Диссертация (1136178), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ðàâíû íóëþ. Ëåììà äîêàçàíà.Äàëåå ðàññìîòðèì íîðìóËåììà 1.29.N (z).Ïðè ` → ∞ èìååò ìåñòî îöåíêàkN (z)kP` = O(`−1/4 e`Ψ(z + ) ),ãäå ôóíêöèÿ Ψ îïðåäåëåíà ôîðìóëîé(1.157).(1.187)98Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ðàâåíñòâ (1.25), (1.132), (1.148) âûòåêàåò,÷òîkN (z)k2P` =| c− |2 | cz + |(`+1)/2√=O`Z3/2 2`s(z + )+O ` e+O!2`+2|z|dz dz+2 `+2|z−z + |>~ (z − z + )(z − z + )(1+ | z | ) 2`s(z + ) dz dze√=O+2 `+2` | z + |2`|z−z + |<~ (1+ | z | )!(`+1)/2 Z 2π Z22−`−22`+2| c− | | cz + |(1 + ρ )ρρdρ dϕ√.22`0|ρ+z + |>~ ρ − 2ρz + cos ϕ + z +Z(1.188)Ïîñêîëüêó2πZ02πdϕ=,ρ2 − 2ρz + cos ϕ + z 2+| ρ2 − z 2+ |òî (1.188) ïðèíèìàåò âèäkN (z)k2P`+O| c− |2 | cz + |(`+1)/2√`=OZ|ρ+z + |>~e2`Ψ(z + )√`ρ21 + ρ2`+ρ3 dρ| ρ2 − z 2+ | (1 + ρ2 )2!.(1.189)Òàê êàê ôóíêöèÿρ2 /(1 + ρ2 )â (1.189) âîçðàñòàåò, òî íàèáîëü-øèé âêëàä â èíòåãðàë äàåò îêðåñòíîñòüîãðàíè÷åí ðàâíîìåðíî ïî`.2∞.
Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàëÓ÷èòûâàÿ, ÷òî(`+1)/2| c− | | cz + |=O e2`Ψ(z + ),ïðèõîäèì ê îöåíêå (1.187). Ëåììà äîêàçàíà.Òàê êàê â ñèëó (1.161)(1.187) âûòåêàåò, ÷òîñkp(z)kP` .Ψ(z + ) < Ψ(1)kN (z)kP`, òî èç ôîðìóë (1.180),ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà ïî ñðàâíåíèþÄàëåå èç (1.131), (1.136), (1.180) è íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ïîëó÷àåì, ÷òî àñèìïòîòèêà íîðìû ìíîãî÷ëåíàΦ(z)99èìååò âèä1/2kΦ(z)kP` = kp(z)k2P` + O(kp(z)kP` kN (z)kP` ) + O(kN (z)k2P` )=α1 | µ | 2−(`+1)/2(Σ0 (b))1/2 (1 + O(~)) ,=√ √4 2π b + 5b + 6Çäåñüµ, Σ0 (b)~ → 0.(1.190)çàäàíû ôîðìóëàìè (1.121), (1.181).Òàêèì îáðàçîì, åñëè âõîäÿùàÿ â (1.122) êîíñòàíòà√(`+1)b/√24√√ p42+ 3α1 = π b2 + 5b + 62(`+3+2k)/4 (Σ0 (b))−1/2 ×× (1 + O(~)) ,(1.191)kΦ(z)kP` = 1 + O(~), ~ → 0,(1.192)òî óñëîâèåáóäåò âûïîëíåíî. Íàõîæäåíèå ìíîæèòåëÿñòðîåíèåα1âp(z)çàâåðøàåò ïî-Φ(z).2.11.Èòîãîâàÿ òåîðåìàÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 1.2.ξk,`Ïóñòü ÷èñëî322a2 p 21= a (b + )(1 + ) −b + 5b + 6 (k + ) + O(`−2 ),2``22(1.193)k = 0, 1, 2, .
. . , à ìíîãî÷ëåí Φk,` (z) îïðåäåëåí ôîðìóëîé (0.18), ãäåp(u) ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òàêîå, ÷òî√α1 èìååò âèä (1.191). Òîãäà ïðè b > 6 ξk,` è Φk,` (z) ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è àñèìïòîòè÷åñêîéñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è (1.38), (1.30) ïðè ` → ∞ â ïðîñòðàíñòâå P` . Áîëåå òî÷íî, åñëè ξk,` èìååò âèä (1.193), òî ìíîãî÷ëåíΦk,` (z) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.38) ñ òî÷íîñòüþ O(`−2 ) ñîöåíêîé íåâÿçêè â íîðìå P` , à òàêæå óñëîâèþ íîðìèðîâêè (1.30) ñòî÷íîñòüþ O(`−1 ).100Äîêàçàòåëüñòâî. Îöåíêà íåâÿçêè ïðîèçâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ àñèìïòîòèêè íîðìû. Îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èí-z = z = 1 .
Ïîýòîìó äîñòàz = 1 , ãäå îíà èìååò âèäòåãðàëà âíîñèò ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êèòî÷íî îöåíèòü íåâÿçêó âáëèçè òî÷êèR = O((z − 1)4 p0 ) + O(~2 p0 ) = O(~2 (1 + (t2 + r2 )2 )p0 ).Çäåñüp0çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì (1.123), àÀñèìïòîòèêàkRkP`tèr ðàâåíñòâîì (1.184).ñîäåðæèò âìåñòî ôóíêöèèΣ0 (b), êàê áûëîâ (1.190), ñëåäóþùèé èíòåãðàëZθ(t, r, b)(1 + (t2 + r2 )2 )2 | Hk (r + it) |2 dt dr.R2 ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì, ÷òîkRkP` = O(~2 ), ~ → 0.Óñëîâèå íîðìèðîâêè (1.30) âûïîëíåíî â ñèëó (1.190), (1.191).Òåîðåìà äîêàçàíà.0Îïåðàòîð0f (S 1 , S 2 ) : P` → P` , ãäå f (S1 , S2 ) èìååò âèä (1.20), ÿâ-ëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì.
Ïîýòîìó, êàê èçâåñòíî [54], âáëèçè àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé0ðàòîðàf (S 1 , S 2 )èìåþòñÿ òî÷êè ñïåêòðà îïå-.Òàêèì îáðàçîì, ïðèλk,`ξk,`0`→∞ôîðìóëà132 8a4 p 21 4a4= 2a(1+ )+ 2 (b+ )(1+ )− 3 b + 5b + 6(k + )+O(`−4 ),``2``2(1.194)k = 0, 1, 2, . . . , çàäàåò àñèìïòîòèêó ñïåêòðàëüíîé ñåðèè âáëèçè âåðõíåé ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà.  (1.194) ó÷òåíû ïîïðàâêèïîðÿäêà~2è~3 .2.12.Ôîðìóëû äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõÏåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ àñèìïòîòèêè ñðåäíèõ çíà÷åíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Ýòà çàäà÷à ðàññìàòðèâàëàñü, íàïðèìåð, â[8; 50]. Âû÷èñëåíèå êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ïðîèçâîäèòñÿ àíà-ëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ íîðìû.101Íà÷íåì ñ îáîñíîâàíèÿ ôîðìóëû (1.37).
ÏóñòüΦk,` (z) àñèìï-òîòè÷åñêàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (1.38), (1.30), à îïåðàòîðû000S 1, S 2, S 3çàäàíû ôîðìóëàìè (1.28).Ëåììà 1.30.Ïðè ~ → 0 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà00(S 1 Φk,` , Φk,` )P` = a + O(~),(S 2 Φk,` , Φk,` )P` =0= O(~),(S 3 Φk,` , Φk,` )P` = O(~).(1.195)Äîêàçàòåëüñòâî. Îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èíòåãðàëîâz = z = 1, ãäåÄèôôåðåíöèðóÿ p(z), íàõî-äëÿ ñðåäíèõ òàêæå âíîñèò ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êèΦk,` (z)çàäàåòñÿ ðàçëîæåíèåì (1.122).äèì, ÷òîp√dp~ = a(p0 + ~p1 ) + a(z − 1)(−3 − b + b2 + 5b + 6)p0 +dz√√ √ pau4+ ~ a b2 + 5b + 6iα1 µ exp( √ √+4 22~ b + 5b + 6!r2ub+3iu+1−)Hk0 ( √ ) + O(~p0 ) + O(~u6 p0 )+4b+22aβu a(b + 3)β 2 u2dy0dy0+ exp √ −(O(~u) + O(~u5)).2dudu~Ñëåäîâàòåëüíî,0√√0(S 1 Φk,` , Φk,` )P` = (S 1 (p0 +~p1 ), p0 +~p1 )P` + O(~) = (a(p0 +√√+ ~p1 ) + a(z − 1)p0 + a(1 − z)p0 , p0 + ~p1 )P` + O(~) = a + O(~).0Âû÷èñëÿÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå00(S 2 Φk,` , Φk,` )P` = (S 2 (p0 +√= (ia(p0 +S 2,èìååì√√~p1 ), p0 +~p1 ) + ia(z − 1)p0 − ia(p0 +~p1 )P` + O(~) =√~p1 ) − ia(z − 1)p0 −102√ √ p4+ 5b + 6)p0 − i ~ a b2 + 5b + 6iα1 µ×−ia(z − 1)(−3 − b +!r√2auub+30 iu× exp ( √ √+1−)H( √ ), p0 )P` +k4b+222~ 4 b2 + 5b + 6pb2+O(~) = O(~).(1.196) ôîðìóëå (1.196)Zθ(t, r, b)(it − r) | Hk (r + it) |2 dt dr = 0,(1.197)R2ZR2Z1=θ(t, r, b)2R2θ(t, r, b)Hk0 (r − it)Hk (r + it)dt dr =∂∂| Hk (r + it) |2 +i | Hk (r + it) |2 dt dr = 0,∂r∂t(1.198)òàê êàê â (1.197), (1.198) èíòåãðèðóþòñÿ íå÷åòíûå ôóíêöèè â ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ.Íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ (1.197), (1.198), ïîëó÷àåì:00(S 3 Φk,` , Φk,` )P` = (S 3 (p0 +√√~p1 ), p0 +~p1 )P` + O(~) =√√= (a(p0 + ~p1 ) − a(p0 + ~p1 ) − a(z − 1)p0 − a(z − 1)(−3 − b+√p√ √ pau422+ b + 5b + 6)p0 − ~ a b + 5b + 6iα1 µ exp( √ √+2~ 4 b2 + 5b + 6!r2ub+3iu1−)Hk0 ( √ ), p0 )P` + O(~) = O(~).+4b+22Ëåììà äîêàçàíà.Èç ðàâåíñòâ (1.195) è ôîðìóëû Òåéëîðà âûòåêàåòÒåîðåìà 1.3.Ïóñòü F (S1 , S2 , S3 ) ìíîãî÷ëåí, òàêîé, ÷òî F (a,0000000, 0) 6= 0 .
Òîãäà äëÿ îïåðàòîðà F (S 1 , S 2 , S 3 ) , ãäå S 1 , S 2 , S 3 óïîðÿäî÷åíû ïî Âåéëþ, ôîðìóëà äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ñ òî÷íîñòüþ103O(~) ïðè ~ → 0 èìååò âèä000(F (S 1 , S 2 , S 3 )Φk,` , Φk,` )P` = F (a, 0, 0) + O(~), ~ → 0.Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà (1.37).Íåòðèâèàëüíûå ïîïðàâêè â ôîðìóëå äëÿ ñðåäíèõ âîçíèêàþòâ ÷ëåíàõ ïîðÿäêà~. Ïðè âûâîäå ýòèõ ïîïðàâîê ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òîñëåäóþùèé ÷ëåí ~p2 â ðàçëîæåíèè (1.122) ñîäåðæèò ïîêàçàòåëüíóþôóíêöèþ ñ òàêèì æå àðãóìåíòîì, êàê è p0 , p1 . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè2â ôîðìóëå (1.70) ïîïðàâêà ïîðÿäêà ~ ðàâíà(2)ξk,`2√ 23b15b + 5b + 61]−k++[ −= k+24 16(b2 + 5b + 6)22+5b3b+ −,16 8 64(b2 + 5b + 6)òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿr2α1 µβaβup2 =exp ( √ +2~1−b+3b+2!( 6uiu) {− √[1+422 41iu2b10 + 4b3b + 10√√[k+]++41−−]++18(b2 + 5b + 6)2b2 + 5b + 62b2 + 5b + 6 2piu53(k + 1)biu[b− b2 + 5b + 6+ (k+1)− 2+ √]+α2 }Hk ( √ )+28(b + 5b + 6)22 5 3iu8 + 3biu7b√+{− √+ √[− +]+2 8(b2 + 5b + 6)2 3 b2 + 5b + 62iu p 23(k + 1/2)b510 iu+ √ [ b + 5b + 6 +−k+]}Hk ( √ ) ,8(b2 + 5b + 6) 2222(1.199)òàêàÿ, ÷òî àñèìïòîòèêà âáëèçèíèåìKBΦW(z)−.
Êîíñòàíòàα2z=1ñîãëàñóåòñÿ ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæå-â (1.199) íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîð-ìèðîâêè (1.30).Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.3. äîêàçûâàåòñÿ104000Ïóñòü F (S 1 , S 2 , S 3 ) îïåðàòîð, ãäå F (S1 , S2 , S3 )Òåîðåìà 1.4.000 ìíîãî÷ëåí, òàêîé, ÷òî F (a, 0, 0) 6= 0 , à îïåðàòîðû S 1 , S 2 , S 3óïîðÿäî÷åíû ïî Âåéëþ. Òîãäà ôîðìóëà äëÿ êâàíòîâûõ ñðåäíèõ ñòî÷íîñòüþ O(~3/2 ) ïðè ~ → 0 èìååò âèä000(F (S 1 , S 2 , S 3 )Φk,` , Φk,` )P`−a] +0∂F(a, 0, 0)[(S 1 Φk,` , Φk,` )P` −= F (a, 0, 0) +∂S100∂F∂F(a, 0, 0)(S 2 Φk,` , Φk,` )P` +(a, 0, 0)(S 3 Φk,` , Φk,` )P` +∂S2∂S3001 ∂ 2F1 ∂ 2F22(a,0,0)((S)Φ,Φ)(a,0,0)((S++2k,`k,` P`3 ) Φk,` , Φk,` )P` +222 ∂S22 ∂S30000∂ 2FS 2S 3 + S 3S 2(a, 0, 0)(Φk,` , Φk,` )P` + O(~3/2 ).+∂S2 ∂S32Çäåñü0(S 1 Φk,` , Φk,` )P` = a −0(S 2 Φk,` , Φk,` )P` = i~0(S 3 Φk,` , Φk,` )P` = ~~ Σ1 (b)+ ~ + O(~3/2 ),2 Σ0 (b)Σ2 (b) 3− i~ + O(~3/2 ),Σ0 (b) 2Σ2 (b) 3− ~ + O(~3/2 ),Σ0 (b) 2p0((S 2 )2 Φk,` , Φk,` )P` = ~a{− (b + 2)(b + 3)(2k + 1) − (b + 3)++(b + 3)Σ1 (b)} + O(~3/2 ),Σ0 (b)0((S 3 )2 Φk,` , Φk,` )P` =pΣ1 (b)} + O(~3/2 ),= ~a{ (b + 2)(b + 3)(2k + 1) + (b + 2) − (b + 2)Σ0 (b)0000pS 2S 3 + S 3S 25(Φk,` , Φk,` )P` = i~a{ (b + 2)(b + 3)(2k + 1) + (b + )−22pΣ3 (b)+ (b + 2)(b + 3)} + O(~3/2 ),Σ0 (b)105ôóíêöèèZΣj (b) =θ(t, r, b)σj (t, r, b) | Hk (r + it) |2 dt dr,j = 1, 2, 3,R2(1.200)ãäå θ çàäàíà ôîðìóëîé(1.179),àt2 + r 2t4r2 t2σ1 = p, σ2 = −++b + 2 (b + 2)(b + 3)(b + 2)(b + 3)r48b + 232p++t+ 2k + 1 −b+32 (b + 2)(b + 3)t2r28b + 172p−r+ 2k + 1 , σ3 =+.b+2 b+32 (b + 2)(b + 3) 3.(1.201)Àñèìïòîòèêà ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà âìàãíèòíîì ïîëå âáëèçè íèæíèõ ãðàíèöñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ3.1.Ââåäåíèå ê 3Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá àòîìå âîäîðîäà â ìàãíèòíîì ïîëå.
 èññëåäóåìîé ìîäåëè íåðåëÿòèâèñòñêèé ãàìèëüòîíèàí àòîìà âîäîðîäàâ îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå èìååò âèä (0.20), (0.21), ãäå ÷åðåçx = (x1 , x2 , x3 ) îáîçíà÷åíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â R3 , ∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà, ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî âäîëü îñè x3 ; ïàðàìåòð εâ (0.20) ïðîïîðöèîíàëåí íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ.
Ýòà çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé ôèçè÷åñêèé è ìàòåìàòè÷åñêèé èíòåðåñ. Åé ïîñâÿùåíîáîëüøîå ÷èñëî ðàáîò ( ñì., íàïðèìåð, [47; 84;95; 99; 100; 109; 116;130]).Ïðèìåíèì èçëîæåííûé â 1 îáùèé ìåòîä ê çàäà÷å îá àòîìåâîäîðîäà[71;153]. 3 ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà áóäåò íàéäå-íà àñèìïòîòèêà ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà â ìàãíèòíîì ïîëå âáëèçèíèæíèõ ãðàíèö ñïåêòðàëüíûõ êëàñòåðîâ ( ñì., òåîðåìû 1.9. è 1.12.,ãäå ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-106íèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé).
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿ àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ãëîáàëüíà. Ïîëó÷èòü ååñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè, òàêèìè êàê ëó÷åâîé ìåòîä èëè òåîðèÿ êîìïëåêñíîãî ðîñòêà, íåâîçìîæíî.3.2.Ðåãóëÿðèçàöèÿm.Çàôèêñèðóåì öåëîå ÷èñëîL2 (R3 ) ïðîñòðàíñòâåðàññìîò-ðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ãàìèëüòîíèàíà (0.20) è äëÿòðåòüåé êîìïîíåíòû óãëîâîãî ìîìåíòà:(H0 + ε2 W)ψ = Eψ,M3 ψ = mψ.(1.202)Ñëåäóÿ [38], ïðîèçâåäåì ðåãóëÿðèçàöèþ ãàìèëüòîíèàíà (0.20).Äëÿ êàæäîãîìåííóþn≥1q ∈ R3E=−è1,4n2 ν 2E<0ôóíêöèþ ψ̃èââåäåì ïàðàìåòðûèµ,íîâóþ ïåðå-ïî ôîðìóëàìµ = ε2 n6 ν 4 ,Êðîìå òîãî, ïîëîæèìν~ = 1/nq=ψ(x) =ψ̃(q).n2(1.203)è ðàññìîòðèì îïåðàòîðû1∂S0 = |q|( + (−i~ )2 ),4∂qM3 = q1 (−i~x,n2 νS1 =|q| 2(q1 + q22 ),4∂∂) − q2 (−i~).∂q2∂q1Çàìåíà (1.203) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å(S0 + µS1 )ψ̃ = ν ψ̃,â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåL2− (R3 )πhϕ, ϕ i− =40×èñëîνM3 ψ̃ = ~mψ̃ZR3(1.204)ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìϕ(q)ϕ̄0 (q)dq.|q|â (1.204) ýòî èñêîìîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ൠ≥ 0-ïàðàìåòð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
