Диссертация (1136178), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ñîãëàñóåì ðàçëîæåíèå (1.301)z±Y−W KB (z),âáëèçè( íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà|m|−1/2) ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìêîòîðîå ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè V (ñì. ðèñ. 1.6.).  ñèëóKB(z) èìååò ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùóþ àñèìïΦW−òîòèêó ïðè ñòðåìëåíèè z ê z + è z − â ïðåäåëàõ ýòîé îáëàñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ôîðìóëå (1.283) α2,± = 0, à êîíñòàíòà(1.277), (1.278)(±) √1/6α1,± = c− 2 πτ± |m|1/6 .Àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ, ïîñòðîåííûå âáëèçè òî÷åêîáëàñòÿõ II è III òàêæå ñîãëàñóþòñÿ ñ(1.302)z+, z−,âY−W KB (z).Îïðåäåëèìµ1,± =321575√ − 1 z ∓ + √ , µ2,± =−−3+az+−1.∓aaa3/2 a1/2a3/2Ðàçëàãàÿ â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åêz + è z − ôóíêöèþ (1.261) ïî ôîðìóëåÒåéëîðà, ïîëó÷àåìËåììà 1.39.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè òî÷êè z ± èìååò âèäz − z±(z − z ± )20p(z) = E(z ± ) exp µ1,± |m|+ µ2,± |m|(y±+2413800+O (z − z ± )y± + O |m|(z − z ± )3 y± + O02 dy±+O (z − z ± )dz01 dy±|m| dz+),(1.303)2/30ãäå y±= α1,± Ai(|m|2/3 τ± (z − z ± )), à êîíñòàíòà α1,± çàäàíà ôîð-ìóëîé(1.302).Ôîðìóëà (1.292) äëÿ(1)ξ˜kïîçâîëÿåò çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîéôîðìå âûðàæåíèå (1.281) äëÿKBΦW(z)−+O=KBΦW−,0 (z)(11|m|(z − z + )3/2KBΦW(z):−+O1|m|+O+O1|m|(z − 1)2+1),|m|(z − − z)3/2(1.304)ãäåKBΦW−,0 (z) =p√c− (z − 1)k [ Λ(z) + a(z + 1)]npp=p,√4k+1/2Λ(z)[2 Λ(z) + 5 − a(z + 1)][ Λ(z) + z + 1]|m|k = 0, 1, 2, .
. .,c− êîíñòàíòà,Λ(z)(1.305)îïðåäåëåí ôîðìóëîé (1.269).Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ïîñòðîåíî. ×èñëàξ˜kçàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (1.267),p(z) ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàW KBèìåííî, p(z) = Φ−(z) ÿâëÿåò-(1.292), à àíòèãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿòå ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèê. Àñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.248) íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çà èñêëþ÷åíèåì ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòàz + , z − , 1, à òàêæå äóãè ^ z − , z + . Âáëèçè òî÷åê z + , z − , 1 ôóíêöèÿ p(z),çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè (1.303), (1.299) ñîîòâåòñòâåííî. Àñèìïòîòèêèñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêàz±è ïîðÿäêà|m|−3/81.^z−, z+,|m|−1/2îò òî÷åêîò òî÷êèÍàêîíåö, âáëèçè äóãèêîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé Ñòîê-ñà, èñêîìàÿ àñèìïòîòèêà ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû äâóõ ôóíê-KBΦW(z), ïðè÷åì â ïåðâîé ôóíêöèè áåðåòñÿ âåòâü, îòâå÷àþùàÿ−îáõîäó òî÷åê z ± ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à âî âòîðîé ïî ÷àñîöèé139âîé ñòðåëêå.
Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿp(z)âûòåêàåò èç ðàçëîæåíèÿ(1.126).3.9.Àñèìïòîòèêà ìíîãî÷ëåíîâΦ(z).Äèñêðåòíûé ìåòîäÂÊÁÏîäñòàâèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èp(z)â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) è âû÷èñëèìàñèìïòîòèêó âîçíèêàþùåãî èíòåãðàëà. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿâ (0.12) íå èìååò òî÷åê ïåðåâàëà. Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè.Ëåììà 1.40./ ^ z − , z + è òàêèõ, ÷òîÏðè z ∈| z − 1 |& |m|−3/8 ,îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé(1.131),(0.12)| z − z ± |& |m|−1/2 ,(1.306)ìíîãî÷ëåí Φ(z) ïðåäñòàâèì â âèäåãäåz n−|m|N (z) = −2πiIγ+,−KB(u)duΦW−.un−|m| (u − z)(1.307)Çäåñü çàìêíóòûé êîíòóð γ+,− ÿâëÿåòñÿ äóãîé îêðóæíîñòè^z−, z+,ïðîõîäèìîé äâàæäû ïî áåðåãàì ðàçðåçà, ñîåäèíÿþùåãîòî÷êè z − , z + , êîòîðûé îðèåíòèðîâàí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòüzëåæèò âíå öèêëàγ, z ∈/ ^ z−, z+èâûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.306). Ðàññìîòðèì êîíòóðû, èçîáðàæåííûå íàz = 1 èìååò ðàäèóñ ïîðÿäêàz ± ïîðÿäêà |m|−1/2 . Âîñïîëü-ðèñ. 1.7. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå|m|−3/8 ,à îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì âçîâàâøèñü èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè è èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîéÊîøè, ïðåäñòàâèì èíòåãðàë ïîz n−|m|Φ(z) =2πiz n−|m|−2πiIγIγ1γâ ñëåäóþùåì âèäå:KBΦW(u)duz n−|m|−=−2πiun−|m| (u − z)KBΦW(u)duz n−|m|−−2πiun−|m| (u − z)Iγ̃IγzKBΦW(u)du−−un−|m| (u − z)KBΦW(u)du−−un−|m| (u − z)140Ðèñóíîê 1.7z n−|m|−2πiIγ∞KBΦW(u)du−.n−|m|u(u − z)(1.308)Èçó÷èì âõîäÿùèå â (1.308) ñëàãàåìûå.
Èç èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè âûòåêàåò, ÷òîz n−|m|−2πiKB(u)duΦW−KB= ΦW(z).−n−|m|u(u − z)IγzÄàëåå â ñèëó àíòèãîëîìîðôíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèèγ1KBΦW(u)du−= 0,un−|m| (u − z)γ∞KBΦW(u)du−=0n−|m|u(u − z)IàIñîãëàñíî òåîðåìå î âû÷åòàõ è (1.282). Íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ (1.277),(1.278), ïðîäåôîðìèðóåì êîíòóðγ̃â êîíòóðγ+,− . ðåçóëüòàòå, ðà-âåíñòâî (1.308) ïðèíèìàåò âèä (1.131).Ïóñòü òåïåðüΦ(z) =zëåæèò âíóòðèKBΦW(z)−z n−|m|+2πiγ.ÒîãäàIKBΦW(u)du−.un−|m| (u − z)γ(1.309)141Èíòåãðàë â (1.309) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ, êîãäàæèò âíåγzëå-.  ðåçóëüòàòå, ñíîâà ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (1.131).
Ëåììàäîêàçàíà.Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþz, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðèγ1 .Àíà-ëîãè÷íî (1.308) íàõîäèì, ÷òîz n−|m|Φ(z) = −2πiIγ1p(u)duz n−|m|−2πiun−|m| (u − z)z n−|m|−2πiÈíòåãðàëû ïî êîíòóðàìγ∞Iγ̃èIγ∞KBΦW(u)du−−un−|m| (u − z)KB(u)duΦW−.un−|m| (u − z)γ̃(1.310)â (1.310) áûëè èçó÷åíû âûøå ïðèäîêàçàòåëüñòâå ëåììû 1.40., à èíòåãðàë ïî êîíòóðóγ1 âû÷èñëÿåòñÿ ñïîìîùüþ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.136), ãäåp(z), N (z)îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (1.299),(1.307).Îöåíèì âõîäÿùèé â (1.307) èíòåãðàë. Èìååì:| z |n−|m|| N (z) |≤2πIγ+,−KB(u) || du || ΦW−.|u−z |(1.311)Òàê êàê ^ z − , z + ëèíèÿ Ñòîêñà, òî íà íåé â ñèëó (1.269), (1.270),(1.272)p√| Λ(u) + a(u + 1)|np| Λ(u) + u + 1||m| |u2 + 3u + 1|n/2√( a|z ± + 1|)n==|z ± + 1||m| an/2√√= ( a − 1)( a−1)|m| .(1.312)Äàëåå, èç (1.261), (1.312) âûòåêàåò, ÷òî√√√2a|m|/2( a−1)|m||c||u+3u+1|(a−1)ϑ(u)−KBp| ΦW(u)|=(1+−4| Λ(u) |+O1|m|+O1|m||u − z + |3/2+O1).|m||u − z − |3/2142Çäåñü|u − 1|kϑ(u) = p√|2 Λ(u) + 5 − a(u + 1)|k+1/2 íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ,u ∈^ z − , z + .u = eiϕ ∈Ïîñêîëüêó ïðè^z−, z+| u2 + 3u + 1 |=| 2 cos ϕ + 3 |,(1.313)òîmax | u2 + 3u + 1 | = au∈^ z − ,z +äîñòèãàåòñÿ ïðèu = z ± .
Ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøèé âêëàä â àñèìï-òîòèêó èíòåãðàëà (1.311) âíîñÿò ìàëûå îêðåñòíîñòè òî÷åê ïîâîðîòàz±.Ó÷èòûâàÿ [87], ÷òîZ∞−1/4 −|m|xxe−3/4dx = |m|0 3Γ,4ïîëó÷àåìËåììà 1.41.Ïðè |m| → ∞,z 6∈^ z − , z + ñïðàâåäëèâà îöåíêà√√| N (z) |≤ T |m|−3/4 | c− | (a a (a − 1)a−1 |m|/2)| z |n−|m| ×11×+.| z − z+ | | z − z− |(1.314)Çäåñü T êîíñòàíòà.Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî íà îêðóæíîñòè| z |= 1 ôóíêöèÿ√p√| Λ(z) + a(z + 1) | apM (z) =| Λ(z) + z + 1 |z = 1. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (1.312), (1.313) M (z) èìååò íà äóãå ^ z − , z + ìàêñèìóì â òî÷êàõïîâîðîòà z ± .
Ðàññìîòðèì îñòàâøóþñÿ ÷àñòü îêðóæíîñòè | z |= 1.äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðèÍà íåépM (eiϕ ) =4 cos2 ϕ2√+1−a+2p4 cos2 ϕ2 + 1 − a +a cos ϕ22 cos ϕ2√a.143Òàê êàê(a − 1)M (eiϕ ) sin ϕ2diϕ,M (e ) = − p√dϕ4 cos2 ϕ2 + 1 − a + 2 a cos ϕ2M (z) íà äóãå ^ z + , 1 ïðèïðèáëèæåíèè ê z = 1 âîçðàñòàåò, à íà äóãå ^ 1, z − óáûâàåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, åäèíñòâåííîé òî÷êîé ìàêñèìóìà M (z) íà îêðóæíîñòè| z |= 1 ÿâëÿåòñÿ z = 1.òî ñîãëàñíî çíàêó ïðîèçâîäíîé ôóíêöèÿÏîñêîëüêóM (1) > M (z ± ) =√√aa√√a−1a−1,(1.315)z = 1, êîòîðàÿ äàN (z) ýêñïîíåíöèàëüíîòî â ñèëó (1.314), (1.305) â îêðåñòíîñòè òî÷êèåò îñíîâíîé âêëàä ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ,ðîå ñïðàâåäëèâîp(z). Çäåñü p(z) ðàçëîæåíèå (1.299), êîòîW KBâáëèçè z = 1 è ñîãëàñóåòñÿ ñ Φ−(z). Îòìåòèì,z=1ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûìè áóäóò è ïðîèçâîäíûå îòìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ÷òî âáëèçèN (z)îãðàíè÷åííîãî ïðè|m| → ∞ïîðÿäêà.KB(z) è ïðè | z |N (z) ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ΦW−|m|.
Îöåíêà (1.314) ïðè | z |→ ∞ îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì ãðóáîé.Äåéñòâèòåëüíî, ìàëîñòü N (z) âûòåêàåò èç (1.314), (1.282) ëèøü äëÿa ∈ (1, a∗ ), ãäå a∗ ≈ 2.34, ïîñêîëüêó ëèøü ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõïàðàìåòðà a âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîÏîêàæåì, ÷òî√√√( a + 1) a √ √a √a−1> aa−1.2Ïîëó÷èì îöåíêóN (z),ïðèãîäíóþ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ñèëó (1.304), (1.307) ïðèz n−|m|−1N (z) =2πiKBΦW−,0 (u)Iγ+,−un−|m|a ∈ (1, 5).| z |→ ∞du (1 + O 11+O).|m|z(1.316)Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (1.316) íå èìååò òî÷åê ïåðåâàëà.
Äëÿíàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè èíòåãðàëà âûðàçèì åãî ÷åðåç êîýôôèöè-144åíòû ñõîäÿùåãîñÿ âáëèçè íóëÿ ñòåïåííîãî ðÿäàKBΦW−,0 (z)=∞Xζj z j(1.317)j=0è äàëåå ïðèìåíèì äèñêðåòíûé ìåòîä ÂÊÁÈç (1.305) âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿîòíîøåíèþKBΦW−,0Ïîýòîìó ïðè| z |→ ∞[13; 15].KBΦW−,0 (z)óäîâëåòâîðÿåò ñî- ΦW KB (z)1k −,0= (−1) n−|m|−1 .zzèìååò ìåñòî ðàçëîæåíèåKBΦW−,0 (z)= (−1)k∞Xζj z n−|m|−1−j .(1.318)j=0Äàëåå, äåôîðìèðóÿ êîíòóðγ+,− ,ïðåäñòàâèì èíòåãðàë â (1.316) ââèäå ñóììû äâóõ èíòåãðàëîâ ïî öèêëàì âîêðóãu = 0èu = ∞.Ó÷èòûâàÿ ðàçëîæåíèÿ (1.317), (1.318), ïîëó÷àåì:12πiKBΦW−,0 (u)Iγ+,−n−|m|udu = ζn−|m|−1 − (−1)k ζ0 . ñèëó (1.248) êîýôôèöèåíòûζj(1.319)ñòåïåííîãî ðÿäà (1.317) óäî-âëåòâîðÿþò òðåõ÷ëåííîìó ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþR(jjj)ζj+1 + Q()ζj + P ()ζj−1 = 0.|m||m||m|(1.320)Çäåñü11(2x + 1) + O( 2 ),|m||m|√√1P (x) = (x − a)(x − a + 1) + O( 2 ),|m|√√√( a − 1)( a − 5)2Q(x) = 3x − 3( a − 1)x ++4√13( a − 1) √11+(3x −+ 5 − a(k + )) + O( 2 ).|m|22|m|R(x) = x2 + x +(1.321)(1.322)(1.323)145Àñèìïòîòèêàζj , j = 0, .
. . , n − |m| − 1, ïðè |m| → ∞ íàõîäèòñÿñ ïîìîùüþ äèñêðåòíîãî ìåòîäà ÂÊÁ. ÎïðåäåëèìsA(x) =Ñîãëàñíî [13] ïðèP (x),R(x)Q(x)B(x) = − p.2 P (x)R(x)B(x) > 1(1.324)ãëàâíûå ÷ëåíû ÂÊÁïðèáëèæåíèé(0)ζj,±èìåþò âèä(0)ζj,±Z1=pexp(|m|4B 2 (j/|m|) − 1p+ B 2 (x) − 1) −Çäåñüj0j/|m|{ln A(x) ± (ln(B(x)+j0 /|m|1 dA(x)B(x)p)}dx).2A(x) dxB 2 (x) − 1(1.325) êîíñòàíòà.Ïðîèçâåäåì çàìåíó√x1 = x −Òîãäà, åñëèx = j/|m|,ãäåa−11+.22|m|j = 0, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
