Диссертация (1136178), страница 15
Текст из файла (страница 15)
òåîðåìó 1.10.).3.5.Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÐàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.228). Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (1.227),ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ√√13 22R(z) d2 Φk−(2a−1−+3(a−1−)z)z−|m|2 dz 2|m||m||m|√√11 dΦk+ ( a − 1)( a − 1 −)z−−1 −|m| dz|m|#˜√11ξk1− (1 +)(3 a − 2 −)+Φk = 0,2|m||m|4(1.248)ãäåR(z) = z(z 2 + 3z + 1),n21a==,|m|2c2(1.249)n2˜ξk =ξk .|m|2(Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé èíäåêñk(1.250)Φáóäåò íèæå5)/2,(1.251)ó ôóíêöèèîïóùåí.) Îíî èìååò òðè îñîáûå òî÷êèz 1 = 0,z 2 = (−3 +√5)/2,z 3 = (−3 −êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿòî÷êóz 4 = ∞.√R(z) = 0,à òàêæå îñîáóþÒàê êàê âñå ÷åòûðå îñîáûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ðåãó-ëÿðíûìè, òî (1.248) åñòü óðàâíåíèå êëàññà Ôóêñà[20; 83].
Ôóê-118ñîâû óðàâíåíèÿ ñ ÷åòûðüìÿ îñîáûìè òî÷êàìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãîéíà.  äàííîì ïàðàãðàôå áóäóò íàéäåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè (ìíîãî÷ëåíû) äëÿ çàäà÷è (1.248), (1.229), åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.230), (1.231).Íàì ïîòðåáóåòñÿ ðÿä ðåçóëüòàòîâ èç òåîðèè êîãåðåíòíûõ ïðå-P[m, n] ðàññìîòðèì äóP̃[m, n], ñîñòîÿùåå èç ìåðî-îáðàçîâàíèé [137]. Íàðÿäó ñ ïðîñòðàíñòâîìàëüíîå åìó ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâîìîðôíûõ ðàñïðåäåëåíèé íàC/{0}âèäàn−|m|−1j=0Íîðìà â ïðîñòðàíñòâåkg̃k2P̃[m,n]P̃[m, n]1=(2π)2g̃jXg̃(z) =z j+1.âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåI IK(w, z)g̃(z)g̃(w)dzdw,γγãäå êîíòóðíûå èíòåãðàëû âçÿòû ïî öèêëàìγâîêðóã òî÷êèz=0,êîòîðûå îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, àn−|m|−1K(w, z) =Xkj (zw)j(1.252)j=0 âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî.
Êîíñòàíòûìè (1.224). ÑïðàâåäëèâàËåììà 1.32.kjâ (1.252) çàäàíû ðàâåíñòâà-[137]Äâîéñòâåííîñòü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè P̃[m, n] èP[m, n] çàäàåòñÿ îòîáðàæåíèåìK : P̃[m, n] → P[m, n],1(Kg̃) (w) =2πiIK(w, z)g̃(z)dz,γÎáðàòíîå îòîáðàæåíèå èìååò âèä1K g (z) = −2πi−1IL̃(w, z)g(w)dw,γ119ãäån−|m|−1XL̃(w, z) =j=01.kj (wz)j+1(1.253) ìåðîìîðôíîå âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî.G(u, w) ÿäðî ñóïåðïîçèöèè îïåðàòîðîâ K−1Îáîçíà÷èì ÷åðåçK.èÈç ôîðìóë (1.252), (1.253) âûòåêàåò, ÷òî1G(u, w) =2πi=12πiIIK(w, z)L̃(u, z)dz =γn−|m|−1Xkj (zw)j γn−|m|−1j=0X`=01 dz =k` (uz)`+1n−|m|−1 j1 Xwun−|m| − wn−|m|=.= n−|m|u j=0uu(u − w)ßäðî (1.254) â ïðîñòðàíñòâåðàòîð, à íà ìíîæåñòâåJ(1.254)P[m, n] îïðåäåëÿåò òîæäåñòâåííûé îïå-àíòèãîëîìîðôíûõ â îêðåñòíîñòè íóëÿôóíêöèé ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì íà ïðîñòðàíñòâîP[m, n].Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.248) â âèäå (0.12), ãäåp ∈ J,ôóíêöèÿàGçàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.254).
Ïîä äåéñòâèåì0îòîáðàæåíèÿ (0.12) îïåðàòîðûB̂2 , B̂3 : J → J ,0B 2, B 3ïðåîáðàçóþòñÿ â îïåðàòîðûà óðàâíåíèå (1.248) â óðàâíåíèå2 2212B̂3 − 8B̂2 − 4~ m + 4~ − ξk p = 0.×òîáû âû÷èñëèòü00B̂2 , B̂3(1.255)âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì00000~2A(B − C) ~B2 =+ (n+|m|+1)(B+C), B 3 = −(A)2 + (n2 +m2 −1),2440(1.256)0ãäå îïåðàòîðû00A, B , Cèìåþò âèä (1.42), à ÷èñëî ñèëó óñëîâèé (1.230), (1.231)` → ∞.` = n − |m| − 1.Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû120(1.42) ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè000000B = S 1 − iS 2 ,A = S 3,00C = S 1 + iS 2ñ óäîâëåòâîðÿþùèìè öèêëè÷åñêèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì0000[S 1 , S 2 ] = i~S 3 ,00îáðàçóþùèìè àëãåáðû00[S 2 , S 3 ] = i~S 1 ,000[S 3 , S 1 ] = i~S 20su(2) S 1 , S 2 , S 3 .0Ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ (0.12) îïåðàòîðûçóþòñÿ â îïåðàòîðûÂ, B̂, Ĉ : J → J ,00A, B, Cïðåîáðà-îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâàìè(1.43), (1.44), (1.46).
Íàêîíåö, èç (1.256), (1.43), (1.44), (1.46) âûòåêàåòËåììà 1.33.Îïåðàòîðû B̂2 , B̂3 èìåþò âèäd2d~22u(u + 1) 2 − ((2n − |m| − 3)u2 − |m| − 1) +B̂2 =2dudu ~2 du` d`+1+(n − 1)(n − |m| − 1)u − (u + |m| + 1),2 du`! du`+1d2d1B̂3 = −~ u−(n−1)(|m|+1).−(n−|m|−2)udu 2du222Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü íóëÿ, çàäàâàåìóþ íåðàâåíñòâîì| u |<| z 2 | −δ,ãäåz 2 = (−3 +√√5)/ 2,àδ>0(1.257) êîíñòàíòà.
 ýòîé îêðåñòíîñòèàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.248) çàäàåòñÿ ÂÊÁ-ïðèáëè-ΦW KB (z) = t(z)e`s(z) (1 + O(`−1 )), ` → ∞. Çäåñüs(z), t(z) àíòèãîëîìîðôíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì t(z) 6= 0 . Ïðè ïîäW KBñòàíîâêå Φ(u) â (1.255) âîçíèêàåò íåâÿçêà W , êîòîðàÿ â îáëàñòèæåíèåì[57; 88](1.257) èìååò âèäW = O(`−2 ΦW KB ) + r̂ΦW KB ,(1.258)121ãäå îïåðàòîðdu` d`+1r̂ = 4~ (u + |m| + 1),du`! du`+12ÂûðàæåíèåO(`−2 ΦW KB )â (1.258) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îöåí-êó íåâÿçêè ÂÊÁ - ïðèáëèæåíèÿ, êîãäà â óðàâíåíèè (1.255) âìåñòî0B̂2 , B̂3ôèãóðèðóþò0B 2, B 3, àr̂ΦW KBâîçíèêàåò èç-çà íàëè÷èÿ âB̂2äîïîëíèòåëüíîãî ñëàãàåìîãî−Ïîêàæåì, ÷òîíåíèþ ñu` d`+1~2 d.(u + |m| + 1)2 du`! du`+1r̂ΦW KBäàåò ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûé âêëàä ïî ñðàâ-`−2 ΦW KB .Òåîðåìà 1.6. äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ñïðàâåäëèâàîöåíêà r̂ΦW KB = O(`−∞ ΦW KB ), ` → ∞.γ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñà R0 , ïðè÷åì R0 < |z 2 | − δ . Òîãäà â ñèëó èíòåãðàëüíîé ôîðìóëûÊîøè ïðè | u |< R0 èìååì:Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòür̂ΦW KB2(` + 1)=− 2n πiIγ(nv − (|m| − 1)u)u` W KBΦ(v)dv.(v − u)`+3Ïðèìåíèì ê (1.259) íåðàâåíñòâà Êîøè| u |≤ R0 /2,W KB|r̂Φ(1.259)[93].  ðåçóëüòàòå, åñëèòî ïîëó÷àåì îöåíêó(` + 1)(2n + |m| − 1)2`+3 | u |`(u)| ≤max | t(u) | ×u∈γa|m|2 R0`+1× exp (` max Re s(u)).u∈γÄàëåå, ïîñêîëüêó â îáëàñòè (1.257)öèïà ìàêñèìóìà ïðè| t(u) |> 0 ,òî â ñèëó ïðèí-| u |≤ R0| ΦW KB (u) |≥ min | t(u) | exp (` min Re s(u)) > 0.u∈γu∈γ122Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè| u |≤ R0 /2, òî W KB √√ r̂Φ ( a − 1)(2 a + 1)8 maxu∈γ | t(u) |(u)× ΦW KB (u) ≤aR0minu∈γ | t(u) |× exp (`{ln | u | − ln R0 + ln 2 + max Re s(u) − min Re s(u)}),u∈γu∈γ(1.260)à, çíà÷èò, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.60), ãäå0 < R1 <R0exp (min Re s(u) − max Re s(u)),u∈γu∈γ2ïðàâàÿ ÷àñòü (1.260) ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ôîðìóëå (0.12) öèêëγâîêðóãu = 0ëåæèò â îáëàñòè (1.60), òî âìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.255)` + 2 ïîðÿäêà â ïðàâóþ ÷àñòü (0.12) ìîæíî ïîäñòàâèòüàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà (1.248).3.6.Ìíîãîòî÷å÷íàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷àÈçó÷èì ïîâåäåíèå ðåøåíèé (1.248) âáëèçè îñîáûõ òî÷åê.
Ðàçëàãàÿ äðîáü íà ïðîñòåéøèå, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî√√3 221|m|(2 a − 1 −)z + 3( a − 1 −)z − 1 −=−R(z)|m||m||m|3XAj=,z−zjj=1ãäåA1 = |m| + 1, A2 = A3 = −n + 1.Ðåøàÿ çàòåì îïðåäåëÿþùèå( èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ) óðàâíåíèÿj = 1, 2, 3; i = 1, 2,(2)(i)(i)= 0,íàõîäèì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëèâ îñîáûõ òî÷êàõ (1.251) ðàâíûρj = n, j = 2, 3.z4 = ∞(i)ρj (ρj − 1) + Aj ρj(1)ρj(2)= 0, j = 1, 2, 3; ρ1= −|m|,Èç îïðåäåëÿþùåãî óðàâíåíèÿ äëÿ îñîáîé òî÷êè(i)(i)ρ(i)∞ (ρ∞ − 1) + (2n − |m| − 1)ρ∞ + (n − 1)(n − |m| − 1) = 0,i = 1, 2,123íàõîäÿòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè(1)(2)ρ∞ = −n + |m| + 1, ρ∞ =−n + 1.Ïðèξ˜ = ξ˜kòî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.248),(1.229) ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû èç ïðîñòðàíñòâàP[m, n].Èõ õàðàêòå-ðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè â îñîáûõ òî÷êàõ (1.251) ðàâíû íóëþ, à â(1)z 4 = ∞ ρ∞ .
Îòìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (1.230),(2)(1.231) ðåøåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè ρj , j = 1, 2,3, 4, íå ëåæàò â ïðîñòðàíñòâå P[m, n] ( è íå ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè(2)êîé ïîëèíîìîâ èç P[m, n] ). Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ j = 2, 3 ρj>(2)(2)n − |m| − 1, à ïðè |m| > 0 ρ1 < 0, −ρ∞ > n − |m| − 1.òî÷êåÏðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.248)ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò èõ ïîâåäåíèå âáëèçè îñîáûõ òî÷åê. Íàðÿäó ñî ñïåêòðàëüíîé çàäà÷åé (1.248), (1.229) ðàññìîòðèì ìíîãîòî÷å÷íóþ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ÷èñåëξ˜k(ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), ïðè êîòîðûõ ó óðàâíåíèÿ (1.248) ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå àíòèãîëîìîðôíûå ðåøåíèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè êîòîðûõ â îñîáûõ òî÷êàõ (1.251) ðàâíû íóëþ, à â îñîáîéòî÷êåz4 = ∞−n + |m| + 1.p(u) àñèìïòîòè÷åñêîåïîêàçàòåëü ðàâåíÅñëè ÷èñëîξ˜kè ôóíêöèÿðåøåíèå òà-êîé ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è, òî ïðè ïîäñòàíîâêåp(u)âΦ(z) àñèìïòîïðîñòðàíñòâà P[m, n].
Óñëî-ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) ïîëó÷àåì ìíîãî÷ëåíòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.248) èçâèå íîðìèðîâêè (1.229) äëÿùèéñÿ âp(u)è ìíîãî÷ëåíΦ(z)ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñîäåðæà-ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëîΦ(z)ξ˜kÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì èñõîäíîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.248), (1.229).3.7.ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå. Ëèíèè ÑòîêñàÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ(1.248). Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè (1.62) [20], ãäå2E(z) = z + 3z + 1(√a|m|−1)/2z−(|m|+1)/2,(1.261)124óðàâíåíèå (1.248) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó (1.64).Ëåììà 1.34.Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(|m|2 − 1) 4ξ˜k |m|25(a − |m|−2 )32Q(z) =[z +2z +− 1 z +2z +1]−.4R2 (z)1 − |m|−24R(z)(1.262)Ïîñêîëüêó âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.230), òî èç (1.262) âûòåêàåò,÷òî|m|2 P (z) ξ˜k |m|21Q(z) =−+ O (1) + O.4R2 (z)4R(z)R2 (z)Çäåñü(1.263)P (z) = z 4 + 2z 3 + (5a − 1)z 2 + 2z + 1, à R(z) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(1.249).Äàëåå ïîêàæåì, êàê óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ó óðàâíåíèÿ (1.64)z 0 ïîçâîëÿåò íàéòè àñèìïòîòèêó (1.246) äëÿξk .
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Q(z 0 ) = 0, Q0 (z 0 ) = 0 ñ òî÷íîñòüþ O(1).˜k R(z 0 ) = 0, P 0 (z 0 ) − ξ˜k R0 (z 0 ) = 0. Èç ñèëó (1.263) èìååì: P (z 0 ) − ξýòèõ ðàâåíñòâ âûòåêàåò óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ z 0êðàòíîé òî÷êè ïîâîðîòà[z 40 + 2z 30 + (5a − 1)z 20 + 2z 0 + 1][3z 20 + 6z 0 + 1]−−[4z 30 + 6z 20 + 2(5a − 1)z 0 + 2][z 30 + 3z 20 + z 0 ] = 0,à òàêæå àñèìïòîòèêà(1.264)P (z 0 )ξ˜k ∼.R(z 0 )(1.265)Ðàçëàãàÿ ëåâóþ ÷àñòü (1.264) íà ìíîæèòåëè(z 20 − 1)(z 20 + (3 −√5a)z 0 + 1)(z 20 + (3 +√5a)z 0 + 1) = 0,ïîëó÷àåì, ÷òî ó óðàâíåíèÿ (1.264) èìååòñÿ 6 êîðíåé−1,−3 +z 0,3 =√z 0,1 = 1, z 0,2 =q√√√ √5a + 5i ( 5 − a)( a − 1/ 5)2,125−3 +√q√√√ √5a − 5i ( 5 − a)( a − 1/ 5)z 0,4 =Åñëè â,2√√ q√√√ √−3 − 5a + 5 ( 5 + a)( a + 1/ 5)z 0,5 =,2√√ q√√√ √−3 − 5a − 5 ( 5 + a)( a + 1/ 5).z 0,6 =2(1.265) ïîëîæèòü z 0 = 1, òî ïîëó÷àåìξ˜k ∼ a + 1.(1.266) ñèëó (1.250) èç (1.266) âûòåêàåò àñèìïòîòèêà (1.246).
Îòìåòèì,÷òî åñëè â (1.265) ïîëîæèòüz 0 = −1, òî ïðè a > 1 ÷èñëî ξ˜k ∼ 5a − 3îïðåäåëÿåò âåðõíþþ ãðàíèöó ñïåêòðàëüíîãî êëàñòåðà.Áóäåì èñêàòüξ˜kâ âèäå(1)ξ˜k1˜+ O( 2 ),ξk = a + 1 +|m||m|ãäå ÷èñëàξ˜ = ξ˜k (k = 0, 1, . . . )(1.267)óïîðÿäî÷åíû ïî âîçðàñòàíèþ. Òîãäàóðàâíåíèå (1.64) ïðèìåò âèä21 dY−|m|2 dz 2!(1)˜ξk11Q0 (z) −+O+OY = 0.|m|4R(z)|m|2|m|2 R2 (z)(1.268)ÇäåñüQ0 (z) = 4−1 (z − 1)2 Λ(z)R−2 (z), ìíîãî÷ëåí R(z) çàäàí ôîðìó-ëîé (1.249),Λ(z) = z 2 + (3 − a)z + 1.(1.269)Q0 (z) ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå (1.268)ïîâîðîòà z = 1 êðàòíîñòè 2, à òàêæå ïðîñòûå òî÷êèÏðèðàâíèâàÿèìååò òî÷êóïîâîðîòàz ± = (−3 + a ± ip(a − 1)(5 − a))/2.(1.270)126|z| = 1 è ïåðåìåùàþòñÿïàðàìåòðà a îò 1 äî 5.Îíè ëåæàò íà îêðóæíîñòè1ïðè âîçðàñòàíèèïî íåé îò−1êÏîñòðîèì ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.268).Îíè ñïðàâåäëèâû âíå ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðîòà è èìåþòâèäY±W KBZ p(1) Zξ˜kdzpQ(z)dz∓=pexp(±|m|)×048Q0 (z)R(z) Q0 (z)c̃±111)+O+O×(1 + O(+|m||m|(z − 1)2|m|(z − z + )3/21+O), |m| → ∞.(1.271)|m|(z − z − )3/2Çäåñüc̃± êîíñòàíòû, â ñòåïåííûõ ôóíêöèÿõ áåðóòñÿ ãëàâíûå çíà-÷åíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
