Диссертация (1136178), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè| u |→ ∞, | arg u |< π/4y0 = α1+α2z − x0√~βi(z − x0 )√~βν√22 6a(z − x0 )exp −R2 (x0 )~−ν−1exp!(1 + O~)+(z − x0 )2!√22 6a(z − x0 )~(1 + O).R2 (x0 )~(z − x0 )2(2.52)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (2.52) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.  îáëàñòè V âáëèçèïîðÿäêàñÿ ñ~3/8 ) ïðè | arg u |< π/4 ôóíêöèÿ y0Y−W KB( íà ðàññòîÿíèèäîëæíà ñîãëàñîâûâàòü-, èìåþùèì ðàçëîæåíèå (2.36). Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãîðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðèñòàíòàz = x0| arg u |< π/4,òî êîí-α2 = 0.Äàëåå â ñèëó (1.111) ïðè| u |→ ∞, 3π/4 < arg u < 5π/4!√νz − x02 6a(z − x0 )2~y0 = α1 [ √exp −(1 + O)−R2 (x0 )~(z − x0 )2~β√−2π exp (νπi)Γ(−ν)z − x0√~β−ν−1exp!√22 6a(z − x0 )(1+R2 (x0 )~194+O~)].(z − x0 )2Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.
 îáëàñòè VI âáëèçèz = x0ïðè3π/4 < arg u <5π/4 ôóíêöèÿ y0 òàêæå äîëæíà ñîãëàñîâûâàòüñÿ ñ Y−W KB , èìåþùèìðàçëîæåíèå (2.36). Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðè3π/4 < arg u < 5π/4,òî ïðèõîäèì ê óñëîâèþ1= 0.Γ(−ν)Êàê èçâåñòíî [85], ãàììà ôóíêöèÿν = k,Òàê êàêνè(1)ξk,`Γ(−ν)èìååò ïîëþñà ëèøü ïðèk = 0, 1, 2, . . . .(2.53)ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè (2.25), (2.49), òî ïîïðàâêà âñïåêòðàëüíîé ñåðèè íàéäåíà.
ÄîêàçàíàËåììà 2.6.(1)ξk,`(1)×èñëà ξk,` â ôîðìóëå(2.14)èìåþò âèä√1 − x20 (1)12x0 (1)=a 2+b +b − 2 6(k + ) , k = 0, 1, 2, . . . .1 + x20 31 + x20 12(2.54)Èç ðàâåíñòâ (2.51), (2.53) âûòåêàåò ôîðìóëà (1.293), ãäå α1 =(x0 ) k/2 kc− ~ β . Ôóíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè (1.293) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà ñîãëàñíî (1.295).
 ñèëó (2.36), (1.110)â îáëàñòÿõ II, III ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìy0ñîãëàñóåòñÿY−W KB .Íàéäåì ñëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè (1.107). Èç (2.48), (2.49),(2.53) âûòåêàåò, ÷òîy1óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ√4d2 y1u2123x0 31B(x0 )+(− +k+ )y1 = √−u + [x0 (k + ) +]u ×√442824du23 a×α1 Dk (u),ãäåB(x0 )(2.55)îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (2.50). Íåïîñðåäñòâåííûì äèôôå-ðåíöèðîâàíèåì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.55)195èìååò âèä√α1 4 2y1 = √√ [(2B(x0 ) − x0 u2 )Dk0 (u) + x0 uDk (u)] + α1,1 Dk (u)+44 3 a+α1,2 D−k−1 (iu).Çäåñüα1,1 , α1,2y1 êîíñòàíòû. Èç óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿñ ÂÊÁ-α1,2 = 0 . Ïîëîæèì, êðîìå òîãî, α1,1 =√α1 ñîäåðæèòñÿ ïîïðàâêà ïîðÿäêà ~.ïðèáëèæåíèåì âûòåêàåò, ÷òî0,ñ÷èòàÿ ïðè ýòîì, ÷òî âÔóíêöèÿy1òàêæå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà:√4α1 2y1 = √√ (k−1)/244 3 a2+[−x0([x0u√22u√23u+ (x0 − B(x0 )) √ ]Hk2+ B(x0 )]Hk0u√2)2e−u/4.u√ +2(2.56)Òàê êàê ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.62), òî äëÿ íàõîæäåíèÿàñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èâáëèçèz = x0 îñòàåòñÿ ðàçëîæèòü ôóíêöèþ E(z) ïî ñòåïåíÿì z −x0 .Äåëàÿ çàìåíó (2.47), ïîëó÷àåì:2ax0 βuaβ 2 (5 − x20 )u2E(z) = µ exp √+R2 (x0 )~R(x0 ){1+√2aβ 3 x0 (15 − x20 )u323/4 B(x0 )ux0 βu+ ~[−−+ √ 3/4 ] + O(~) + O(~u6 )}.3R3 (x0 )R(x0 )4 a3(2.57)Çäåñüµ = (R(x0 ))a/~−1/2 exp −4a−~R(x0 )(1)b3(1)x0 b1+R(x0 )!.(2.58)196Äàëåå ïåðåìíîæèì (2.57) è (1.107).
Ïîñêîëüêóy0 , y1îïðåäåëåíû ñî-îòíîøåíèÿìè (1.295), (2.56), òî ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ√p(z) = p0 (u) +~p1 (u) + O(~p0 ) + O(~u6 p0 )+aβ 2 (5 − x20 )u2dy02ax0 βu5 dy0+(O(~u)+O(~u)),+ exp √R2 (x0 )dudu~R(x0 )(2.59)ãäåp0 =α1 µexp2k/2√√√ 2 2! √ax0 u(5 2 − 4 3 − 2x0 )uu√√√√+H,k16 32~23/4 4 3(2.60)√√√ 2 2!√α1 µax0 u(5 2 − 4 3 − 2x0 )u√√p1 = k/2+1 3/4 √ exp √+×26a16 3~23/4 4 3("#√ 32√x0 (3(−5 + 2 6) + x0 ) uu√×+ (2 − 6)B(x0 ) √ ×622"# 2 )√uuu×Hk √+ 6 −x0 √+ B(x0 ) Hk0 √.222ÄîêàçàíàËåììà 2.7.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòà z = x0 èìååò âèäÔîðìóëà (2.54) äëÿ(1)ξk,`ôîðìå âûðàæåíèå (2.41) äëÿïîçâîëÿåò çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîéKB(z):ΦW−KBKBΦW(z) = ΦW−,0 (z)(1 + O(~) + O−+O~~+O+(z − x0 )2(z − z + )3/2~),(z − − z)3/2ãäåKBΦW−,0 (z)(2.59).c− (z − x0 )k (r0 (z))`+1= p×4Λ(z)(r1 (z))k+1/2(2.61)197× exp!√Λ1 (z)2`Λ0 (z)p√+,R(x0 )[(x0 z + 1) Λ(z) + 2(2x0 z + 1 − x20 )] Λ2 (z)(2.62)ãäåk = 0, 1, 2, .
. . , c− êîíñòàíòà, x0 ≥ 0, Λj (z) (j = 0, 1, 2) îïðåäå-ëåíû ðàâåíñòâàìè (2.38) (2.40). Ôîðìóëà äëÿ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ âx0 < 0 ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå çàìåíû â ïðàâîé ÷àñòè (2.62)(1)(1)z, x0 , b1 íà −z, −x0 , −b1 ñîîòâåòñòâåííî.ñëó÷àåÒàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåê-(1)òðàëüíîé çàäà÷è ïîñòðîåíî ( êîíñòàíòû b1(1), b3áóäóò âû÷èñëåíû íè-ξk,` çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (2.14), (2.54), à àíòèãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ p(z) ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîW KB(z) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåòèê. À èìåííî, p(z) = Φ−æå). ×èñëàíèåì óðàâíåíèÿ (2.15) íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çà èñêëþ÷å-z + , z − , x0 , à òàêæå äóãè^ z − , z + ( ëèáî ëó÷åé (∞, −i 3], [i 3, ∞) ïðè x0 = 0 ).
Âáëèçè òî÷åêïîâîðîòà z + , z − , x0 ôóíêöèÿ p(z) çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè (2.45), (2.59).1/2Àñèìïòîòèêè ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà ~3/8îò òî÷êè x0 .îò òî÷åê z ± è ïîðÿäêà ~√√Íàêîíåö, âáëèçè äóãè ^ z − , z + ( ëèáî ëó÷åé (∞, −i 3], [i 3, ∞)ïðè x0 = 0 ) èñêîìàÿ àñèìïòîòèêà ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû äâóõW KB(z), ïðè÷åì â ïåðâîé ôóíêöèè áåðåòñÿ âåòâü, îòâåôóíêöèé Φ−÷àþùàÿ îáõîäó òî÷åê z ± ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à âî âòîðîé ïî÷àñîâîé ñòðåëêå. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ p(z) âûòåêàåò èç ðàçëî-íèåì ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòà√√æåíèÿ ôóíêöèè Ýéðè (1.126).1.5.Àñèìïòîòèêà ìíîãî÷ëåíîâΦ(z)Ïîäñòàâèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èp(z)â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) è âû÷èñëèìàñèìïòîòèêó âîçíèêàþùåãî èíòåãðàëà. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèx0 6= 0.Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (0.12) íå èìååò òî÷åê ïåðåâà-ëà.
Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè, ñîãëàñíîêîòîðîé ñóììà èíòåãðàëîâ ïî êîíòóðàìγ, γz , γ̃, γx0èγ∞ðàâíà íóëþ(ñì. ðèñ. 2.4.). Òàê êàê â ñèëó àíòèãîëîìîðôíîñòè ïîäûíòåãðàëü-198z+γzzγ%-γ1x0x00γ x0γ¥z-Ðèñóíîê 2.4íîé ôóíêöèè è òåîðåìû î âû÷åòàõ èíòåãðàëû ïîγx0èγ∞ðàâíûγz âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè, òî ïðè z , íå ëåæàùèõ íà äóãå ^ z − , z + è òàêèõ, ÷òî| z − x0 |& ~3/8 , | z − z ± |& ~1/2 ìíîãî÷ëåí Φ(z) ïðåäñòàâèì â âèäå (1.131), ãäå ôóíêöèÿ N (z) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1.132).
Çäåñüçàìêíóòûé êîíòóð γ+,− ÿâëÿåòñÿ äóãîé îêðóæíîñòè ^ z − , z + , ïðîõîäèìîé äâàæäû ïî áåðåãàì ðàçðåçà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè z − , z + .íóëþ, à èíòåãðàë ïîÎí îðèåíòèðîâàí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ðàâåíñòâî, àíàëîãè÷íîå(1.131), ñïðàâåäëèâî è âáëèçè òî÷êèãäåp(z), N (z)z = x0 .Îíî èìååò âèä (1.136),îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (2.59), (1.132).Îöåíèì âõîäÿùèé â (1.132) èíòåãðàë. Èìååì:| z |`+1| N (z) |≤2πIγ+,−KB| ΦW(u) || du |−.| u |`+1 | u − z |Òàê êàê ^ z − , z + ëèíèÿ Ñòîêñà, òî íà íåé â ñèëó (2.18)KB| ΦW(u) | (1 + x20 )`/2 exp(`Ψ(u)/2)ϑ(u)−p=,4| u |`+1| Λ(u) |(2.63)199ãäå4(1 − x20 + 2x0 u)Ψ(u) = ln | 1 + u | −− 2 ln | u |,(1 + x20 )(1 + u2 )2àϑ(u)(2.64) íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ.Ïóñòüx] =Ëåììà 2.8.√2e2 − 3.ÑïðàâåäëèâàÏðè 0 <| x0 |< x]2(1 + x20 )max Ψ(u) = lnu∈^ z − ,z +3 + x202(1 + 3x20 )+1 + x20è äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ ïîâîðîòà z ± , à ïðè | x0 |≥ x]max Ψ(u) = ln(1 +u∈^ z − ,z +x20 )4x20+1 + x20è äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå −1/x0 , åñëè | x0 |> x] , è â òî÷êàõ z − , z + ,−1/x0 , åñëè | x0 |= x] .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñëó÷àé0.x0 >Ïîñêîëüêó â ñèëó (2.31), (2.33) èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà 41x0 + 1 + (1 − x40 ) cos ϕln | z |= − ln,22x204(1 − x20 + 2x0 z)8x20−=,(1 + x20 )2 (cos ϕ + (1 − x20 )/(1 + x20 ))(1 + x20 )(1 + z 2 )2 2 2(1+x)1−x00cos ϕ +ln | 1 + z 2 |= ln,222x01 + x0 òî ïðèz ∈^ z − , z +ôóíêöèÿ (2.64) ïðèíèìàåò âèä21−x0Ψ(ϕ) = ln cos ϕ +− ln(x40 + 1 + (1 − x40 ) cos ϕ)+21 + x08x20++ 2 ln(1 + x20 ).(1 + x20 )2 (cos ϕ + (1 − x20 )/(1 + x20 ))(2.65)200Äèôôåðåíöèðóÿ (2.65), íàõîäèì, ÷òîΨ0 (ϕ) = −2x20 sin ϕ[(1 + x20 )(5x20 − 3) cos ϕ − 5x40 − 3].[(1 + x20 ) cos ϕ + 1 − x20 ]2 [1 + x40 + (1 − x40 ) cos ϕ](2.66)Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî óðàâíåíèåcos ϕ =ðàçðåøèìî ëèøü ïðèx0 ≥x20 )|5x20 − 3|.
Îïðåäåëÿÿ√0 < x0 ≤ 35x40 + 3(1 + x20 )(5x20 − 3)√3,òàê êàê ëèøü òîãäà5x40 + 3 ≥ (1 +çíàê ïðîèçâîäíîé (2.66), ïîëó÷àåì, ÷òî ïðèmax Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ± ),ϕ∈[ϕ− ,ϕ+ ]à ïðèx0 >√3max Ψ(ϕ) = max{Ψ(0), Ψ(ϕ± )}.ϕ∈[ϕ− ,ϕ+ ]Çäåñüϕ±çàäàíû ôîðìóëîé (2.32).Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèèΨ,èìååì:224x0+ ln+ 2,Ψ(ϕ± ) = ln(1 + x20 ) +1 + x203 + x204x20Ψ(0) =+1 + x20+ ln(1 + x20 ).Ñëåäîâàòåëüíî íåðàâåíñòâîx0 ≥ x] .Ψ(0) ≥ Ψ(ϕ± )âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðèËåììà äîêàçàíà.Íàèáîëüøèé âêëàä â àñèìïòîòèêó èíòåãðàëà (2.63) âíîñÿò ìàëûå îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê.
Ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ëàïëàñà, à òàêæå èñïîëüçóÿ èíòåãðàë [87]Z0ïîëó÷àåì∞ 3x−1/4 e−`x dx = `−3/4 Γ,4201Ëåììà 2.9.Ïðè ` → ∞, z 6∈^ z − , z + ñïðàâåäëèâû îöåíêè:T | c− |(1 + x20 )`| N (z) |≤3/4`23 + x20`/2`(1 + 3x20 )exp1 + x20| z |`+1 ×åñëè 0 <| x0 |<√11×+,| z − z+ | | z − z− |(2.67)2e2 − 3;2T | c− |`2x0| z |`+1 ×(1 + x20 )` exp| N (z) |≤23/41 + x0`11`1/4×++,| z − z + | | z − z − | | z + 1/x0 |√åñëè | x0 |= 2e2 − 3;T | c− || z |`+1`2x202 `,| N (z) |≤ √ (1 + x0 ) exp1 + x20 | z + 1/x0 |`√åñëè | x0 |> 2e2 − 3. Çäåñü T êîíñòàíòà.Îòìåòèì, ÷òî è ïðèx0 = 0íàÿ (1.131). Íàäî ëèøü êîíòóð√√(∞, −i 3], [i 3, ∞),(2.68)(2.69)èìååò ìåñòî ôîðìóëà, àíàëîãè÷-γ+,−â (1.132) çàìåíèòü íà ëó÷èïðîõîäèìûå äâàæäû ïî áåðåãàì ðàçðåçà ïðî-òèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñíîâà íàèáîëüøèé âêëàä â èíòåãðàë (2.63)äàäóò ìàëûå îêðåñòíîñòè òî÷åê ïîâîðîòàN (z)√±i 3. ðåçóëüòàòå, äëÿïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòèêàc−N (z) ∼ 3/4`ÇäåñüT1 , T2 `/2 T2T12√ +√ .e`3z−i 3 z+i 3(2.70) íåêîòîðûå êîíñòàíòû.Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü òî÷êèz = x0 ,êîòîðàÿ äàåò îñíîâíîéâêëàä â àñèìïòîòèêó ñðåäíèõ, è íàéäåì, ïðè êàêèõx0 ôóíêöèÿ N (z)â ýòîé îêðåñòíîñòè áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñp(z) = E(z)Y (z), ãäå Y (z) ðàçëîæåíèå (1.107).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
