Диссертация (1136178), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Ñîãëàñóåì ðàçëîæåíèå (1.98)âáëèçèz+( íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà~1/2) ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìY−W KB , êîòîðîå ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè III ( ñì. ðèñ. 1.1.). Îíî èìååòýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùóþ àñèìïòîòèêó (1.90). Ñëåäîâàòåëüíî,α2,+ = 0,à êîíñòàíòà1/6(+) √α1,+ = c− 2 πτ+ ~−1/6 .(1.99)Ïóñòüµ1,± = (3z ∓ + 2(1 + γ) − b[z ∓ (1 + γ) + 1])(3 − 2(1 + γ)2 )−1 , µ2,± =(8z ∓ (1 + γ)3 + 2(1 + γ)2 + 3 − b[3z ∓ (2(1 + γ)2 + 1) + 2(1 + γ)]).=(3 − 2(1 + γ)2 )2Ðàçëàãàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êèz+ôóíêöèþ (1.63) ïî ôîðìóëå Òåé-ëîðà, ïîëó÷àåìËåììà 1.13.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè z + èìååò âèäa(z − z + )a(z − z + )20p(z) = E(z + ) exp µ1,++ µ2,+(y++ O ((z−~2~0−z + )y+ + O0(z − z + )3 y+~00dy+dy+O ~+ O (z − z + )2 + ),dzdz(1.100)71ãäå2/3τ (z − z + )= α1,+ Ai( + 2/3),~çàäàíà ôîðìóëîé (1.99).0y+à êîíñòàíòà α1,+Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òîæåíèåìY−W KB ,0y−(1.101)ñîãëàñóåòñÿ ñ ÂÊÁ-ïðèáëè-êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ àñìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì (1.71)â îáëàñòè IV è ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò âáëèçèËåììà 1.14.z−.ÑïðàâåäëèâàÀñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè z − èìååò âèäa(z − z − )a(z − z − )20+ µ2,−p(z) = E(z − ) exp µ1,−(y−+ O ((z − −~2~0−z)y−+O0(z − − z)3 y−~0dy−+O ~dz02 dy−+ O (z − − z)dz),(1.102)ãäå2/3τ (z − − z)),= α1,− Ai( − 2/3~(−) √1/6= c− 2 πτ− ~−1/6 .0y−à êîíñòàíòà α1,−(1.103)Äàëåå íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è â îáëàñòè V ( ñì.

ðèñ. 1.1.). Ðàññìîòðèì îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (1.101), (1.103) ôóíêöèè(1.90), (1.91) âáëèçè òî÷åêâàòåëüíî,KBΦW−z+èz−0y+è0y−.îíè ñîãëàñóþòñÿ ñ ñèëó (1.96),Y−W KB . Ñëåäî-ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì ìíîãîòî÷å÷-íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è òàêæå è â îáëàñòè V.Ïîñòðîèì, íàêîíåö, ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çà-z =1äà÷è âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòà, à òàêæå îïðåäåëèì ÷èñëàÐàçëîæèì â óðàâíåíèè (1.71) ôóíêöèèÒåéëîðà â îêðåñòíîñòèz=1Q0 (z)èR(z)(1)ξk,` .ïî ôîðìóëå.  ðåçóëüòàòå, ïîñëå çàìåíûz−1u= √ ,~β(1.104)72ãäåβ=√1√,4 22a b + 5b + 6ïîëó÷àåì, ÷òîu21 √ 3 3d2 Y(1)+ν++ ~( βu − 4ξk,` β 3 u) + O(~) + O(~u4 )}Y = 0.+{−2424du(1.105)Çäåñü(1)ν = 2ξk,` β 2 − 1/2.(1.106)Áóäåì èñêàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå (1.105) â âèäå√Y = y0 (u) +~y1 (u) + O(~y0 ) + O(~u6 y0 ) + O(~udy0dy0) + O(~u3).dudu(1.107)Òîãäà ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþu2d 2 y01+ ν + )y0 = 0,2 + (−42du(1.108)îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèôóíêöèé ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðày0 = α1 D−ν−1 (iu) + α2 Dν (u).Çäåñüα1 , α2(1.109) êîíñòàíòû.Âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè äëÿ ôóíêöèéïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà [6].

ÏðèDν (z) = z ν e−z2/41 + O z −2Dν (z) = z ν e−z√−2/4| z |→ ∞,| arg z |<1 + O z −22π νπi −ν−1 z 2 /4e ze1 + O z −2 ,Γ(−ν)èìååì:3π;4(1.110)−π5π< arg z <,44(1.111)73Γ(ν) ãàììàarg u < −π/4ãäåy0 = α 1ôóíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèi(z − 1)√~β−ν−1expa√b2| u |→ ∞, −3π/4 <+ 5b + 6(z − 1)2~2!×~)+×(1 + O(z − 1)2!√ν22z−1a b + 5b + 6(z − 1)~+α2 √exp −(1 + O).2~(z − 1)2~β(1.112)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (1.112) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå z = 1 ( íà ðàññòîÿíèè3/8ïîðÿäêà ~) ïðè −3π/4 < arg u < −π/4 ôóíêöèÿ y0 äîëæíà ñîãëàW KB, èìåþùèì ðàçëîæåíèå (1.92).

Ïîñêîëüêó ÷ëåíûñîâûâàòüñÿ ñ Y−ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþò ïðè −3π/4 < arg u <−π/4, òî êîíñòàíòàα2 = 0.(1.113)ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.  îáëàñòè V âáëèçèÄàëåå â ñèëó (1.111) ïðè| u |→ ∞, π/4 < arg u < 3π/4−ν−1i(z − 1)y0 = α1 [ √exp~β!√a b2 + 5b + 6(z − 1)2×2~√ν~2π exp (−(ν + 1)πi) i(z − 1)√)−×(1 + O×(z − 1)2Γ(ν + 1)~β!√a b2 + 5b + 6(z − 1)2~)].× exp −(1 + O2~(z − 1)2Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, à âòîðîå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò.  îáëàñòè V âáëèçèz=1ïðèπ/4 < arg u <3π/4 ôóíêöèÿ y0 òàêæå äîëæíà ñîãëàñîâûâàòüñÿ ñ Y−W KB , èìåþùèìðàçëîæåíèå (1.92). Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíöè-74àëüíî óáûâàþò ïðèπ/4 < arg u < 3π/4,òî ïðèõîäèì ê óñëîâèþ1= 0.Γ(ν + 1)Êàê èçâåñòíî [85], ãàììà ôóíêöèÿν = −k − 1,Òàê êàêνè(1)ξk,`Γ(ν + 1) èìååò ïîëþñà ëèøü ïðèk = 0, 1, 2, . .

. .(1.114)ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì (1.106), òî ïîïðàâêà â ñïåê-òðàëüíîé ñåðèè íàéäåíà. ÄîêàçàíàËåììà 1.15.(1)ξk,`(1)×èñëà ξk,` â ôîðìóëå(1.70)p1= −a b2 + 5b + 6 k +,2èìåþò âèäk = 0, 1, 2, . . . .(1.115)Èç ðàâåíñòâ (1.109), (1.112) (1.114) âûòåêàåò, ÷òîk = 0, 1, 2, . . . ,y0 = α1 Dk (iu),ãäå(1.116)(1)α1 = c− ~k/2 (−iβ)k . Ôóíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè (1.116) âûðàæàåòñÿ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà:α1y0 = k/2 Hk22iu√ eu /4 ,2 ñèëó (1.92), (1.110) ôóíêöèÿz=1ñ ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåìy0k = 0, 1, 2, . . . .(1.117)â îáëàñòÿõ I, II ñîãëàñóåòñÿ âáëèçèY−W KB .Íàéäåì ñëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè (1.107). Èç (1.105),(1.114) (1.116) âûòåêàåò, ÷òîy1óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþd2 y1u213 31+(−−k−)y=(−u−2(k+)u)βα1 Dk (iu).14242du2(1.118)75Íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.118) èìååò âèäy1 =Çäåñüiβα1[−u2 Dk0 (iu) − iuDk (iu)] + α1,1 Dk (iu) + α1,2 D−k−1 (u).2α1,1 , α1,2 êîíñòàíòû.

Èç óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ôóíêöèèy1ñα1,2 = 0 . Ïîëîæèì, êðîìå òîãî,α1 ñîäåðæèòñÿ ïîïðàâêà ïîðÿäêàÂÊÁ-ïðèáëèæåíèåì âûòåêàåò, ÷òîα = 0, ñ÷èòàÿ ïðè ýòîì, ÷òî â√1,1~ . Ôóíêöèÿ y1 òàêæå âûðàæàåòñÿy1 = −("iβα12(k+1)/2iu√23#iu+ √ Hk22×eu÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà:/4iu√2−iu√22Hk0iu√ }×2.(1.119)Òàê êàê ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.62), òî äëÿ íàõîæäåíèÿàñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èâáëèçèz=1îñòàåòñÿ ðàçëîæèòü ôóíêöèþE(z)ïî ñòåïåíÿìz − 1.Äåëàÿ çàìåíó (1.104), ïîëó÷àåì:2 2ua(b+3)βaβu{1+E(z) = µ2k/2 exp √ −2~#)√ " 3i ~β8 + 3biuiu√√+ √+ √ + O(~) + O(~u6 ) .2 3 b2 + 5b + 622(1.120)Çäåñü√µ = (−1)a(1+b/√6)/(2~)+(b/ 6−1)/4√√√( 2 + 3)−(a+~/2)b/( 6~) 2a/(2~)−1/4−k/2 .(1.121)Äàëåå ïåðåìíîæèì (1.120) è (1.107). Ïîñêîëüêóy0 , y1îïðåäåëåíûñîîòíîøåíèÿìè (1.117), (1.119), òî ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ√p(z) = p0 (u) +~p1 (u) + O(~p0 ) + O(~u6 p0 )+dy0dy0aβu a(b + 3)β 2 u2+ exp √ −(O(~u) + O(~u5)),2dudu~(1.122)76ãäåraβu√ +~p0 = α1 µ exp1−b+3b+2!! u2iuHk √ ,42!r2(1.123)!iβα1 µaβub+3 up1 = √ exp √ + 1 −×b+2 42~( 3 2 )8 + 3biuiuiuiu√√×−1+ √Hk √Hk0 √.22223 b2 + 5b + 6ÄîêàçàíàËåììà 1.16.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêò-ðàëüíîé çàäà÷è âáëèçè òî÷êè ïîâîðîòà z = 1 èìååò âèäôîðìå âûðàæåíèå (1.95)KBΦW(z)−=+O(1)ξk,` ïîçâîëÿåòW KB(z):äëÿ Φ−Ôîðìóëà (1.115) äëÿKBΦW−,0 (z)(1~(z − z + )3/2çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîé+ O(~) + O+O(1.122).~(z − 1)2+~),(z − − z)3/2(1.124)ãäåKBΦW−,0 (z)=p4c− (z − 1)k(z − z − )(z − z + )√× (r1 (z)r2 (z))(a+~/2)(1+b/k = 0, 1, 2, .

. .,c−6)/(2~)(r0 (z))−k−1/2 ×√(r3 (z)r4 (z))(a+~/2)(1−b/ êîíñòàíòà,6)/(2~)rj (z), j = 0, 1, 2, 3, 4,,(1.125)îïðåäåëåíûôîðìóëàìè (1.78) (1.82).Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ïîñòðîåíî. ×èñëàξk,`çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (1.70),p(z) ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàW KBèìåííî, p(z) = Φ−(z) ÿâëÿåò-(1.115), à àíòèãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿòå ñîãëàñîâàíèÿ àñèìïòîòèê. Àñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.38) íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çà èñêëþ÷åíèåì ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ïîâîðî-77z + , z − , 1 , à òàêæå îòðåçêà [z − , z + ]. Âáëèçè òî÷åê z + , z − , 1 ôóíêöèÿ p(z) çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè (1.100), (1.102), (1.122) ñîîòâåòñòâåííî.1/2Àñèìïòîòèêè ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà ~3/8îò òî÷êè 1.îò òî÷åê z ± è ïîðÿäêà ~Íàêîíåö, âáëèçè îòðåçêà [z − , z + ] , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ëèíèåéòàÑòîêñà, èñêîìàÿ àñèìïòîòèêà ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû äâóõ ôóíê-KBΦW(z), ïðè÷åì â ïåðâîé ôóíêöèè áåðåòñÿ âåòâü, îòâå÷àþùàÿ−îáõîäó òî÷êè z + ïî âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, à âî âòîðîé ïî íèæíåé.

Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ p(z) âûòåêàåò èç èçâåñòíîãî ðàçëîæåöèéíèÿ ôóíêöèè Ýéðè[85]12π12 3/2 πAi(−z) = √ √ sinz++O,|argz|<,343π4zz 7/4| z |→ ∞.(1.126)Èçó÷èì ïîâåäåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìíîãîòî÷å÷íîéñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ïðèËåììà 1.17.z→∞.Ïðè | z | ` , ` → ∞ ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêàKBΦW(z) = c− (2 +−p1`4 + 2γ)−k−1/2 c(`+1)/4z(1+O() + O(~)),∞~z(1.127)ãäåc∞2+√2b/√3q√√ √2b/√3√= 8( 3 + 2)(γ + 2)2 1 + 1 + γ( 6 − 2)×2−√2b/√3q√.× 1 + 1 − γ( 6 + 2)Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîñêîëüêó√2q√3+1q√3+√2=√=3+√√3+2 + 1,√2 − 1,√qq√√√23−13+ 2=78òî â ñèëó (1.78),(1.79)q√√√ √r1 (z)r2 (z)2(3+2)1+γ(6 − 2) + 1+lim=4z→∞z2√√√ ! q√ !√1− 3+ 21+ 3− 2+γ=1 + γ( 6 − 2) + 1 + γ22q√√γ √γ= 4( 6 + 2)[2 + γ + (1 + )γ( 6 − 2) + 2(1 + ) 1 + γ( 6 − 2)] =222q√√= 2( 6 + 2)(2 + γ) 1 + 1 + γ( 6 − 2) .(1.128)Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî2q√√r3 (z)r4 (z)= 2( 6 − 2)(2 + γ) 1 + 1 − γ( 6 + 2) .limz→∞z2(1.129)Èç ôîðìóë (1.124), (1.77), (1.127), (1.128) âûòåêàåò, ÷òîKBΦW(z) = c− (2 +−p4 + 2γ)−k−1/2 ×√2 #(`+1)(1+b/q√√× 2( 6 + 2)(2 + γ) 1 + 1 + γ( 6 − 2)"6)/4×√2 #(`+1)(1−b/q√√× 2( 6 − 2)(2 + γ) 1 + 1 − γ( 6 + 2)"√×z k−1/2−k−1/2+(`+1)(1+b/= c− (2 +√6)/4+(`+1)(1−b/ 6)/4(1 + O(6)/4×1) + O(~)) =~zp1`4 + 2γ)−k−1/2 c(`+1)/4z(1+O() + O(~)).∞~zËåììà äîêàçàíà.2.8.Àñèìïòîòèêà ìíîãî÷ëåíîâΦ(z)Ïîäñòàâèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ìíîãîòî÷å÷íîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷èp(z)â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (0.12) è âû÷èñëèìàñèìïòîòèêó âîçíèêàþùåãî èíòåãðàëà.

Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ79â (0.12) íå èìååò òî÷åê ïåðåâàëà. Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè.Ëåììà 1.18.Ïðè z ∈/ [z − , z + ] è òàêèõ, ÷òî| z − 1 |& ~3/8 ,îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé(0.12)| z − z ± |& ~1/2(1.130)ìíîãî÷ëåí Φ(z) ïðåäñòàâèì â âèäåKBΦ(z) = ΦW(z) + N (z),−ãäåz `+1N (z) = −2πiIγ+,−(1.131)KBΦW(u)du−.u`+1 (u − z)(1.132)Çäåñü çàìêíóòûé êîíòóð γ+,− ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì [z − , z + ], ïðîõîäèìûì äâàæäû ñîîòâåòñòâåííî ïî âåðõíåìó è íèæíåìó áåðåãóðàçðåçà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè z − , z + , êîòîðûé îðèåíòèðîâàí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüzëåæèò âíå öèêëàγ, z ∈/ [z − , z + ]èâûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.130).

Ðàññìîòðèì êîíòóðû, èçîáðàæåííûå íà3iVIIiVII0III-iIV- 3iÐèñóíîê 1.3ðèñ. 1.3. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êåðÿäêà~3/8 ,à îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì âz±z = 1èìååò ðàäèóñ ïî- ïîðÿäêà~1/2 .Âîñïîëü-80çîâàâøèñü èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè è èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîéγÊîøè, ïðåäñòàâèì èíòåãðàë ïîz `+1Φ(z) =2πiz `+1−2πiIγ1Iγâ ñëåäóþùåì âèäå:KBΦW(u)duz `+1−=−2πiu`+1 (u − z)KBΦW(u)du z `+1−−2πiu`+1 (u − z)IγzKBΦW(u)du−−u`+1 (u − z)KBΦW(u)du z `+1−−2πiu`+1 (u − z)Iγ̃Iγ∞KBΦW(u)du−.u`+1 (u − z)(1.133)Èçó÷èì âõîäÿùèå â (1.133) ñëàãàåìûå. Èç èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè âûòåêàåò, ÷òîz `+1−2πiIγzKBΦW(u)du−KB= ΦW(z).−`+1u (u − z)Äàëåå â ñèëó àíòèãîëîìîðôíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèèγ1KBΦW(u)du−= 0,u`+1 (u − z)γ∞KBΦW(u)du−=0u`+1 (u − z)IàIñîãëàñíî òåîðåìå î âû÷åòàõ è (1.127). Íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ (1.90),(1.91), ïðîäåôîðìèðóåì êîíòóðγ̃â êîíòóðγ+,− . ðåçóëüòàòå, ðà-âåíñòâî (1.133) ïðèíèìàåò âèä (1.131).Ïóñòü òåïåðüzëåæèò âíóòðèΦ(z) =KBΦW(z)−γ. Òîãäàz `+1+2πiIγKBΦW(u)du−.u`+1 (u − z)(1.134)Èíòåãðàë â (1.134) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ, êîãäàæèò âíåγäîêàçàíà.zëå-.

Характеристики

Список файлов диссертации