Диссертация (1136178), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ïðè äâèæåíèè x0 ïî âåùåñòâåííîé îñèîò −∞ äî +∞ òî÷êè z ± ñîâåðøàþò ïîëíûå îáîðîòû ïî óêàçàííûìîêðóæíîñòÿì ( ñì. ðèñ. 2.1. ) Ïîñòðîèì ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.19). Îíè ñïðàâåäëèâû âíå ìàëûõ îêðåñòíîñòåé183z+2i30x02i-z-3Ðèñóíîê 2.1òî÷åê ïîâîðîòà è èìåþò âèäY±W KB+Oc̃±1=pexp(±4~Q0 (z)~(z − x0 )2+OZZ pQ0 (z)dz ±~(z − z + )3/2+OQ (z)p1dz)(1 + O(~)+2 Q0 (z)~),(z − − z)3/2~ → 0.(2.21)Çäåñüc̃± êîíñòàíòû, â ñòåïåííûõ ôóíêöèÿõ áåðóòñÿ ãëàâíûå çíà-÷åíèÿ.
Ðàçðåç ìåæäó òî÷êàìè ïîâîðîòàz−, z+ïðîâåäåí ëèáî âäîëüz − , z + , −1/x0 ,√åñëè x0 6= 0, ëèáî âäîëü ëåæàùèõ íà ìíèìîé îñè ëó÷åé (∞, −i 3] è√[i 3, ∞), åñëè x0 = 0. Îòìåòèì, ÷òî ýòè êðèâûå ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìèÑòîêñà ( ñì. ðàâåíñòâî (2.30)). Íà ðèñ. 2.2. ( ïðè x0 6= 0 ) è ðèñ. 2.3.(ïðè x0 = 0 ) ïîìèìî îñîáûõ òî÷åê è òî÷åê ïîâîðîòà èçîáðàæåíûäóãè îêðóæíîñòè ^ z − , z + , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êèëèíèè Ñòîêñà.
Âû÷èñëèì âîçíèêàþùèå â (2.21) èíòåãðàëû. Ââåäåìôóíêöèèp√r0 (z) = Λ(z) + 2(x0 z + 1),(2.22)p√(2.23)r1 (z) = Λ(z) + 3(x0 z + 1),qr2 (z) = 2( (1 + 3x20 )Λ(z) + (1 + 3x20 )z + 2x0 ),p√r3 (z) = 2( 2(1 − ix0 ) Λ(z) + (2x0 − i(1 + 3x20 ))z + 3 + x20 − 2x0 i),184z+IVI-ViII1x0x00IIIIV-iz-Ðèñóíîê 2.23iVIIViII0III-iIV- 3iÐèñóíîê 2.3p√r4 (z) = 2( 2(1 + ix0 ) Λ(z) + (2x0 + i(1 + 3x20 ))z + 3 + x20 + 2x0 i).ÑïðàâåäëèâàËåììà 2.3.Y±W KBÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ Y±W KB ïðåäñòàâèìû â âèäåc± R(z)p=√z − x0 4 Λ(z)r (z)p0R(z)!∓(2a/~+1) r1 (z)z − x0(1)±ζk,`×p√(1)(1)(1)2 2a(x0 z + 1) Λ(z) [(b(1)1 − b3 x0 )z + b3 + b1 x0 ]× exp ∓∓×~R(x0 )R(z)R(x0 )R(z)185!pΛ(z)~~+O× √(1 + O(~) + O+(z − x0 )2(z − z + )3/22~+O), ~ → 0.(2.24)(z − − z)3/2Çäåñü c± êîíñòàíòû,(1)(1)ζk,`ξk,`1 − x20 (1)2x0 (1)1+2+b+b ].= √ [−a1 + x20 31 + x20 12 6(2.25)Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëàìè (1.84), (1.85), àòàêæå [21]pZ ppX(z)X(z) √dz+=−aln(2aX(z) + 2az + b)+zz2Zbdzp+,(2.26)2 z X(z)pZZX(z)dzbdzpp=−,(2.27)−cz2cz 2 X(z)z X(z)ãäå ìíîãî÷ëåíX(z) = az 2 + bz + c.Ïîñêîëüêóz − x01ix0ix0x0 + ix0 − i=−+++,R2 (z)4z + i z − i (z + i)2 (z − i)2òî â ñèëó (1.84), (1.85), (2.26)("√Z pp2a2x0 − i(1 + 3x20 )pQ0 (z)dz =−ix0Λ(z) +ln r2 (z)−R(x0 )1 + 3x20"p√r3 (z)2x0 + i(1 + 3x20 )p− 2(1 − ix0 ) ln+ ix0Λ(z) +ln r2 (z)−z+i1 + 3x20" pq√Λ(z)r4 (z)− 2(1 + ix0 ) ln+ (x0 + i) −+ 1 + 3x20 ln r2 (z)−z−iz+i186" pΛ(z)2x0 − i(1 +r3 (z)+ (x0 − i) −+− √lnz+iz−i2(1 − ix0 )q2r(z)2x−i(1+3x)400+ 1 + 3x20 ln r2 (z) − √ln+C =z−i2(1 + ix0 )(p√)z+1)Λ(z)2(xr3 (z)r4 (z)2aR(x0 )0=−− √ ln+ C,R(x0 )R(z)R(z)23x20 )C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
Òàê êàê ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèår3 (z)r4 (z) = 12R(x0 )r02 (z), òîãäåp√Z p2 2a(x0 z + 1) Λ(z)− 2a lnQ0 (z)dz = −R(x0 )R(z)r (z)p0R(z)!+ C.(2.28)Àíàëîãè÷íî, ðàçëàãàÿ äðîáè íà ïðîñòåéøèå è èñïîëüçóÿ (1.84),(2.27), íàõîäèì, ÷òîZp(1)(1)(1)(1)[(b1 − b3 x0 )z + b3 + b1 x0 ] Λ(z)Q1 (z)p√dz = −+2R(x0 )R(z)2 Q0 (z)(1)+ζk,` lnr1 (z)z − x0− lnr (z)p0R(z)!+ C.(2.29)Èç (2.28), (2.29) âûòåêàåò ôîðìóëà (2.24). Ëåììà äîêàçàíà.x0 6= 0 ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè z − ,z + , −1/x0 äóãà îêðóæíîñòè ^ z − , z + , à òàêæå ëåæàùèå íà ìíèìîé√√îñè ëó÷è (∞, −i 3], [i 3, ∞) ( â ñëó÷àå x0 = 0 ) ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìèÄàëåå ïîêàæåì, ÷òî ïðèÑòîêñà. Äëÿ ýòîãî äîêàæåì, ÷òî íà óêàçàííûõ êðèâûõ âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî"√Rep2(x0 z + 1) Λ(z)+ ln(1 + x20 )(1 + z 2 )!#p√Λ(z) + 2(x0 z + 1)√=1 + z2q= ln 1 + x20 .(2.30)187Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàîêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êèóðàâíåíèåì| z − x∗ | = R∗ ,z − , z + , −1/x0 ,x0 > 0.Òîãäàîïðåäåëÿåòñÿãäå11x∗ = (x0 − ),2x011R∗ = (x0 + ).2x0Ñëåäîâàòåëüíî äóãà ^ z − , z + ìîæåò áûòü çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè:z = x∗ − R∗ e−iϕ ,Çäåñüϕ ∈ [ϕ− , ϕ+ ].(2.31)3x20 − 1ϕ± = ± arccos.3x20 + 1Òàê êàê ïðèz ∈^ z − , z +(2.32)èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿϕ px0 z + 1 = i(1 + x20 )e−iϕ/2 sin ,Λ(z) =2sr2√1−3x0−iϕ/22 + 1) sin2 ϕ ,1−(3x= 2R∗ e−iϕ/2+cosϕ=2Re∗01 + 3x2021 + z 2 = R∗ e−iϕ [1 − x20 + (x20 + 1) cos ϕ]/x0 ,òî(2.33)√!p2(x0 z + 1) Λ(z)Re=(1 + x20 )(1 + z 2 ) √qϕϕ22 i2 2x0 sin 2 1 − (3x0 + 1) sin 2 = Re = 0.1 − x20 + (x20 + 1) cos ϕÓ÷èòûâàÿ òàêæå, ÷òî√p q Λ(z) + √2(x z + 1) 1 − (3x20 + 1) sin2 ϕ2 + i 2x0 sin ϕ2 0√q×=2ϕ2 ϕ221+z−x sin + cos0qq2× x0 + 1 = x20 + 1,22188ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (2.30). ñëó÷àåx0 = 0z = iy ,ïðèãäå|y| ≥√3,ðàâåíñòâî (2.30)òàêæå èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó p!√ p ±i y 2 − 3 + √2 2i y 2 − 3pRe ±+ ln = 0.21−yy2 − 1Èçó÷èì ïîâåäåíèå ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèéY±W KBâáëèçè òî÷åê ïî-âîðîòà.
Ðàçëàãàÿ âõîäÿùèå â (2.24) ôóíêöèè ïî ôîðìóëå Òåéëîðà,ïîëó÷àåìËåììà 2.4.Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæå-íèÿ:Y±W KB+O(p(z − z + )5/2~) + O( z − z + ) + O())~(z − z + )3/2ïðè z → z + ,Y±W KB+O(!(+)3/2c±2 γ+=√exp ±(iz − iz + )3/2 (1+43 ~iz − iz +| arg(iγ+ (z − z + )) |< π ;!3/2(−)2 γ−c±exp ±(−iz + iz − )3/2 (1+=√43 ~−iz + iz −p(z − − z)5/2~))) + O( z − − z) + O(~(z − − z)3/2ïðè z → z − ,(2.34)(2.35)| arg(iγ− (−z + z − )) |< π ;(x )(1)−1/2∓ζk,`Y±W KB = c± 0 (z − x0 )√2 6aexp ± 2[(z − x0 )2 −~R (x0 )2x0(z − x0 )4~3−(z − x0 ) ] (1 + O(z − x0 ) + O() + O())21 + x0~(z − x0 )2(2.36)189(+)(−)(x )ïðè z → x0 . Çäåñü c± , c± , c± 0 êîíñòàíòû,√√(2a)2/3 3(1 ∓ i 3x0 )2γ± =,R(x0 )(2.37)Íàéäåì, íàêîíåö, ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(2.15).  ñèëó (1.62), (2.18), (2.24), à òàêæå ñîîòíîøåíèép√−2(2x0 z + 1 − x20 ) + 2(x0 z + 1) Λ(z)=R(z)√2R(z)Λ0 (z)p√,(x0 z + 1) Λ(z) + 2(2x0 z + 1 − x20 )p(1)(1)(1)(1)(1)[(b1 − b3 x0 )z + b3 + b1 x0 ] Λ(z) b(1)Λ1 (z)1 z + b3√=,−R(z)Λ2 (z)2R(x0 )R(z)=ãäåΛ0 (z) = x20 (1 + 3x20 )z 2 + 2x0 (1 + 5x20 )z + 1 + 5x20 − 2x40 ,(1)(1)(1)(1)(2.38)(1)Λ1 (z) = (1 + 3x20 )(b1 − x0 b3 )2 z 2 + 2(1 + x20 )(b1 − x0 b3 )(b3 +(1)(1)(1)(1)+3x0 b1 )z + (3 + x20 )(b3 + x0 b1 )2 − 2(1 + x20 )2 (b3 )2 ,(2.39)p√(1)(1)(1)(1)Λ2 (z) = 2(1 + x20 )[((b1 − x0 b3 )z + b3 + x0 b1 ) Λ(z)+√(1)(1)+ 2(1 + x20 )(b1 z + b3 )],(2.40)èìååì:(1)(1)c−KB−1/2+ζk,`2a/~+1−ζk,`pΦW(z)=(z−x)(r(z))(r(z))×001−4Λ(z)!√2 2aΛ0 (z)Λ1 (z)p√× exp+×~R(x0 )[(x0 z + 1) Λ(z) + 2(2x0 z + 1 − x20 )] Λ2 (z)~~~×(1 + O(~) + O+O+O),(z − x0 )2(z − z + )3/2(z − − z)3/2(2.41)190(1)(1)c+KB2a/~−1/2−ζk,`−2a/~−1ζk,`pΦW(z)=(R(z))(z−x)(r(z))(r(z))×001+4Λ(z)"√#p+ 2 2(x0 z + 1) Λ(z)a 4(2x0 z + 1 −−× exp −~R(x0 )R(z)!p(1)(1)(1)(1)(1)(1)b + b1 z [(b1 − b3 x0 )z + b3 + b1 x0 ] Λ(z)√− 3−×R(z)2R(x0 )R(z)~~~×(1 + O(~) + O+O+O).(z − x0 )2(z − z + )3/2(z − − z)3/2Çäåñüx20 )(1)r0 (z), r1 (z), ζk,`çàäàíû ôîðìóëàìè (2.22), (2.23), (2.25), àc± êîíñòàíòû.Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî-KB(z)p(z).
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.41) ΦW−ðÿä âáëèçè îñîáûõ òî÷åê z 1 = i è z 2 = −i.÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîéÒåì ñàìûì îïðåäåëåí âèä ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ â îáëàñòÿõ I-VI (ñì.ðèñ. 2.2. è 2.3.).Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ îêîëî òî÷åê ïîâîðîòà. Èçóðàâíåíèÿ (2.19) âûòåêàåò, ÷òî âáëèçè22d Y~2dzà âáëèçè~2z++ (γ+3 (iz − iz + ) + O((z − z + )2 ) + O(~))Y = 0,z−d2 Y322 + (γ− (−iz + iz − ) + O((z − − z) ) + O(~))Y = 0.dzÑëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé âáëèçèz±âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèè Ýéðè:0y±= α1,± Ai(±Çäåñüα1,± , α2,±γ± (iz − iz ± )γ± (iz − iz ± ))+αBi(±).2,±~2/3~2/3 êîíñòàíòû,γ±çàäàíû ôîðìóëàìè (2.37).191 ñèëó àñèìïòîòèê äëÿ ôóíêöèé Ýéðè (1.96), (1.97) ïðè| arg(iγ+ (z − z + )) |< π/3, (z − z + )/~2/3 → ∞3/22 γ+ (iz1/6α1,+ ~0exp −y+= √ p32 π 4 γ+ (iz − iz + )+O3/2− iz + )~!(1+!3/2α2,+ ~1/62 γ+ (iz − iz + )3/2~)+ √ pexp×3~(z − z + )3/2π 4 γ+ (iz − iz + )~×(1 + O).(2.42)(z − z + )3/2 ôîðìóëå (2.42) ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò.
Ñîãëàñóåì ðàçëîæåíèå (2.42)~1/2âáëèçèz+Y−W KB ,êîòîðîå ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè I. Îíî èìååò ýêñïîíåíöèàëü-( íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà) ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìíî óáûâàþùóþ àñèìïòîòèêó (2.34). Ñëåäîâàòåëüíî,ñòàíòàÀíàëîãè÷íîα2,+ = 0,(+) √ √α1,+ = c− 2 π 4 γ+ ~−1/6 .0y−ñîãëàñóåòñÿ ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìà êîí-(2.43)Y−W KB ,êîòîðîåÿâëÿåòñÿ àñìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì (2.19) â îáëàñòè IV è ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò âáëèçèêîíñòàíòàz−. ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî(−) √ √α1,− = c− 2 π 4 γ− ~−1/6 .α2,− = 0,à(2.44)Ïóñòüµ1,± =µ2,±2z ±8(1 − x0 + x0 z ± (z ± − x0 ))+,R(z ± )R(x0 )R2 (z ± )2(1 − z 2± ) 8(1 − x20 + 2x0 z ± )+.=R2 (z ± )R(x0 )R2 (z ± )Ðàçëàãàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êèëîðà, ïîëó÷àåìz±ôóíêöèþ (2.18) ïî ôîðìóëå Òåé-192Ëåììà 2.5.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè z ± èìååò âèäa(z − z ± )a(z − z ± )20p(z) = E(z ± ) exp µ1,±+ µ2,±(y±+~2~+O0(z − z ± )3 y±~ãäå00dy±2 dy±+O ~+ O (z − z ± )+dzdz0+O (z − z ± )y±),(2.45)γ± (iz − iz ± )),~2/3çàäàíû ôîðìóëàìè (2.43), (2.44).0y±= α1,± Ai(±à êîíñòàíòû α1,±(2.46)Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó (1.96), (2.34), (2.35) îïðåäåëåííûå ôîðìóëîé (2.46) ôóíêöèèîêîëî òî÷åêz±0y+è0y−â îáëàñòÿõ V, VI ( ñì.
ðèñ. 2.2. è 2.3. )ñîãëàñóþòñÿ ñY−W KB .Ïîñòðîèì, íàêîíåö, ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòàz = x0 ,à òàêæå îïðåäåëèì ÷èñëàÐàçëîæèì â óðàâíåíèè (2.19) ôóíêöèèÒåéëîðà â îêðåñòíîñòèz = x0 .Q0 (z)R(z)ïî ôîðìóëå ðåçóëüòàòå, ïîñëå çàìåíûz − x0u= √,~βãäåè(1)ξk,` .(2.47)√4β=2(1 + x20 )√ √ ,443 aïîëó÷àåì, ÷òî√ √d2 Yu21~ 4 2 3x0 3(1)+ {− + ν + + √u − (4x0 ζk,` + B(x0 ))u +√42 443 a 2du2Çäåñü+O(~) + O(~u4 )}Y = 0.(2.48)1(1)ν = ζk,` − ,2(2.49)193r 32x0 (1) 1 − x20 (1).b −bB(x0 ) =2 1 + x20 31 + x20 1(2.50)Áóäåì èñêàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå (2.48) â âèäå (1.107).Òîãäà ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.108),îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðày0 = α1 Dν (u) + α2 D−ν−1 (iu).α1 , α2Çäåñü(2.51) êîíñòàíòû.Âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè äëÿ ôóíêöèéïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà (1.110), (1.111).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
