − 2x20 + 4x0 b1 + R(x0 )b3 + R(x0 )ξk,` /a]z 4 +(1)(1)(1)(1)+[−8x0 + 2(1 − 3x20 )b1 + 8x0 b3 ]z 3 + [−8x0 b1 + 8(1 − x20 )b3 +(1)(1)(1)+2R(x0 )ξk,` /a]z 2 + [−8x0 + 2(x20 − 3)b1 − 8x0 b3 ]z − 2 + 2x20 +(1)(1)(1)+4x0 b1 − R(x0 )b3 + R(x0 )ξk,` /a}R−4 (z)R−1 (x0 ),ãäåΛ(z) = (3x20 + 1)z 2 + 4x0 z + x20 + 3,à ìíîãî÷ëåíR(z)(2.20)çàäàí ôîðìóëîé (2.16).Q0 (z) ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå (2.19) èìååò òî÷êó ïîâîðîòà z = x0 êðàòíîñòè 2, à òàêæå ïðîñòûå òî÷êè ïîâîÏðèðàâíèâàÿðîòà√−2x0 ± i 3(1 + x20 )z± =.1 + 3x20√Òî÷êè z ± ëåæàò íà îêðóæíîñòÿõ ðàäèóñà 1/ 3 ñ öåíòðàìè â òî÷√êàõ ±2i/ 3 ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
